高三数学回归课本复习材料：函数基本概念（基础回顾）

用心 爱心 专心 函数基本概念回归课本复习材料函数基本概念回归课本复习材料 1 1 一 考试要求 一 考试要求 1 1 了解映射的概念 理解函数的概念了解映射的概念 理解函数的概念 2 2 了解函数单调性 奇偶性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性 奇偶性的方法了解函数单调性 奇偶性的概念 掌握判断一些简单函数的单调性 奇偶性的方法 3 3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系 会求一些简单函数的反函数了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系 会求一些简单函数的反函数 4 4 理解分数指数幂的概念 掌握有理指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图像和性质理解分数指数幂的概念 掌握有理指数幂的运算性质 掌握指数函数的概念 图像和性质 5 5 理解对数的概念 掌握对数的运算性质理解对数的概念 掌握对数的运算性质 掌握对数函数的概念 图像和性质掌握对数函数的概念 图像和性质 6 6 能够运用函数的性质 指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题能够运用函数的性质 指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题 二 基础知识二 基础知识 1 1 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 f xa xhk a 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 2 2 解连不等式解连不等式 Nf xM 3 3 方程方程在在上有且只有一个实根上有且只有一个实根 与与不等价不等价 前者是后者的前者是后者的0 xf 21 kk0 21 kfkf 一个必要而不是充分条件一个必要而不是充分条件 特别地特别地 方程方程有且只有一个实根在有且只有一个实根在 0 0 2 acbxax 内内 等价于等价于 21 kk0 21 kfkf 4 4 闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数在闭区间在闭区间上的最值只能在上的最值只能在处及区间处及区间 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 的两端点处取得 具体如下 的两端点处取得 具体如下 当当 a 0a 0 时 若时 若 则 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 当当 a 0a0 a 0 1 1 则 则的周期的周期 T aT a axfxf xf 2 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f xa f x 0 f x 或或 则则的周期的周期 T 2aT 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 3 则 则的周期的周期 T 3aT 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 4 且且 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1f a 则 则周期周期 T 4aT 4a 1212 1 0 2 f xf xxxa xf 5 5 2 3 4 f xf x af xa f xaf xa 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa 则则的周期的周期 T 5aT 5a xf 6 6 则 则的周期的周期 T 6a T 6a axfxfaxf xf 20 20 指数 对数值的大小比较 指数 对数值的大小比较 1 1 化同底后利用函数的单调性 化同底后利用函数的单调性 2 2 作差或作商法 作差或作商法 用心 爱心 专心 3 3 利用中间量 利用中间量 0 0 或或 1 1 4 4 化同指数 或同真数 后利用图象比较 化同指数 或同真数 后利用图象比较 函数基本概念回归课本复习材料 2 20 20 分数指数幂分数指数幂 1 1 且 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 2 且 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 2121 根式的性质 根式的性质 1 1 2 2 当 当为奇数时 为奇数时 n n aa n nn aa 当当为偶数时 为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 2222 有理指数幂的运算性质 有理指数幂的运算性质 1 1 0 rsr s aaaar sQ 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 注 若若 a a 0 0 p p 是一个无理数 则是一个无理数 则 a ap p表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算 性质 对于无理数指数幂都适用性质 对于无理数指数幂都适用 23 23 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 24 24 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论推论 且且 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 2525 对数的四则运算法则 对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a 1a 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 26 26 设函数设函数 0 log 2 acbxaxxf m 记记 若若的定义域为的定义域为 则则 且 且 若若的值域为的值域为 则则acb4 2 xfR0 a0 xfR 且 且 对于对于的情形的情形 需要单独检验需要单独检验 0 a0 0 a 27 27 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若 则函数则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 1 当当时时 在在和和上上为增函数为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 2 当当时时 在在和和上上 ab 1 0 a 1 a 用心 爱心 专心 为减函数为减函数 log ax ybx 推论推论 设设 且 且 则 则 1nm 0p 0a 1a 1 1 log log mpm npn 2 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 三 基本方法三 基本方法 1 1 映射映射 A AB Bf A A 中元素必须都有象且唯一 中元素必须都有象且唯一 B B 中元素不一定都有原象 但原象不一定唯一中元素不一定都有原象 但原象不一定唯一 2 2 函数函数 A AB B 是特殊的映射 特殊在定义域是特殊的映射 特殊在定义域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集 据此可知都是非空数集 据此可知f 函数图像与函数图像与轴的垂线至多有一个公共点 但与轴的垂线至多有一个公共点 但与轴垂线的公共点可能没有 也可能有任轴垂线的公共点可能没有 也可能有任xy 意个 意个 3 3 同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域 值域和对应法则 而值域可由定义同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域 值域和对应法则 而值域可由定义 域和对应法则唯一确定 因此当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函域和对应法则唯一确定 因此当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函 数 数 4 4 求函数定义域的常用方法 在研究函数问题时要树立定义域优先的原则 求函数定义域的常用方法 在研究函数问题时要树立定义域优先的原则 复合函数的定义域 若已知复合函数的定义域 若已知的定义域为的定义域为 其复合函数其复合函数的定义域由不的定义域由不 f x a b f g x 等式等式解出即可 若已知解出即可 若已知的定义域为的定义域为 求求的定义域 相当于的定义域 相当于 ag xb f g x a b f x 当当时 求时 求的值域 即的值域 即的定义域 的定义域 xa b g x f x 5 5 求函数值域 最值 的方法 求函数值域 最值 的方法 1 1 配方法 配方法 2 2 换元法 换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 运用换元法时 要特别要注意新其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 运用换元法时 要特别要注意新 元元 的范围 的范围 3 3 函数有界性法 函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有t 界性 来确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 界性 来确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 4 4 单调性法 单调性法 利用一利用一 次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函数的单调性 次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函数的单调性 5 5 数形结合法 数形结合法 函数解析函数解析 式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 6 6 判别式法 判别式法 对分式函对分式函 数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也可以用其它方法进行求解 数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也可以用其它方法进行求解 不必拘泥在判别式法上 也可先通过部分分式后 再利用均值不等式 不必拘泥在判别式法上 也可先通过部分分式后 再利用均值不等式 型 可直接用不等式性质 型 可直接用不等式性质 型 先化简 再用均值不型 先化简 再用均值不 2 b y kx 2 bx y xmxn 等式等式 型 通常用判别式法 型 通常用判别式法 2 2 xm xn y xmxn 型 可用判别式法或均值不等式法型 可用判别式法或均值不等式法 2 xm xn y mxn 7 7 不等式法 不等式法 利用基本不等式利用基本不等式求函数的最值 其题型特求函数的最值 其题型特2 abab a bR 征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两边平方等技巧 添项和两边平方等技巧 8 8 导数法 导数法 一般适用于高次多项式函数 一般适用于高次多项式函数 提醒 提醒 1 1 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 2 函数的最 函数的最 值与值域之间有何关系 值与值域之间有何关系 6 6 分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来 表示对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 在求分段函数的值表示对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 在求分段函数的值时 一定首先要时 一定首先要 0 f x 判断判断属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内 0 x 用心 爱心 专心 不同子集上各关系式的取值范围的并集 不同子集上各关系式的取值范围的并集 7 7 求函数解析式的常用方法 求函数解析式的常用方法 1 1 待定系数法 待定系数法 2 2 代换 配凑 法 代换 配凑 法 已知形如已知形如的表达式 求的表达式 求的的 f g x f x 表达式 表达式 3 3 方程的思想 方程的思想 已知条件是含有已知条件是含有及另外一个函数的等式 可抓住等式及另外一个函数的等式 可抓住等式 f x 的特征对等式的进行赋值 从而得到关于的特征对等式的进行赋值 从而得到关于及另外一个函数的方程组 及另外一个函数的方程组 f x 8 8 反函数 反函数 1 1 存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值 都有唯一的值 都有唯一的值与之对值与之对yx 应 故单调函数一定存在反函数 但反之不成立 偶函数只有应 故单调函数一定存在反函数 但反之不成立 偶函数只有有反函数 有反函数 0 0 f xx 周期函数一定不存周期函数一定不存 2 2 求反函数的步骤 求反函数的步骤 反求反求 互换互换 注明反函数的定义域 原来函注明反函数的定义域 原来函xxy 数的值域 数的值域 3 3 反函数的性质 反函数的性质 反函数的定义域是原来函数的值域 反函数的值域是原来函数的定义域 反函数的定义域是原来函数的值域 反函数的值域是原来函数的定义域 函数函数 的图象与其反函数的图象与其反函数的图象关于直线的图象关于直线对称 注意函数对称 注意函数 yf x 1 yfx yx 的图象与的图象与 yf x 的图象相同 的图象相同 1 xfy 1 f abfba 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性 9 9 函数的奇偶性 函数的奇偶性 1 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数的奇偶 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数的奇偶 性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 2 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断 其奇偶性 其奇偶性 定义法 定义法 利用函数奇偶性定义的等价形式 利用函数奇偶性定义的等价形式 或或 0f xfx 1 fx f x 0f x 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 轴对称 y 3 3 函数奇偶性的性质 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数 若若为偶函数 则为偶函数 则 f x fxf xfx 若奇函数若奇函数定义域中含有定义域中含有 0 0 则必有 则必有 故故是是为奇函数的为奇函数的 f x 0 0f 0 0f f x 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函一个奇函数与一个偶函 数的和 或差 数的和 或差 复合函数的奇偶性特点是 复合函数的奇偶性特点是 内