控制工程基础第三章参考答案

控制工程基础第二章参考答案 第 1 页 共 28 页 第三章第三章 习题及答案习题及答案 3 1 假设温度计可用传递函数描述其特性 现在用温度计测量盛在容器内的水温 发现需要 1 1 Ts 时间才能指示出实际水温的 98 的数值 试问该温度计指示出实际水温从 10 变化到 90 所需min1 的时间是多少 解 41min 0 25minTT 1 1 11 1 e0 1 ln0 9 t h ttT T 2 1 T 22 0 9 1 e ln0 1 t h ttT 21 0 9 ln2 20 55min 0 1 r tttTT 2 2 已知某系统的微分方程为 初始条件 3 2 3 tftftyty 2 0 1 0 yy 试求 系统的零输入响应yx t 激励f t t 时 系统的零状态响应yf t 和全响应y t 激励f t e 3t t 时 系统的零状态响应yf t 和全响应y t 解解 1 算子方程为 3 2 1 tfptypp e 2 5 e2 2 3 e 2 1 e2 2 3 ee2 2 1 1 2 23 3 2 0 e3e4 3 4 22 1 ee 2 x 2 2 2 2 x 2 1 21 212 21x ttytyty ttthty tth pp pp p pH tty A A AA AA AAty tt tt tt f f tt tt e4e5 ee e 3 2 x 23 ttytyty ttthty tt ttt f f 3 已知某系统的微分方程为 当激励 时 系 3 2 3 tftftytyty tf e 4 t t 控制工程基础第二章参考答案 第 2 页 共 28 页 统的全响应 试求零输入响应yx t 与零状态响应yf t 自 e 6 1 e 2 7 e 3 14 42 tty ttt 由响应与强迫响应 暂态响应与稳态响应 解 e 2 7 e 3 14 e 6 1 e3e4 e 3 2 2 1 e 6 1 e1 e 2 1 e1 e 3 2 e2e2 e ee2 2 1 1 2 23 3 24 2 x 24 223 0 2 4 2 2 不含稳态响应全为暂态 自由响应强迫响应 零状态响应 零状态响应 ty tt ttytyty te ttdty tth pp pp p pH ttt tt ttt tttt t tt tt f f 4 设系统特征方程为 试用劳斯 赫尔维茨稳定判据判别该系统0310126 234 ssss 的稳定性 解 用劳斯 赫尔维茨稳定判据判别 a4 1 a3 6 a2 12 a1 10 a0 3 均大于零 且有 31210 01060 03121 00106 4 06 1 062101126 2 05121011036610126 3 0153651233 34 所以 此系统是稳定的 5 试确定下图所示系统的稳定性 控制工程基础第二章参考答案 第 3 页 共 28 页 解 2 10 110 1 1 210 21 1 1 sss s aG s s sss s s 232 21 10 1 21101D sssssss 3 2 1 0 1 10 21 1 210 1 0 21 1 Routh s s s s 系统稳定 2 10 10 2 10 101 10210 1 2 s s bs s ss s s 2 10210D sss 满足必要条件 故系统稳定 6 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试求系统稳定时 参数和 12 001 0 2 sss K sG K 的取值关系 解 2 0 010 21 0D ssssk 32 201001000D ssssk 控制工程基础第二章参考答案 第 4 页 共 28 页 3 2 1 0 1 100 200 100 2000100 0 20 1000 Rouths sk k s sk 由Routh表第一列系数大于 0 得 即 0 0 20 k k 0 0 20 k k 7 7 设单位反馈系统的开环传递函数为 要求闭环特征根的实部均小于 1 0 2 1 0 1 K G s sss 1 求 K 值应取的范围 解 解 系统特征方程为 0 1 01 2 0 1 Ksss 要使系统特征根实部小于 可以把原虚轴向左平移一个单位 令 即1 1 sw 代入原特征方程并整理得1 ws 072 0 46 0 24 0 02 0 23 Kwww 运用劳斯判据 最后得 24 6 72 0 K 8 设系统的闭环传递函数为 试求最大超调量 9 6 峰值时间 2 22 2 n c nn G s ss tp 0 2 秒时的闭环传递函数的参数 和 n 的值 解 9 6 100 2 1 e 0 6 tp 0 2 n 1 2 n 19 6rad s tp1 314 02 106 22 9 设单位负反馈系统的开环传递函数为 6 25 ss sGk 求 1 系统的阻尼比 和无阻尼自然频率 n 控制工程基础第二章参考答案 第 5 页 共 28 页 2 系统的峰值时间tp 超调量 调整时间tS 0 02 解 系统闭环传递函数 256 25 25 6 25 6 25 1 6 25 2 ssss ss ss sGB 与标准形式对比 可知 62 n w 25 2 n w 故 5 n w6 0 又 46 0151 22 nd ww 785 0 4 d p w t 33 1 4 5 9 100 100 2 2 6 01 6 0 1 n s w t ee 10 一阶系统结构图如下图所示 要求系统闭环增益 调节时间s 试确定参数2 K4 0 s t 的值 21 K K 解 由结构图写出闭环系统传递函数 1 1 1 21 2 21 1 21 1 KK s K KKs K s KK s K s 令闭环增益 得 2 1 2 K K5 0 2 K 控制工程基础第二章参考答案 第 6 页 共 28 页 令调节时间 得 4 0 3 3 21 KK Tts15 1 K 11 设某高阶系统可用下列一阶微分方程 近似描述 其中 Tc tc tr tr t 试证系统的动态性能指标为 1 0 T T T T td ln693 0 tT r 2 2 T T T ts ln 3 解 设单位阶跃输入 s sR 1 当初始条件为 0 时有 1 1 Ts s sR sC 1 11 1 1 Ts T ssTs s sC C th t T T e t T 1 1 当 时ttd h t T T e tt d 0 51 1 2 T T e tT d T t T T d ln2ln T T Ttd ln2ln 2 求 即从到所需时间 tr tc1 09 0 当 Tt e T T th 2 19 0 tT T T 2 0 1 ln ln 当 Tt e T T th 1 11 0 tT T T 1 0 9 ln ln 则 tttTT r 21 0 9 0 1 2 2ln 3 求 ts Tt s s e T T th 195 0 控制工程基础第二章参考答案 第 7 页 共 28 页 ln3 20ln ln 05 0 ln ln T T T T T T T T Tts 12 已知系统的特征方程 试判别系统的稳定性 并确定在右半 s 平面根的个数及纯虚根 1 01011422 2345 ssssssD 2 0483224123 2345 ssssssD 3 022 45 ssssD 4 0502548242 2345 ssssssD 解 1 0 1011422 2345 ssssssD Routh S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 6 S2 10 124 S 6 S0 10 第一列元素变号两次 有 2 个正根 2 0 483224123 2345 ssssssD Routh S5 1 12 32 S4 3 24 48 S3 0 3 1224 3 4 32348 3 16 S2 48 4243 16 4 12 S 0 辅助方程 1216448 12 0 12480 2 s 控制工程基础第二章参考答案 第 8 页 共 28 页 S 24 辅助方程求导 024 s S0 48 系统没有正根 对辅助方程求解 得到系统一对虚根 sj 1 2 2 3 022 45 ssssD Routh S5 1 0 1 S4 2 0 2 辅助方程 022 4 s S3 8 0 辅助方程求导 08 3 s S2 2 S 16 S0 2 第一列元素变号一次 有 1 个正根 由辅助方程可解出 022 4 s 1 1 222 4 jsjssss 1 1 2 22 45 jsjssssssssD 4 0502548242 2345 ssssssD Routh S5 1 24 25 S4 2 48 50 辅助方程 050482 24 ss S3 8 96 辅助方程求导 0968 3 ss S2 24 50 S 338 3 S0 50 第一列元素变号一次 有 1 个正根 由辅助方程可解出 050482 24 ss 5 5 1 1 250482 24 jsjsssss 控制工程基础第二章参考答案 第 9 页 共 28 页 5 5 1 1 2 502548242 2345 jsjssssssssssD 13 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下 试分别求出当输入信号为 和时系统的稳态 1 tt 2 t 误差 15 0 11 0 10 ss sG 22 4 3 7 2 ssss s sG 解 10 10 0 0 11 0 51 K G s vss 经判断系统稳定 0 11 0 51 100D sss 1 1 111 ss r tt A e K 2 ssss r ttr tt ee 2 7 321 7 3 4 28 4 22 1 Ks G s s sss v 2 4 22 7 3 0D ss ssss 经判断 系统不稳定 14 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下 2 100 ss sGK 求 1 试确定系统的型次 v 和开环增益 K 2 试求输入为时 系统的稳态误差 ttr31 解 1 将传递函数化成标准形式 控制工程基础第二章参考答案 第 10 页 共 28 页 15 0 50 2 100 ssss sGK 可见 v 1 这是一个 I 型系统 开环增益 K 50 2 讨论输入信号 即 A 1 B 3ttr31 误差06 0 06 0 0 50 3 1 1 1 Vp ss K B K A e 15 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下 2 0 1 0 2 2 sss sGK 求 1 试确定系统的型次 v 和开环增益 K 2 试求输入为时 系统的稳态误差 2 425 tttr 解 1 将传递函数化成标准形式 15 110 100 2 0 1 0 2 22 ssssss sGK 可见 v 2 这是一个 II 型系统 开环增益 K 100 2 讨论输入信号 即 A 5 B 2 C 4 2 425 tttr 误差04 004 000 100 42 1 5 1 aVp ss K C K B K A e 16 在许多化学过程中 反应槽内的温度要保持恒定 图 a 和 b 分别为开环和闭环温度控制 系统结构图 两种系统正常的值为 1 K 控制工程基础第二章参考答案 第 11 页 共 28 页 若 两种系统从响应开始达到稳态温度值的 63 2 各需多长时间 1 ttr 0 tn 当有阶跃扰动时 求扰动对两种系统的温度的影响 1 0 tn 解 1 对 a 系统 时间常数 110 1 110 ss K sGa10 T a 系统达到稳态温度值的 63 2 需要 10 个单位时间 632 0 Th 对 a 系统 时间常数 1 101 10 101 100 10110 100 s s s b 101 10 T b 系统达到稳态温度值的 63 2 需要 0 099 个单位时间 632 0 Th 2 对 a 系统 1 sN sC sGn 时 该扰动影响将一直保持 1 0 tn 对 b 系统 10110 110 110 100 1 1 s s s sN sC s n 时 最终扰动影响为 1 0 tn001 0 101 1 1 0 17 单位反馈系统的开环传递函数 求单位阶跃响应和调节时间 5 4 ss sG th ts 解 依题 系统闭环传递函数 1 1 4 4 1 4 45 4 21 2 T s T s ssss s 25 0 1 2 1 T T 41 4 1 4 210 s C s C s C sss sRssC 1 4 1 4 lim lim 00 0 ss sRssC ss 控制工程基础第二章参考答案 第 12 页 共 28 页 3 4 4 4 lim 1 lim 01 1 ss sRssC ss 3 1 1 4 lim 4 lim 04 2 ss sRssC ss tt eeth 4 3 1 3 4 1 4 2 1 T T 3 33 3 11 1 TT T t t s s 18 设下图 a 所示系统的单位阶跃响应如图 b 所示 试确定系统参数和 1 K 2 Ka 解 由系统阶跃响应曲线有 o o o o p t h 3 333 34 1 0 3 系统闭环传递函数为 1 22 2 2 1 2 21 2 nn n ss K Kass KK s 由 联立求解得 o o o o n p e t 3 33 1 0 1 2 1 2 28 33 33 0 n 由式 1 222 1108 2 1 n n a K 另外 3lim 1 lim 2 1 2 21 00 K Kass KK s ssh ss 控制工程基础第二章参考答案 第 13 页 共 28 页 19 设角速度指示随动系统结构图如下图所示 若要求系统单位阶跃响应无超调 且调节时间尽可 能短 问开环增益应取何值 调节时间是多少 K s t 解 依题意应取 这时可设闭环极点为 1 02 1 1 T 写出系统闭环传递函数 Kss K s 1010 10 2 闭环特征多项式 2 00 2 2 0 2 121 1010 T s T s T sKsssD 比较系数有 联立求解得 K T T 10 1 10 2 2 0 0 5 2 2 0 0 K T 因此有 159 075 4 0 Tts 20 单位反馈系统的开环传递函数为 试在满足 的条件下 12 1 1 sTss sK sG1 0 KT 确定使系统稳定的和的取值范围 并以和为坐标画出使系统稳定的参数区域图 TKTK 解 特征方程为 0 1 2 2 23 KsKsTTssD Routh S3 T2K 10 T S2 T 2K2 T S T TK K 2 2 1 1 4 2 K T S0 K0 K 控制工程基础第二章参考答案 第 14 页 共 28 页 综合所得条件 当 时 使系统稳定的参数取值1 K 范围如图中阴影部所示 21 温度计的传递函数为 用其测量容器内的水温 1min 才能显示出该温度的 98 的数值 若 1 1 Ts 加热容器使水温按 10 C min 的速度匀速上升 问温度计的稳态指示误差有多大 解法一 依题意 温度计闭环传递函数 1 1 Ts s 由一阶系统阶跃响应特性可知 因此有 得出 o o Th98 4 min14 Tmin25 0 T 视温度计为单位反馈系统 则开环传递函数为 Tss s sG 1 1 1 1 v TK 用静态误差系数法 当 时 ttr 10 CT K ess 5 210 10 解法二 依题意 系统误差定义为 应有 tctrte 11 1 1 1 Ts Ts TssR sC sR sE s e CT sTs Ts ssRsse s e s ss 5 210 10 1 lim lim 2 00 22 系统结构图如图所示 试求局部反馈加入前 后系统的静态位置误差系数 静态速度误差系数和 静态加速度误差系数 控制工程基础第二章参考答案 第 15 页 共 28 页 解 局部反馈加入前 系统开环传递函数为 1 12 10 2 ss s sG limsGK s p lim 0 ssGK s v 10 lim 2 0 sGsK s a 局部反馈加入后 系统开环传递函数为 20 12 10 1 20 1 1 10 12 2 sss s s ss s s sG lim 0 sGK s p 5 0 lim 0 ssGK s v 0 lim 2 0 sGsK s a 23 已知单位反馈系统的开环传递函数为 22 4 1 7 2 ssss s sG 试分别求出当输入信号和时系统的稳态误差 tttr 1 2 t tctrte 解 22 4 1 7 2 ssss s sG 1 87 v K 由静态误差系数法 时 1 ttr 0 ss e 时 ttr 14 1 7 8 K A ess 控制工程基础第二章参考答案 第 16 页 共 28 页 时 2 ttr ss e 24 系统结构图如图 3 59 所示 要使系统对而言是 II 型的 试确定参数和的值 tr 0 K 解 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 021 21 0 21 sKKsTsT sK sTsT sKK sTsT sK sG 1 1 0021 2 21 KKsKKTTsTT sK 依题意应有 联立求解得 0 01 021 0 KKTT KK 21 0 1 TT KK 此时系统开环传递函数为 2 21 21 sTT KsTTK sG 考虑系统的稳定性 系统特征方程为 0 21 2 21 KsTTKsTTsD 当 时 系统稳定 1 T 2 T0 K 25 大型天线伺服系统结构图如图所示 其中 0 707 15 0 15s n 当干扰 输入时 为保证系统的稳态误差小于 0 01 试确定的取 110 ttn 0 tr a K 值 当系统开环工作 0 且输入时 确定由干扰引起的系统响应稳态 a K0 tr 110 ttn 值 控制工程基础第二章参考答案 第 17 页 共 28 页 解 1 干扰作用下系统的误差传递函数为 222 2 2 1 1 nann n en Kssss s sN sE s 时 令 110 ttn a en s en s ssn K s s sssNse 10 10 lim lim 00 01 0 得 1000 a K 2 此时有 2 10 2 222 2 22 2 nn n nn n sss sN sss sCsE lim 0 ssEee s ss 26 已知控制系统结构图如图所示 试求 按不加虚线所画的顺馈控制时 系统在干扰作用下的传递函数 s n 当干扰时 系统的稳态输出 1 ttn 若加入虚线所画的顺馈控制时 系统在干扰作用下的传递函数 并求对输出稳态值 tn tc 影响最小的适合值 K 解 1 无顺馈时 系统误差传递函数为 控制工程基础第二章参考答案 第 18 页 共 28 页 256 5 20 5 1 5 2 ss s ss s sN sC s n 2 5 lim lim 00 s sssNssc n s n s n 3 有顺馈时 系统误差传递函数为 256 205 5 1 20 1 25 20 1 1 1 2 ss Ks ss s K s sN sC s n 令 0 25 205 lim lim 00 K s sssNssc n s n s n 得 25 0 K 27 试求图中所示系统总的稳态误差 解 a 2 1 0 51 200 0 5200 1 0 51 e E sss s R sss ss 2 1 0 51 200 0 5200 1 0 51 en E sss s N sss ss 12 00 lim lim sssssseen ss eeessR sssN s 22 00 0 51 1 0 51 0 1 limlim0 0 52000 5200 ss ssss ss ssssss b 2 2 1 1 1 1 1 1 e ss s s ss s s 控制工程基础第二章参考答案 第 19 页 共 28 页 2 1 1 1 1 1 1 en s s s ss s s 2 12 222 00 1 1 1 1 limlim1 11 ssssss ss s ss s eeess ssssss 28 设复合校正控制系统结构图如图 3 65 所示 其中 N s 为可量测扰动 若要求系统输出 C s 完全 不受 N s 的影响 且跟踪阶跃指令的稳态误差为零 试确定前馈补偿装置 Gc1 s 和串联校正装置 Gc2 s 解 1 求 令 1 sGc 得 0 1 1 1 1 1 1 1 2211 1112 2211 1 2112 sGKKTsKTss sGKKsK Tss sGKK s K sG Tss KK s K Ts K sN sC s c c c c n 1 1 1 K Ks sGc 2 求 令 2 sGc 1 1 1 1 1 1 2211 1 2211 1 sGKKTsKTss TsKs Tss sGKK s K s K sR sE s c c e 当作用时 令 1 ttr 0 lim 1 lim 2211 1 00 sGKKK K s sse c s e s ss 明显地 取 可以达到目的 s sGc 1 2 控制工程基础第二章参考答案 第 20 页 共 28 页 29 复合控制系统结构图如图所示 图中 均为大于零的常数 1 K 2 K 1 T 2 T 确定当闭环系统稳定时 参数 应满足的条件 1 K 2 K 1 T 2 T 当输入时 选择校正装置 使得系统无稳态误差 tVtr 0 sGC 解 1 系统误差传递函数 2121 1221 21 21 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 KKsTsTs sTsGKsTsTs sTsTs KK sG sTs K sR sE s c c e 21 2 21 3 21 KKssTTsTTsD 列劳斯表 21 0 21 2121211 2121 2 21 3 0 1 KKs TT KKTTTT s KKTTs TTs 因 均大于零 所以只要 即可满足稳定条件 1 K 2 K 1 T 2 T 212121 KKTTTT 2 令 2121 1221 2 0 00 1 1 1 1 1 lim lim KKsTsTs sTsGKsTsTs s V ssRsse c s e s ss 0 1lim 2 21 0 0 s sG K KK V c s 可得 2 KssGc 30 系统结构图如图所示 控制工程基础第二章参考答案 第 21 页 共 28 页 为确保系统稳定 如何取值 K 为使系统特征根全部位于平面的左侧 应取何值 s1 sK 若时 要求系统稳态误差 应取何值 22 ttr25 0 ss eK 解 5 10 50 sss K sG 1v K 1 KssssD505015 23 Routh 050 15 15 15 50 5015 501 0 1 2 3 KKs K K s Ks s 系统稳定范围 150 K 2 在中做平移变换 sD1 ss KssssD50 1 50 1 15 1 23 3650 2312 23 Ksss Routh 72 0 50 36 3650 24 6 50 312 12 50312 365012 231 0 1 2 3 KKs K K s Ks s 满足要求的范围是 24 6 72 0 K 3 由静态误差系数法 当 时 令 22 ttr25 0 2 K ess 得 8 K 综合考虑稳定性与稳态误差要求可得 158 K 31 判断下列系统的能控性 控制工程基础第二章参考答案 第 22 页 共 28 页 1 u x x x x 1 0 01 11 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 11 10 01 342 100 010 u u x x x x x x 解解 1 由于该系统控制矩阵 系统矩阵 所以 0 1 b 01 11 A 1 1 0 1 01 11 Ab 从而系统的能控性矩阵为 10 11 AbbUC 显然有 nAbbUC 2rankrank 满足能控性的充要条件 所以该系统能控 2 由于该系统控制矩阵为 10 01 11 B 系统矩阵为 342 100 010 A 则有 0101001 001 0111 2431117 AB 2 0100111 001 1117 24317115 A B 从而系统的能控性矩阵为 控制工程基础第二章参考答案 第 23 页 共 28 页 2 100111 011117 1117115 C UBABA B 有 nUC 3rank 满足能控性的充要条件 所以该系统能控 32 判断下列系统的能观测性 2 1 2 1 01 11 x x x x 2 1 11 x x y 3 2 1 3 2 1 342 100 010 x x x x x x 3 2 1 2 1 121 110 x x x y y 解解 系统的观测矩阵 系统矩阵 得 11 C 01 11 A 12 01 11 11 CA 系统能观性矩阵为 12 11 CA C UO 可知 n CA C UO 2rankrank 控制工程基础第二章参考答案 第 24 页 共 28 页 满足能观性的充要条件 所以该系统是能观测的 系统的观测矩阵 系统矩阵 于是 121 110 C 342 100 010 A 132 442 342 100 010 121 110 CA 022 8148 342 100 010 132 442 2 CA 系统能观性矩阵为 022 8148 132 442 121 110 2 CA CA C UO 易知 n CA CA C UO 3rankrank 2 满足能观性的充要条件 所以该系统是能观测的 33 试确定当与为何值时下列系统不能控 为何值时不能观测 pq u p x x x x 101 121 2 1 2 1 2 1 1 x x qy 解解 系统的能控性矩阵为 p pp AbbUC 1 12 其行列式为 控制工程基础第二章参考答案 第 25 页 共 28 页 12det 2 ppAbb 根据判定能控性的定理 若系统能控 则系统能控性矩阵的秩为 2 亦即 可知 0det Abb 或 4 p3 p 系统能观测性矩阵为 1 1 12 O cq U cAqq 其行列式为 2 det121 c qq cA 根据判定能观性的定理 若系统能观 则系统能观性矩阵的秩为 2 亦即 可知det0 c cA 或 3 1 q 4 1 q 34 将下列状态方程化为能控标准形 uxx 1 1 43 21 解解 该状态方程的能控性矩阵为 71 11 AbbUC 知它是非奇异的 求得逆矩阵有 8 1 8 1 8