GM(1_1)模型的应用

GM 1 1 预测模型的应用 灰色预测是基于GM 1 1 预测模型的预测 按其应用的对象可有四种类型 1 数列预测 这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测 2 灾变预测 这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何 时出现的预测 3 季节灾变预测 若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年 中的某个特定的时区 则该预测为季节性灾变预测 4 拓扑预测 这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测 例例1 1 数列预测 数列预测 设原始序列 679 3 390 3 337 3 278 3 874 2 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 xxxxxX 试用GM 1 1 模型对进行模拟和预测 并计算模拟精度 0 X 解 第一步 对进行一次累加 得 0 X 558 16 897 12 489 9 152 6 874 2 1 X 第二步 对作准光滑性检验 由 0 X 1 1 0 kx kx k 得 5 029 0 5 5 036 0 4 54 0 3 当k 3时准光滑条件满足 第三步 检验是否具有准指数规律 由 1 X 1 1 1 1 1 k kx kx k 得29 1 5 36 1 4 54 1 3 1 1 1 当k 3时 准指数规律满足 故可对建立5 0 5 1 1 k 1 1 X GM 1 1 模型 第四步 对作紧邻均值生成 得 1 X 718 14 184 11 820 7 513 4 1 Z 于是 679 3 390 3 337 3 278 3 5 4 3 2 1718 14 1184 11 1820 7 1513 4 1 5 1 4 1 3 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x Y z z z z B 第五步 对参数列进行最小二乘估计 得 T ba 0653 3 0372 0 1 YBBB TT 第六步 确定模型 0653 3 0372 0 1 1 x dt dx 及时间响应序列 402151 82276151 85 1 1 0372 0 0 1 kak e a b e a b xkx 第七步 求的模拟值 1 X 5558 16 9422 12 4605 9 1060 6 8704 2 5 4 3 2 1 1 1 1 1 1 1 xxxxxX 第八步 还原求出的模拟值 由 0 X 1 1 1 1 1 1 1 0 kxkxkxakx 得 6136 3 4817 3 3545 3 2320 3 8740 2 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 xxxxxX 第九步 检验误差 由下表可算出残差平方和 误差检验表 序号实际数据 0 kx 模拟数据 0 kx 残差 0 kxk 0 kx 相对误差 0 kx k k 2 3 4 5 3 278 3 337 3 390 3 679 3 2300 3 3545 3 4817 3 6136 0 0460 0 0175 0 0917 0 0654 1 40 0 52 2 71 1 78 平均相对误差 1 6025 第十步 预测 1 0 kx 8928 3 7 1991 24402151 82276151 85 7 7505 3 6 3063 20402151 82276151 85 6 0 60372 0 1 0 50372 0 1 x ex x ex 例例2 2 灾变预测 灾变预测 某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品 一般 来说 自然灾害的发生有其偶然性 但对历史数据的整理 仍可发现一定的规律性 为尽量减少生产不受自然灾害的影响 该企业希望了解影响原料供应的规律性并提 前做好原料储备 所收集数据见下表 并规定每亩平均收获量小于320千克时为欠收 年份 将影响原料的正常供应 现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份 原料收获统计表 年份 199119921993199419951996199719981999 收获量 千克 390 6412320559380542553310561 年份 20002001200220032004200520062007 收获量 千克 300632540406 2314576587318 第一步 将上表中年份用序号替换 并找出收获量小于320千克的年份序号形成 初始序列 0 本例初始序列 17 14 10 8 3 0 一次累加生成序列 52 35 21 11 3 1 的紧邻均值生成序列 1 5 43 28 16 7 1 Z 第二步 按建GM 1 1 模型 1 Z 17 14 10 8 5 4 3 2 15 43 128 116 17 1 5 1 4 1 3 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 Y z z z z B 25834 6 25361 0 1 YBBBa TT 67702 2467702 27 1 25361 0 0 1 tat e a b e a b tt 第三步 预测 当t 6时 684 73 6 1 6848 21 6 0 因此 下次发生收获量小于320千克的年份为 2011年至2012年 即四至五年后 将出现欠收年份 其他预测类型见参考书 五 残差五 残差 GM 1 1 模型模型 当GM 1 1 模型精度不符合要求时 可使用残差序列建立GM 1 1 模型 对原来 模型进行修正 以提高精度 定义定义4 4 设 2 1 0 0 0 0 n 其中 为的残差序列 若存在k0 满足 0 kxk 1 kx 1 X 1 的符号一致 0 0 kkk 2 则称4 0 kn 1 0 0 0 0 0 nkk 为可建模残差尾段 仍记为 1 0 0 0 0 0 0 nkk 命题命题1 1 设为可建模残差尾段 其一次累加序 1 0 0 0 0 0 0 nkk 列 1 1 0 1 0 1 1 nkk 的GM 1 1 模型的时间响应式为 0 0 0 1 1 0 kk a b e a b kk kka 则残差尾段的模拟序列为 1 0 0 0 0 0 0 nkk 其中 0 0 0 0 1 0 kke a b kak kka 定义定义5 5 若用修正则称修正后的时间响应式 0 1 X 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 kke a b ka a b e a b x kk a b e a b x kx kkaak ak 为残差修正GM 1 1 模型 简称残差GM 1 1 其中残差修正值 0 0 0 0 1 kka e a b kak 的符号应与残差尾段的符号保持一致 0 定义定义6 6 若则相应的残差修 1 0 1 1 0 1 1 1 kaa e a b xekxkxkx 正时间响应式 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 kke a b kae a b xe kke a b xe kx kkaaka aka 称为累减还原式的残差修正模型 例题例题 湖北省云梦县油菜发病率数据为 15 17 5 15 18 14 21 35 45 40 25 40 20 6 13 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xxxxxxxxxX 建立GM 1 1 模型 得时间响应式为 999 573999 567 1 06486 0 1 k ekx 作累减还原 得 4768 176478 188974 19 2307 216534 221719 247900 255192 273682 293308 314303 336704 35 13 2 0 0 kxX 检验其精度 列出误差检验表 误差检验表 序号实际数据 0 kx 模拟数据 0 kx 残差 0 kxk 0 kx 相对误差 0 kx k k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15 5 17 15 35 6704 33 4303 31 3308 29 3682 27 5192 25 7901 24 1719 22 6534 21 2307 19 8974 18 6478 17 4768 15 6704 6 5697 6 3308 10 6318 17 4808 9 2099 3 1719 8 6534 3 2307 4 3974 1 6478 2 4768 78 3540 16 4242 25 3232 26 5795 38 8642 26 3140 15 1043 61 8100 17 9483 28 3703 9 6926 16 5120 平均相对误差 30 11 由此可见 相对精度不到70 需采用残差模型进行修正 取k0 9 得残差尾段 4768 2 6478 1 3974 4 2307 3 6534 8 13 12 11 10 9 0 0 0 0 0 0 此为可建模残差尾段 去绝对值 得 4768 2 6478 1 3974 4 2307 3 6534 8 0 建立GM 1 1 模型 得的一次累加序列的时间响应式 0 1 7 3224 1 9 16855 0 1 k ek 其导数还原值为 9 16855 0 9 16855 0 0 0452 4 24 16855 0 1 kk eek 由可得累 kaka ee a b xekxkxkx 06486 0 0 1 1 0 0614 38 1 1 1 1 减还原式残差修正模型为 9 0452 4 0614 38 9 0614 38 1 9 16855 0 06486 0 06486 0 0 kee ke kx kk k 其中 的符号与原始残差序列的符号一致 1 0 k 按此模型 可对k 10 11 12 13四个模拟值进行休整 修正后的精度如下表 误差检验表 序号实际数据 0 kx 模拟数据 0 kx 残差 0 kxk 0 kx 相对误差 0 kx k k 10 11 12 13 18 15 5 17 15 17 1858 16 4799 15 7604 15 0372 0 8142 0 9799 1 2396 0 0372 4 52 6 32 7 29 0 25 平均相对误差 4 595 残差修正GM 1 1 模型的模拟精度得到了明显提高 因此时残差序列已不满足建 模要求 若对残差精度仍不满意 就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行 适当取舍 六 六 GM 1 1 模型群模型群 在实际建模中 原始数据序列的数据不一定全部用来建模 我们在原始数据序 列中取出一部分数据 就可以建立一个模型 一般来说 去不同的数据 建立的模 型也不一样 即使都建立同类的GM 1 1 模型 选择不同的数据 参数a b的值也不 一样 这种变化 正是不同情况 不同条件对系统特征的影响在模型中的反映 例 如我国的粮食产量 若采用建国以来的数据建立GM 1 1 模型 发展系数 a偏小 而 舍去1978年以前的数据 用剩余的数据建模 发展系数 a明显增大 定义定义1 1 设序列 2 1 0 0 0 0 nxxxX 将取为时间轴的原点 则称tn为未来 0 nx 定义定义2 2 设序列 2 1 0 0 0 0 nxxxX 为其GM 1 1 时间相应式的累减还原值 则 aka e a b xekx 1 1 1 0 0 1 当时 称为模型模拟值 nt 0 tx 2 当时 称为模型预测值 nt 0 tx 建模的主要目的是预测 为提高预测精度 首先要保证有充分高的模拟精度 尤其是t n时的模拟精度 因此建模数据一般应取为包括在内的一个等时距序 0 nx 列 定义定义3 3 设原始数据序列 2 1 0 0 0 0 nxxxX 1 用建立的GM 1 1 模型称为全数据GM 1 1 2 1 0 0 0 0 nxxxX 2 用建立的GM 1 1 模型称为部分1 0 k 1 0 0 0 0 0 0 nxkxkxX 数据GM 1 1 3 设为最新信息 将置入 称用 1 0 nx 1 0 nx 0 X 建立的模型为新信息GM 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 nxnxxxX 4 置入新信息 去掉最老信息 称用 1 0 nx 1 0 x 建立的模型为新陈代谢GM 1 1 1 2 0 0 0 0 nxnxxX 很显然 新信息模型和新陈代谢模型预测效果会更好 任何一个系统随着时间 的推移 将会不断地有一些随机扰动或驱动因素进入系统 使系统的发展受到影响 因此 在实际预测中 必须不断地将每一个新数据置入 已考虑到这些随机或驱动 因素 相比之下 新陈代谢模型是最理想的模型 随着系统的发展 老数据的信息意 义将逐步降低 在不断补充新信息的同时 及时地去掉老数据 建模序列更能反映 系统在目前的特征 七 七 GM 1 1 模型的适用范围模型的适用范围 可以证明 当GM 1 1 的发展系数时 GM 1 1 模型无意义 因此 2 a 是GM 1 1 发展系数a的禁区 在此区间 GM 1 1 模型失去意义 2 2 一般地 当时 GM 1 1 模型有意义 但是 随着a的不同取值 预测效2 a 果也不同 通过数值分析 有如下结论 1 当时 GM 1 1 的1步预测精度在98 以上 2步和5步预测精度都3 0 a 在97 以上 可用于中长期预测 2 当时 GM 1 1 的1步和2步预测精度都在90 以上 10步预测5 03 0 a 精度也高于80 可用于短期预测 中长期预测慎用 3 当时 GM 1 1 用作短期预测应十分慎重 8 05 0 a 4 当时 GM 1 1 的1步预测精度已低于70 应采用残差修正模18 0 a 型 5 当时 不宜采用GM 1 1 模型 1 a 八 八 GM 1 N GM 0 N GM 2 1 和和 Verhulst 模型