中考数学之平面几何最全总结+经典习题

文档鉴赏 平面几何知识要点 一 线段 角 直线线段 角 直线 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 4 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂直线段最短 垂垂直直平平分分线线 简称 中垂线 定定义义 经过某一条线段的中点 并且垂直于这条线 段的直线 叫做这条线段的 垂直平分线 中垂线 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 中中垂垂线线性性质质 垂直平分线垂直且平分其所在线段 垂垂直直平平分分线线 定理定理 垂直平分线上任意一点 到线段两端点的距离相等 逆逆定定理理 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分 线上 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 该点叫外外心心 并且这一点到三个顶 点的距离相等 角角 1 同角或等角的余角相等 2 同角或等角的补角相等 3 对顶角相等 角角的的平平分分线线 性质性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定定理理 1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理定理 2 到一个角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 三角形各内角平分线的交点 该点叫内内心心 它到三角形三边距离相等 平行线平行线 平行线性质平行线性质 1 两直线平行 同位角相等 平行线性质平行线性质 2 两直线平行 内错角相等 平行线性质平行线性质 3 两直线平行 同旁内角互补 平行线判定平行线判定 1 同位角相等 两直线平行 平行线判定平行线判定 2 内错角相等 两直线平行 平行线判定平行线判定 3 同旁内角互补 两直线平行 平行线判定平行线判定 4 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 平行公理平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 成比例 文档鉴赏 平面几何知识要点 二 三角形三角形 面积公式 面积公式 1 已知三角形底 a 高 h 1 2 Sah 2 正三角形面积 S a 为边长正三角形 2 3 4 a 3 已知三角形三边 a b c 则 海伦公式 Sp papbpc 其中 周长的一半 2 abc p 4 已知三角形两边 a b 及这两边夹角 C 则 1 sin 2 SabC 5 设三角形三边分别为 a b c 内切圆半径为 r 则 2 abc r S 6 设三角形三边分别为 a b c 外接圆半径为 R 则 4 abc S R 记记住住 已知正三角形边长为 其外接圆半径为 内切圆半径为 则有 aRr 3 3 Ra 3 6 ra 2Rr 内角和定理 内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形性质 全等三角形性质 如果两三角形全等 那么其对应边 对应角相等 其中对应边除了三角形 的边长外 还包括对应高 对应中线 对角平分线 全等三角形判定定理 全等三角形判定定理 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 斜边 直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相 似比 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 文档鉴赏 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 判定定理 1 两角对应相等 两三角形相似 ASA 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SAS 判定定理 3 三边对应成比例 两三角形相似 SSS 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一 条 直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的 三 角形与原三角形相似 三角形中位线定理 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 梯形中位线定理 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截 得的线段也相等 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条 直线平行于三角形的第三边 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 推论 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合 三线合一 推论 3 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 等腰三角形的判定定理 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等 角对等边 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 直角三角形直角三角形 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 222 abc 逆逆命命题题 如果三角形的三边长有关系 那么这个三角形是直角三角形 222 abc 勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法 其中 c 为最长边 如果 则 ABC 是直角三角形 222 abc 如果 则 ABC 是锐角三角形 222 abc 如果 则 ABC 是钝角三角形 222 abc 2 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 文档鉴赏 逆逆命命题题 如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 且这条边为直角三角形的斜边 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 由 此性质可推出 含 30 的直角三角形三边之比为 1 2 3 4 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 5 直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半 即 2 abc r 也等于 ab r abc 6 射影定理 射影定理 如果 ABC 是直角三角形 C 90 CD AB 则 2 ACAD AB 2 BCDB AB 2 CDAD DB 2 2 ACAD BCDB 如果 ABC CD AB 则 2 CDAD DB ADC CDB 对一般三角形的拓展 如图 如果 ADC ACB 则 2 ACAD AB 7 如果 ADE B 或 AED C 或 C DEB 180 或 B CDE 180 那么有 AD AC AE AB 8 如果 DE BC 那么有 AD ACAE ABDE BC AB C D a b c h a b c o r A B C D A B CD A B C D E A B C D E 文档鉴赏 9 在 ABC 中 AD 是 A 的平分线 那么 ABBD ACDC 10 内 外角角平分线 DO 平分 AOB EO 平分 COB 可以推出 DOE 90 AOD COE 90 平面几何知识要点 三 四边形及多边形四边形及多边形 面积公式 面积公式 平行四边形面积平行四边形面积 底 高 矩形面积矩形面积 长 宽 菱形面积菱形面积 对角线乘积的一半 或 菱形面积菱形面积 底 高 梯形面积梯形面积 中位线 高 2 上底下底高 对角线相互垂直四边形面积对角线相互垂直四边形面积 对角线乘积的一半 平行四边形 平行四边形 性质定理性质定理 1 平行四边形两组对边分别平行 性质定理性质定理 2 平行四边形两组对角分别相等 性质定理性质定理 3 平行四边形两组对边分别相等 推论 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 平行线间的距离处处相等 性质定理性质定理 4 平行四边形的对角线互相平分 是中心对称图形 判定定理判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定定理判定定理 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定定理判定定理 3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理判定定理 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定定理判定定理 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 矩形矩形 性质定理性质定理 1 矩形对边分别平行且相等 性质定理性质定理 2 矩形的四个角都是直角 性质定理性质定理 3 矩形对角线互相平分且相等 性质定理性质定理 4 矩形既是中心对称图形 也是轴对称图形 判定定理判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理判定定理 2 有一个直角的平行四边形 判定定理判定定理 3 对角线相等的平行四边形是矩形 菱形菱形 性质定理性质定理 1 菱形对边平行 四条边都相等 性质定理性质定理 2 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 性质定理性质定理 3 菱形既是中心对称图形也是轴对称图形 判定定理判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 O B D E AC 文档鉴赏 判定定理判定定理 2 一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定定理判定定理 3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形正方形 性质定理性质定理 1 正方形对边平行 四边相等 性质定理性质定理 2 正方形的四个角都是直角 性质定理性质定理 3 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 性质定理性质定理 3 正方形既是中心对称图形也是轴对称图形 判定定理判定定理 1 有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形 判定定理判定定理 2 一组邻边相等的矩形是正方形 判定定理判定定理 3 一个角为直角的菱形是正方形 等腰梯形等腰梯形 性质定理性质定理 1 等腰梯形两底互相平行 两腰相等 性质定理性质定理 2 等腰梯形在同一底上的两个底角相等 性质定理性质定理 3 等腰梯形的两条对角线相等 性质定理性质定理 4 等腰梯形是轴对称图形 判定定理判定定理 1 腰相等的梯形是等腰梯形 判定定理判定定理 2 在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形 判定定理判定定理 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 如果等腰梯形对角线相互垂直 则高与中位线相等 如果等腰梯形对角线相互垂直 则高与中位线相等 四边形四边中点连成的四边形图形 四边形四边中点连成的四边形图形 1 如果原四边形对角线相等且垂直 那么四边形中点连成的新四边形为正方形 2 如果原四边形对角线只相等不垂直 那么四边形中点连成的新四边形为菱形 3 如果原四边形对角线垂直但不相等 那么四边形中点连成的新四边形为矩形 4 如果原四边形对角线既不相等又非垂直 那么四边形中点连成的新四边形为平行四 边形 5 四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半 其它定理和公式其它定理和公式 1 定理 定理 四边形的内角和等于 360 四边形的外角和等于 360 2 多边形内角和定理多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 n 2 180 推论 任意多边的外角和等于 360 3 n 边形从一个顶点出发的对角线 共有 n 3 条 将 n 边形分成了 n 2 个三角形 n 边形一共有 n 3 条对角线 n 2 4 正 n 边形的每个内角都等于 2 180n n 常用辅助线常用辅助线 文档鉴赏 平面几何知识要点 四 圆 弧 弦圆 弧 弦 圆及圆的相关量的定义圆及圆的相关量的定义 圆的定义圆的定义 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为 圆 心 定长称为半径 弧 弦的定义 弧 弦的定义 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧 连接圆上任意两点的线段叫做弦弦 经过圆心 的弦叫做直径直径 圆 弧的表示方法圆 弧的表示方法 圆 弧 弦弦心心距距定义定义 圆心到弦的距离叫做弦心距 弦弦切切角角定义定义 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 圆心角定义 圆心角定义 顶点在圆心上的角叫做圆心角 圆周角定义 圆周角定义 顶点在圆周上 且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角 圆心距定义 圆心距定义 两圆圆心之间的距离叫做圆心距 连连心心线线定义 定义 过平面内不重合的两个 圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线 扇形定义扇形定义 在圆上 由 2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形 三角形的外接圆 三角形的外接圆 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 其圆心叫做三角 形的外心外心 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点 到三角形 3 个顶点距离相等 三角形的内切圆 三角形的内切圆 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为 内心内心 内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点 到三角形 3 边 距 离相等 圆的内接正圆的内接正 n 边形 圆的外切正边形 圆的外切正 n 边形定义 边形定义 把圆分成 n n 3 等分 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个 圆的外切正 n 边形 圆内接四边形面积 圆内接四边形面积 Sp papbpcpd a b c d 文档鉴赏 其中 1 2 pabcd 圆的外切四边形的两组对边的和相等 圆的外切四边形的两组对边的和相等 AB CD AD BC 公公切切线线定义定义 和两圆都相切的直线 叫做两圆的公切线 内内公公切切线线定义 定义 两个不相交的圆在公切线两旁时 这样的公 切线叫做内公切线 外外公公切切线线定义 定义 两个不相交的圆在公切线的同旁时 这样的公切线叫做外公切线 右图中 直线 AB CD 就是两圆的公切线 其中 AB 为外公切线 CD 为内公切线 公公切切线线长长计计算算公公式式 设设 半径为 R 半径为 r 两圆的圆心距为 1 o 2 oRr d 外公切线长 内公切线长 22 dRr 22 dRr 当两圆相切时 无内公切线长 直线与圆有三种位置关系 直线与圆有三种位置关系 1 无公共点为相离 2 有 2 个公共点为相交 3 圆与直线有唯一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线切线 这个唯一的公共点叫做切切 点点 两圆之间有两圆之间有 5 种位置关系 种位置关系 1 无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离 2 在之内叫内含 3 有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫外切 4 在之内叫内切 5 有 2 个公共 点 的叫相交 圆的基本性质圆的基本性质 1 点 P 与圆 O 的位置关系 设 P 是一点 则 PO 是点到圆心的距离 A B C D AB D C 文档鉴赏 当 P 在 O 外 PO r 当 P 在 O 上 PO r 当 P 在 O 内 PO r 2 直线 AB 与圆 O 的位置关系 设 OP AB 于 P 则 PO 是直线 AB 到圆心的距离 当 AB 与 O 相离 PO r 当 AB 与 O 相切 PO r 当 AB 与 O 相交 PO r 3 圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为 R 和 r 且 R r 圆心距为 P 外离 P R r 外切 P R r 相交 R r P R r 内切 P R r 内含 0 P R r 4 同圆或等圆的半径相等 5 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆也是中心对称图形 其对 称 中心是圆心 6 不在同一直线上的 3 个点确定一个圆 7 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 8 圆的切线垂直于过切点的直径 经过直径的一端 并且垂直于这条直径的直线 是 这 个圆的切线 圆的定理 圆的定理 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线长定理 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角 切割线定理 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项 2 PTPA PB 推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 此推论也叫割线定理割线定理 PA PBPCPD 相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中 项 注注 切割线定理与割线定理 相交弦定理统称为 圆圆幂幂定定理理 弦切角定理弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 弦切角等于它所夹的弧所对的圆心 P T A C B D 文档鉴赏 角的一半 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 定理定理 1 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦的弦 心 距相等 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有一 组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 定理定理 2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 相等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 定理定理 3 两圆相交时 连心线垂直平分两圆的公共弦 定定理理 4 两圆相切时 连心线通过切点 定理定理 5 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 定理定理 6 圆的外切四边形的两组对边的和相等 定理定理 7 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积的计算公式圆周长 弧长 圆面积 扇形面积的计算公式 圆周长圆的面积弧长扇形面积 公式2Crd 2 Sr 180 n r l 2 1 3602 n Srlr 注 半径 r 直径 d 扇形弧长 周长 C 面积 S n 扇形的圆心角l 扇形与弓形的联系与区别扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 SSS A 弓形扇形 1 S 2 S 圆弓形 S SSA 弓形扇形 注 1 弓形的定义 由弦及其所对的弧 包括劣弧 优弧 半圆 组成的图形叫做弓形 2 弓形的周长 弦长 弧长 圆锥与圆柱的比较圆锥与圆柱的比较 名称圆锥圆柱 文档鉴赏 图形 注 圆锥的母线长为 l 底面圆的 半径为 r 圆柱的底面半径为 r 高为 h 图形的形成过 程 由一个直角三角形旋转得到的 如 Rt SOA 绕直线 SO 旋转一周 由一个矩形旋转得到的 如矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周 图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面 侧面展开图的 特征 扇形矩形 面积计算方法 Srl 侧 2 S S Srlr 侧全底 2Srh 侧 2 S 2S 22Srhr 侧全底 三角形五心三角形五心 内心 外心 重心 垂心 旁心 三角形内心三角形内心 三角形三个内角平分线的交点 也是三角形内切圆的圆心 其半径 r 是 交 点到一边的距离 性质 到三边距离相等 三角形外心三角形外心 三角形三条中垂线的交点 也是三角形外接圆的圆心 其半径 R 是交 r O R O O O O 内心 外心 重心 垂心 旁心 文档鉴赏 点 到顶点的距离 性质 外心到三顶点的距离相等 若 O 是 ABC 的外心 则 BOC 2 A A 为锐角或直角 或 BOC 360 2 A A 为钝角 当三角形为锐角三角形时 外心在三角形内部 当三角形为钝角三角形时 外心在三角形外部 当三角形为直角三角形时 外心在斜边上 与斜边的中点重合 三角形重心三角形重心 三角形三条中线的交点 性质 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 1 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等 即重心到三条边的距离 与三条边的长成反比 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小 在平面直角坐标系中 重心的坐标是顶点坐标的算术平均 即其重心坐标为 123123 33 xxxyyy 三角形垂心三角形垂心 三角形三条高所在直线的交点 性质 垂心分每条高线的两部分乘积相等 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍 三角形旁心三角形旁心 三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 性质 旁心到三边的距离相等 性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和 文档鉴赏 圆的基本概念圆的基本概念 如上图 直线 为连心线连心线 线段 AB 称为弦弦 圆心到线段 AB 的距离称为弦心距 弦心距 l 1 O 1 O 1 OC 之间距离称为圆心距 圆心距 直线 EF 外公切线 外公切线 直线 BG 内公切线 内公切线 E F I 称为切点 切点 12 OO 称为劣弧劣弧 称为优弧优弧 称为圆心角圆心角 GIJ 称为圆周角 圆周角 A AmB A AEB 2 GO J GIH 称为弦切角弦切角 l 1 O 2 O AB C E F G H I J m 三角形的外接圆三角形的外接圆 三角形的内切圆三角形的内切圆 两圆外切两圆外切 文档鉴赏 经典难题 一 经典难题 一 1 已知 如图 O 是半圆的圆心 C E 是圆上的两点 CD AB EF AB EG CO 求证 CD GF 初二 2 已知 如图 P 是正方形 ABCD 内点 PAD PDA 150 求证 PBC 是正三角形 初二 两圆内切两圆内切 两圆相交两圆相交内含内含相离相离 A P C D B A F G C E B OD 文档鉴赏 3 如图 已知四边形 ABCD A1B1C1D1都是正方形 A2 B2 C2 D2分别是 AA1 BB1 CC1 DD1的中点 求证 四边形 A2B2C2D2是正方形 初二 4 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AB CD 的中点 AD BC 的延长线交 MN 于 E F 求证 DEN F 经经 典典 难难题 二 题 二 1 已知 ABC 中 H 为垂心 各边高线的交点 O 为外心 且 OM BC 于 M 1 求证 AH 2OM 2 若 BAC 600 求证 AH AO 初二 2 设 MN 是圆 O 外一直线 过 O 作 OA MN 于 A 自 A 引圆的两条直线 交圆于 B C 及 D E 直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P Q 求证 AP AQ 初二 D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B A D H E M C B O G A O D B E C QP NM 文档鉴赏 P C G F BQ A D E 3 如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内 则由此可得以下命题 设 MN 是圆 O 的弦 过 MN 的中点 A 任作两弦 BC DE 设 CD EB 分别交 MN 于 P Q 求证 AP AQ 初二 4 如图 分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边 在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG 点 P 是 EF 的中点 求证 点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 初二 经经 典典 难难题 三 题 三 1 如图 四边形 ABCD 为正方形 DE AC AE AC AE 与 CD 相交于 F 求证 CE CF 初二 O Q P B D E C N M A A F D E C B 文档鉴赏 2 如图 四边形 ABCD 为正方形 DE AC 且 CE CA 直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证 AE AF 初二 3 设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点 PF AP CF 平分 DCE 求证 PA PF 初二 4 如图 PC 切圆 O 于 C AC 为圆的直径 PEF 为圆的割线 AE AF 与直线 PO 相交于 B D 求证 AB DC BC AD 初三 经经 典典 难难题 四 题 四 1 已知 ABC 是正三角形 P 是三角形内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的度数 初二 D E DA C B F F EPC B A ODB F A E C P A P CB 文档鉴赏 2 设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点 且 PBA PDA 求证 PAB PCB 初二 3 设 ABCD 为圆内接凸四边形 求证 AB CD AD BC AC BD 初三 4 平行四边形 ABCD 中 设 E F 分别是 BC AB 上的一点 AE 与 CF 相交于 P 且 AE CF 求证 DPA DPC 初二 经经 典典 难难题 五 题 五 1 设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点 L PA PB PC 求证 L 2 P A D CB C B D A F P D E CB A A P CB 文档鉴赏 2 已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点 求 PA PB PC 的最小值 3 P 为正方形 ABCD 内的一点 并且 PA a PB 2a PC 3a 求正方形的边长 4 如图 ABC 中 ABC ACB 800 D E 分别是 AB AC 上的点 DCA 300 EBA 200 求 BED 的度数 经经 典典 难难题 一 题 一 1 如下图做 GH AB 连接 EO 由于 GOFE 四点共圆 所以 GFH OEG 即 GHF OGE 可得 又 CO EO 所以 CD GF 得证 EO GF GO GH CO CD A C B P D E D CB A A C B P D 文档鉴赏 2 如下图做 DGC 使与 ADP 全等 可得 PDG 为等边 从而可得 DGC APD CGP 得出 PC AD DC 和 DCG PCG 150 所以 DCP 300 从而得出 PBC 是正三角形 3 如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F E 连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点 连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点 由 A2E A1B1 B1C1 FB2 EB2 AB BC FC1 又 GFQ Q 900和 1 2 1 2 1 2 1 2 GEB2 Q 900 所以 GEB2 GFQ 又 B2FC2 A2EB2 可得 B2FC2 A2EB2 所以 A2B2 B2C2 又 GFQ HB2F 900和 GFQ EB2A2 从而可得 A2B2 C2 900 同理可得其他边垂直且相等 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形 文档鉴赏 4 如下图连接 AC 并取其中点 Q 连接 QN 和 QM 所以可得 QMF F QNM DEN 和 QMN QNM 从而得出 DEN F 经经 典典 难难题 二 题 二 1 1 延长 AD 到 F 连 BF 做 OG AF 又 F ACB BHD 可得 BH BF 从而可得 HD DF 又 AH GF HG GH HD DF HG 2 GH HD 2OM 2 连接 OB OC 既得 BOC 1200 从而可得 BOM 600 所以可得 OB 2OM AH AO 文档鉴赏 得证 3 作 OF CD OG BE 连接 OP OA OF AF OG AG OQ 由于 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG 由此可得 ADF ABG 从而可得 AFC AGE 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆 可得 AFC AOP 和 AGE AOQ AOP AOQ 从而可得 AP AQ 文档鉴赏 4 过 E C F 点分别作 AB 所在直线的高 EG CI FH 可得 PQ 2 EGFH 由 EGA AIC 可得 EG AI 由 BFH CBI 可得 FH BI 从而可得PQ 从而得证 2 AIBI 2 AB 经经 典典 难难题 三 题 三 1 顺时针旋转 ADE 到 ABG 连接 CG 由于 ABG ADE 900 450 1350 从而可得 B G D 在一条直线上 可得 AGB CGB 推出 AE AG AC GC 可得 AGC 为等边三角形 AGB 300 既得 EAC 300 从而可得 A EC 750 又 EFC DFA 450 300 750 可证 CE CF 文档鉴赏 2