高考数学一轮复习（例题解析） 3.3 幂函数与二次函数的性质

用心 爱心 专心 1 高中数学一轮复习资料高中数学一轮复习资料 第三章第三章 指数函数和对数函数指数函数和对数函数 第三节第三节 幂函数与二次函数的性质幂函数与二次函数的性质 A A 组组 1 若a 1 且 0 b1 的解集为 解析 a 1 0 b1 logb x 3 0 logb x 3 logb1 0 x 3 1 3 x 4 答案 x 3 x1 时 3 2 x x x 3 1 1 x x 3 2 排 3 x2 除 答案 3 2010 年江苏海门质检 若x 0 1 则下列结论正确的是 2x x 2 1 lgx 2x lgx x 2 1 x 2 1 2x lgx lgx x 2 1 2x 解析 x 0 1 2 2x 1 0 x 2 1 1 lgx0 即a 0 由a2 1 知a 1 因此 a的取 值范围为 1 2 记f x 的最小值为g a 则有f x 2x2 x a x a Error 当a 0 时 f a 2a2 由 知f x 2a2 此时g a 2a2 当aa 则由 知f x a2 a 3 2 3 2 3 若x a 则x a 2aa2 此时g a a2 2 3 2 3 综上 得g a Error 3 当a 时 解集为 a 6 2 2 2 当a 时 解集为 2 2 2 2 a 3 2a2 3 当a 时 解集为 a 6 2 2 2 a 3 2a2 3 a 3 2a2 3 B B 组组 1 2010 年江苏无锡模拟 幂函数y f x 的图象经过点 2 则满足f x 27 的x 1 8 的值是 解析 设幂函数为y x 图象经过点 2 则 2 1 8 1 8 3 x 3 27 x 答案 1 3 1 3 2 2010 年安徽蚌埠质检 已知幂函数f x x 的部分对应值如下表 x1 1 2 f x 1 2 2 则不等式f x 2 的解集是 解析 由表知 f x x x 2 即 x 4 故 4 x 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 x 4 x 4 3 2010 年广东江门质检 设k R R 函数f x Error F x f x kx x R R 当k 1 时 F x 的值域为 解析 当x 0 时 F x x 2 当x 0 时 F x ex x 根据指数函数与幂函数的 1 x 单调性 F x 是单调递增函数 F x F 0 1 所以k 1 时 F x 的值域为 1 2 答案 1 2 4 设函数f x Error 若f 4 f 0 f 2 0 则关于x的不等式f x 1 的解集为 解析 由f 4 f 0 得b 4 又f 2 0 可得c 4 Error 或Error 可得 3 x 1 或x 0 答案 x 3 x 1 或x 0 5 2009 年高考天津卷改编 已知函数f x Error 若f 2 a2 f a 则实数a的取值范围 是 解析 函数f x Error 的图象如图 知f x 在 R R 上为增函数 f 2 a2 f a 即 2 a2 a 解得 2 a 1 答案 2 a 1 用心 爱心 专心 3 6 2009 年高考江西卷改编 设函数f x a 0 的定义域为D 若所有点 ax2 bx c s f t s t D 构成一个正方形区域 则a的值为 解析 由题意定义域D为不等式ax2 bx c 0 的解集 ax2 bx c a x 2 b 2a a 0 0 y 所有点 s f t s t D 构成一个正方形区 4ac b2 4a 4ac b2 4a 域 意味着方程ax2 bx c 0 的两根x1 x2应满足 x1 x2 由根与系数的关 4ac b2 4a 系知 4a a2 a0 时 1 2 1 2 1 2 g x 2 2x 0 x 1 当x 0 时 g x x2 x 1 x 0 x2 x 1 0 x 2 舍 或x 所以有两个零点 答案 2 1 2 3 2 1 2 8 设函数f x x x bx c 给出下列四个命题 c 0 时 f x 是奇函数 b 0 c 0 时 方程f x 0 只有一个实根 f x 的图象关于 0 c 对称 方程f x 0 至多有两 个实根 其中正确的命题是 解析 c 0 时 f x x x b x x x bx f x 故f x 是奇函数 b 0 c 0 时 f x x x c 0 x 0 时 x2 c 0 无解 x 0 时 f x x2 c 0 x 有一个实数根 答案 c 9 2010 年湖南长沙质检 对于区间 a b 上有意义的两个函数f x 与g x 如果对于区间 a b 中的任意数x均有 f x g x 1 则称函数f x 与g x 在区间 a b 上是密切函 数 a b 称为密切区间 若m x x2 3x 4 与n x 2x 3 在某个区间上是 密切函数 则它的一个密切区间可能是 3 4 2 4 2 3 1 4 解析 m x n x 1 x2 5x 7 1 解此绝对值不等式得 2 x 3 故在区间 2 3 上 m x n x 的值域为 0 1 m x n x 1 在 2 3 上恒成立 答案 10 设函数f x x2 2bx c c b 1 f 1 0 方程f x 1 0 有实根 1 证明 3 c 1 且b 0 2 若m是方程f x 1 0 的一个实根 判断f m 4 的正负并加以证明 解 1 证明 f 1 0 1 2b c 0 b 又c b 1 故 c 1 2 c 1 3 c 方程f x 1 0 有实根 即x2 2bx c 1 0 有实根 故 c 1 2 1 3 4b2 4 c 1 0 即 c 1 2 4 c 1 0 c 3 或c 1 又c b 1 得 3 c 1 由b 知b 0 c 1 2 2 f x x2 2bx c x2 c 1 x c x c x 1 f m 1 0 c m 1 c 4 m 4 30 f m 4 的符号为正 11 2010 年安徽合肥模拟 设函数f x ax2 bx c 且f 1 3a 2c 2b 求证 1 a 2 a 0 且 3 2 函数f x 在区间 0 2 内至少有一个零点 3 设x1 x2是函数f x 的 b a 3 4 用心 爱心 专心 4 两个零点 则 x1 x2 2c 2b 3a 0 2b0 b2c 2b 3a 3a 2b 2b a 0 3 0 时 a 0 f 0 c 0 且f 1 0 f 1 0 函数f x 在区间 1 2 内至 a 2 少有一个零点 综合 得f x 在 0 2 内至少有一个零点 3 x1 x2是函数f x 的两个零点 则x1 x2是方程ax2 bx c 0 的两个根 x1 x2 x1x2 x1 x2 b a c a 3 2 b a x1 x2 2 4x1x2 f b a 2 4 f 3 2 f b a 3 x1 x2 f b a 2 2 2 b a 3 42 57 4 12 已知函数f x ax2 4x b a 0 a b R R 设关于x的方程f x 0 的两实根为 x1 x2 方程f x x的两实根为 1 若 1 求a b的关系式 2 若 a b均为负整数 且 1 求f x 的解析式 3 若 1 2 求证 x1 1 x2 1 7 解 1 由f x x得ax2 3x b 0 a0 由 1 得 2 1 3 a b a 即 2 4 1 9 4ab a2 即a2 4ab 9 a 0 a b R R 9 a2 4b a 2 由 1 得a a 4b 9 a b均为负整数 Error 或Error 或Error