2013年数学高考题分类三角函数

任意角和弧度制及任意角的三角函数 三任意角和弧度制及任意角的三角函数 三 角函数的诱导公式角函数的诱导公式 一 选择题一 选择题 1 2013 浙江高考理科浙江高考理科 6 已知 已知 则R 10 sin2cos 2 tan2 A B C D 4 3 3 4 3 4 4 3 解题指南 由已知条件和联立方程组可求得与 22 sincos1 sin 的值 从而求得 再利用倍角公式求 cos tan tan2 解析 选 C 由 解得或 22 10 sin2cos 2 sincos1 10 sin 10 3 10 cos 10 3 10 sin 10 10 cos 10 所以或 1 tan 3 tan3 当时 1 tan 3 22 2 2tan3 3 tan2 1tan4 1 1 3 当时 故选 C tan3 22 2tan63 tan2 1tan1 34 2 2013 广东高考文科广东高考文科 4 已知 那么 51 sin 25 cos A B C D 2 5 1 5 1 5 2 5 解题指南 本题考查三角函数诱导公式 可以直接利用公式计算 解析 选 C 51 sin sin 2 sincos 2225 3 2013 大纲版全国卷高考文科大纲版全国卷高考文科 2 已知是第二象限角 5 sin cos 13 则 A B C D 12 13 5 13 5 13 12 13 解题指南 由及求出的值 并利用 所在1cossin 22 sin cosa 象限判断的符号 cos 解析 选 A 因为 所以 则1cossin 22 169 144 sin1cos 22 又 是第二象限角 所以 13 12 cos a 13 12 cos 二 填空题二 填空题 4 2013 大纲版全国卷高考理科大纲版全国卷高考理科 13 已知 1 sin cot 3 是第三象限角 则 解析 而为第三象限角 所以 解 9 8 sin1cos 22 0cos 得 又 3 22 cos 22 3 1 3 22 sin cos cot 答案 22 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 一 选择题一 选择题 1 2013 湖北高考文科湖北高考文科 6 与 与 2013 湖北高考理科湖北高考理科 4 相同相同 将函数 y cosx sinx x R 的图象向左平移 m m 0 个单位3 长度后 所得到的图象关于 y 轴对称 则 m 的最小值是 A B C D 12 6 3 6 5 解题指南 先化简 再平移 余弦函数关于 y 轴对称 解析 选 B 由已知当时 平移后 31 2 cossin 2sin 223 yxxx m 6 函数为 其图象关于 y 轴对称 且此时 m 最小 2sin 2cos 2 yxx 2 2013 天津高考文科天津高考文科 6 函数在区间上 sin 2 4 f xx 0 2 的最小值是 A 1 B C D 0 2 2 2 2 解题指南 先确定的范围 再根据正弦曲线的单调性求最小2 4 x 值 解析 选 B 因为 所以 根据正弦曲线可知 0 2 x 3 2 444 x 当时 取得最小值 2 44 x f x 2 2 3 2013 新课标新课标 高考文科高考文科 9 函数在xxxfsin cos1 的图像大致为 解题指南 首先判断函数的奇偶性进行排除 然后再根据函数的 图象特征取最佳值进行验证排除 解析 选 C 因为 即 而定义xxxfsin cos1 xfxf 域关于原点对称 所以函数为奇函数 排除 B 又当 x xf 时 排除 A 当时 2 x01 2 sin 2 cos1 2 f 4 3 x 排除 D 1 2 12 4 3 sin 4 3 cos1 4 3 f 二 填空题二 填空题 4 2013 江苏高考数学科江苏高考数学科 T1 函数的最小正周期为 4 2sin 3 xy 解题指南 利用三角函数周期公式 2 T 解析 函数的最小正周期 4 2sin 3 xy 2 2 T 答案 三 解答题三 解答题 5 2013 陕西高考文科陕西高考文科 16 与 与 2013 陕西高考理陕西高考理 科科 16 相同 相同 已知向量 设函数 Rxxxbxa 2cos sin3 2 1 cosbaxf 求 f x 的最小正周期 求 f x 在上的最大值和最小值 0 2 解题指南 利用三角变换化简三角函数求得函数周期 利用数形 结合的思想方法直观简单地求出函数在规定区间上的最值 解析 baxf 6 2sin 2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 sin3cos xxxxxx 最小正周期 所以最小正周期为 2 2 T 6 2sin xxf 上的图像知 在 由标准函数时 当 6 5 6 sin 6 5 6 6 2 2 0 xyxx 1 f x sin 2x sin 1 6622 s si i n n 所以 f x 在上的最大值和最小值分别为 0 2 2 1 1 函数函数 y Asin 的图像及三角函数模 的图像及三角函数模 wx 型的简单应用型的简单应用 一 选择题一 选择题 1 2013 大纲版全国卷高考文科大纲版全国卷高考文科 9 若函数 sin0 yx 的部分图象如图 则 A B C D 5432 解题指南 观察图象可知 到的图象为整个图象周期的一 0 x 4 0 x 半 解析 选 B 由图像可知 即 故 442 00 xx T2 2 T pp w 4w 2 2013 山东高考理科山东高考理科 5 将函数 y sin 2x 的图象沿 x 轴向左平移个单位后 得到一个偶函数的图象 则 的一个可能 8 取值为 A B C 0 D 4 3 4 4 解析 选 B 将函数 y sin 2x 的图象沿 x 轴向左平移 个 8 单位 得到函数 因为此时函数为偶sin 2 sin 2 84 yxx 函数 所以 即 42 kkZ 4 kkZ 3 2013 四川高考理科四川高考理科 5 函数 的部分图象如图所示 则的值 2sin 0 22 f xx 分别是 A B C D 2 3 2 6 4 6 4 3 解题指南 本题考查的是对函数图象的影响 2sin f xx 需要重点关注的是周期与最大值点 解析 选 A 根据图象可知 所以函数的 3593 4123124 T 周期为 可得 根据图象过代入解析式 结合 2 5 2 12 可得 故选 A 22 3 4 2013 四川高考文科四川高考文科 6 函数 的部分图象如图所示 则的值 2sin 0 22 f xx 分别是 A B 2 3 2 6 C D 4 6 4 3 解题指南 本题考查的是对函数图象的影响 2sin f xx 需要重点关注的是周期与最大 小 值点 解析 选 A 根据图示可知 所以函数的周 11156 21212122 T 期为 可得 根据图象过代入解析式 结合 2 5 2 12 22 可得 故选 A 3 5 2013 福建高考文科福建高考文科 9 将函数后得 sin 2 22 f xx 1的图像向右平移个单位长度 到函数 3 0 2 g xf xg xP 的图像若的图像都经过点 则的值可以是 A B C D 5 3 5 6 2 6 解题指南 平移问题上 图象和式子的区别对待 务必认识清楚 方能正确解题 解析 选 B 的图像向右平移 个单位 f x sin 2g xx 由题 解得 经检验 3 sin 2 3 sin2 2 3 5 6 6 2013 浙江高考文科浙江高考文科 T6 函数 f x sinxcosx cos2x 的最小正 周期和振幅分别是 A 1 B 2 C 2 1 D 2 2 解题指南 先利用公式把函数 f x 转化为 y Asin x 的形式 再求解 解析 选 A 所 313 sin coscos2sin2cos2sin 2 2223 f xxxxxxx 以 A 1 T 二 填空题二 填空题 7 2013 江西高考理科江西高考理科 11 函数 y sin2x 2sin2x 的最小正3 周期 T 为 解题指南 将函数解析式转化为的形式解决 yAsin x h 解析 因为ysin2x3 1 cos2x sin2x3cos2x3 所以最小正周期 T 2sin 2x 3 3 2 2 答案 8 2013 新课标全国新课标全国 高考文科高考文科 16 函数 的图象向右平移个单位后 与函数cos 2 yx 2 的图象重合 则 sin 2 3 yx 解题指南 将化为余弦型函数 然后利用平移的知识 sin 2 3 yx 即可确定 值 解析 函数向右平移个单位 得到的cos 2 yx 2 sin 2 3 yx 图象 即的图象向左平移个单位得到函数sin 2 3 yx 2 的图象 的图象向左平移个单位 得到cos 2 yx sin 2 3 yx 2 sin 2 sin 2 233 yxx sin 2 cos 2 323 xx 即 5 cos 2 6 x 5 6 答案 5 6 9 2013 江西高考文科江西高考文科 13 设 f x sin3x cos3x 若对3 任意实数 x 都有 f x a 则实数 a 的取值范围是 解题指南 根据题意只需即可 max af x 解析 其最大值为 2 所以 f x 2sin 3x 6 a2 答案 a2 10 2013 新课标新课标 高考文科高考文科 16 与 与 2013 新课标新课标 高考高考 理科理科 15 相同 相同 设当时 函数取得最大值 则 xxxxfcos2sin cos 解题指南 利用辅助角公式 其中 构造求解 sin cossin 22 xbaxbxaxf a b tan 的值 cos 解析 其中 当 sin 5cos2sin xxxxf2tan 时 函数取得最大值 即 所以 2 2 kx xf 2 2k 又因为 在第四象限 所以 sin 2 cos cos 2tan 即 5 52 sin 5 52 cos 答案 5 52 三 解答题三 解答题 11 2013 上海高考理科上海高考理科 T21 已知函数 其中常 2sin f xx 数 0 1 若在上单调递增 求的取值范围 yf x 2 43 2 令 将函数的图像向左平移个单位 再向上平2 yf x 6 移 1 个单位 得到函数的图像 区间 且 yg x a b a bR ab 满足 在上至少含有 30 个零点 在所有满足上述条件的 yg x a b 中 求的最小值 a bba 解析 1 因为函数 y f x 在上单调递增 且 0 所以 且 所以 00 所以角 的终边落 4 1 2 在直线 y x 的左侧 sin cos 0 由 tan 得即 4 1 2 tan11 1tan2 所以设 sin cos x 则 cos sin 2x 将这两个式 sincos1 cossin2 子平方相加得 x2 即 sin cos 2 5 10 5 答案 10 5 三 解答题三 解答题 10 2013 辽宁高考文科辽宁高考文科 17 与 与 2013 辽宁高考理辽宁高考理 科科 17 相同 相同 设向量 3sin sin cos sin 0 2 axx bxx x 若 ab 求x的值 设函数 f xa b 求 f x的最大值 解题指南 利用向量的坐标运算 将模和数量积问题转化为三角 函数问题求解 解析 由得 3sin sin cos sin axx bxx 2 222 3sin sin 4sinaxxx 2 22 cos sin 1 bxx 又因为所以 又所以 ab 2 4sin1x 0 2 x 1 sin 26 xx 函数 f xa b 2 3sin sin cos sin 3sin cossinxxxxxxx 31 cos2311 2sin cossin2cos2 22222 x xxxx 1 cossin2sincos2 662 xx sin2 coscos2 sinsin 2 666 xxx 因为所以 故 0 2 x 5 2 666 x 1 sin 2 1 26 x 13 0sin 2 622 x 即的最大值为 f x 3 2 11 2013 四川高考理科四川高考理科 17 在中 角的对边ABC A B C 分别为 且 a b c 2 3 2coscossin sincos 25 AB BABBAC 1 求的值 cos A 2 若 求向量在方向上的投影 4 2a 5b BA BC 解题指南 本题解题的突破口在于已知条件 的化简 以及隐含条件 2 3 2coscossin sincos 25 AB BABBAC 在三角形中内角和为 第 2 问要注意正弦定理与余弦定理的应 用 解析 1 由 2cos2cosB sin A B sinB cos A C A B 2 3 5 得 cos A B 1 cosB sin A B sinB cosB 3 5 即 cos A B cosB sin A B sinB 3 5 则 cos A B B 即 cosA 3 5 3 5 2 由 cosA 0 Ab 则 A B 故 B 4 根据余弦定理 有 4 2 52 c2 2 5c 2 3 5 解得 c 1 或 c 7 舍去 故向量在方向上的投影为 cosB BA BC BA 2 2 12 2013 四川高考文科四川高考文科 17 在中 角的对边分ABC A B C 别为 且 a b c 3 cos cossin sin 5 ABBABAC 求的值 sin A 若 求向量在方向上的投影 4 2a 5b BA BC 解题指南 本题解题的突破口在于已知条件 的化简 以及隐含条件在三角形 3 cos cossin sin 5 ABBABAc 中内角和为 第 问要注意正弦定理与余弦定理的应用 解析 由 得 3 cos cossin sin 5 ABBABAC 则 A B B 即A 3 cos cossin sin 5 ABBABB cos 3 5cos 3 5 又因为 所以A 0A sin 4 5 由正弦定理 有 所以B a sinA b sinBsin bsinA a 2 2 由题知 a b 则 A B 故 B 则B 4cos 2 2 根据余弦定理 有 4 2 52 c2 2 5c 即 c2 6c 7 0 2 3 5 解得 c 1 或 c 7 负值舍去 故向量在方向上的投影为 B cB BA BC BA cos cos 2 2 13 2013 广东高考理科广东高考理科 16 已知函数 2cos 12 f xx x R 1 求的值 6 f 2 若 求 33 cos 2 52 2 3 f 解题指南 本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换 特别要注意两角和公式及二倍角公式cos coscossinsin 的应用 解析 1 2cos 2cos 2cos1 661244 f 2 2 2cos 2 2cos 2 cos2sin2 33124 f 若 33 cos 2 52 则 4 sin 5 2 7 cos22cos1 25 24 sin22sincos 25 所以 17 2 cos2sin2 325 f 14 2013 广东高考文科广东高考文科 16 已知函数 2cos 12 f xxx R 1 求的值 3 f 2 若 求 33 cos 2 52 6 f 解题指南 本题考查利用三角函数诱导公式求值和三角恒等变换 特别要注意两角和公式及二倍角公式cos coscossinsin 的应用 解析 1 2cos2cos1 33124 f 2 因为 所以 33 cos 2 52 2 4 sin1 cos 5 1 2cos2 coscossinsincossin 64445 f 15 2013 湖北高考文科湖北高考文科 T18 与 与 2013 湖北高考理湖北高考理 科科 17 相同 相同 在 中 角 对应的边分别是 已知ABCABCabc 求角 A 的大小 cos23cos 1ABC 若 的面积 求的值 ABC5 3S 5b sinsinBC 解题指南 三角恒等变换求 cosA 用面积公式和正 余弦定理求 解 解析 由 得 cos23cos 1ABC 2 2cos3cos20AA 即 解得 或 舍去 2cos1 cos2 0AA 1 cos 2 A cos2A 因为 所以 0 A 3 A 由得 又 知 1133 sin5 3 2224 SbcAbcbc 20bc 5b 4c 由余弦定理得故 222 2cos25162021 abcbcA 21a 又由正弦定理得 2 2 2035 sinsinsinsinsin 2147 bcbc BCAAA aaa 16 2013 湖南高考理科湖南高考理科 17 已知函数 2 sin cos 2sin 632 x f xxxg x 1 若是第一象限角 且 求的值 3 3 5 f g 2 求使成立的 x 的取值集合 f xg x 解题指南 第 1 问是利用两角差的正余弦公式和降幂公式以及三 角函数给值求值 第 2 问要结合已知关系 化简后解三角不等式 解析 xxxxxxxxfsin3sin 2 3 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 3 3 cos 6 sin x x xgcos1 2 sin2 2 1 由 得 由是第一象限角 所以 从 5 33 f 5 3 sin 0cos 而 5 1 5 4 1sin11cos1 2 g 2 等价于 即 xgxf xxcos1sin3 1cossin3 xx 于是 从而 k Z 2 1 6 sin x 6 5 2 66 2 kxk 即 故使成立的 x 的取值集合为 2 2kx2kkZ 3 f xg x Zkkxkx 3 2 22 17 2013 湖南高考文科湖南高考文科 16 已知函数 3 cos cos xxxf I 求的值 2 3 f II 求使 成立的 x 的取值集合 1 4 f x 解题指南 本题需要熟练掌握三角诱导公式 特殊角的三角函数 值 三角恒等变换公式及三角函数性质 解析 I 4 1 3 cos 3 cos 3 cos 3 2 cos 3 2 f II 2 13 cos cos cos cossin 322 1313 cossin cos 1 cos2 sin2 2244 11 cos 2 234 f xxxxxx xxxxx x A 因为 所以 即 1 4 f x 4 1 4 1 3 2cos 2 1 x0 3 2cos x 于是解得 2 3 2 3 2 2 2Zkkxk 12 11 12 5 Zkkxk 故所求 的取值集合是x Zkkxkx 12 11 12 5 18 2013 安徽高考理科安徽高考理科 16 已知函数 的最小正周期为 4cossin 0 4 f xxx 1 求 的值 w 2 讨论在区间上的单调性 f x 0 2 解题指南 1 将函数化成 y Asin x b 的形式 利 yf x 用最小正周期求出 的值 2 根据三角函数的图像及性质解答 w 解析 1 2 4cos sin 2 2sin cos2 2cos 4 f xxxxxx 因为 f x 的最小正周期为2 sin2 cos22xxww 2sin 2 2 4 x 且 所以有 故 0w 2 1w 2 由 1 知 若 则 2sin 2 2 4 f xx 0 2 x 5 2 444 x 当 即时 f x 单调递增 2 442 x 0 8 x 当 即时