2011高三函数第一轮复习知识要点总结必备

当前第 页 共 7 页1 函函 数数 1 映射 AB 的概念 在理解映射概念时要注意 理解映射概念时要注意 A 中元素必须都有f 象且唯一 B 中元素不一定都有原象 但原象不一定唯一 如如点在映射 ba 的作用下的象是 则在作用下点的原象为点 答 f baba f 1 3 2 1 2 函数函数 A AB B 是特殊的映射是特殊的映射 特殊在定义域定义域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集都是非空数集 f 据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点 但与轴垂线的公共点可xy 能没有 也可能有任意个 3 求函数定义域的常用方法 研究函数问题时要树立定义域优先的原则研究函数问题时要树立定义域优先的原则 1 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零 分母不能为零 对数 中且等 logax0 0 xa 1a 如 如 1 1 函数的定义域是 2 4 lg3 xx y x 0 2 2 3 3 4 2 2 若函数的定义域为 R 则 2 7 43 kx y kxkx k 3 0 4 3 3 函数的定义域是 则函数 f x a b0ba 的定义域是 答 F xf xfx aa 4 4 设函数 若的定义域是 R 求实数的 2 lg 21 f xaxx f xa 取值范围 若的值域是 R 求实数的取值范围 答 f xa1a 01a 2 根据实际问题的要求确定自变量的范围 3 复合函数的定义域 若已知的定义域为 其复合函数 f x a b 的定义域由不等式解出即可 若已知的定义域为 f g x ag xb f g x 求的定义域 相当于当时 求的值域 即的定义 a b f x xa b g x f x 域 如 如 1 1 若函数的定义域为 则的定义域为 xfy 2 2 1 log2xf 答 2 2 若函数的定义域为 42 xx 2 1 f x 2 1 则函数的定义域为 答 1 5 f x 4 求函数值域 最值 的方法 1 配方法配方法 二次函数 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求 闭区间上的最值 二是求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 求 m n 二次函数的最值问题 勿忘数形结合二次函数的最值问题 勿忘数形结合 注意 两看两看 一看开口方向 二看对 称轴与所给区间的相对位置关系 如 如 1 1 求函数的值域 答 4 8 2 25 1 2 yxxx 2 2 当时 函数在时取得最大值 2 0 x3 1 4 2 xaaxxf2 x 则的取值范围是 答 a 2 1 a 2 换元法换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 当前第 页 共 7 页2 其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 如如的211yxx 值域为 答 令 运用换元法时 要特别要注运用换元法时 要特别要注 3 1xt 0t 意新元意新元 的范围的范围 t 3 函数有界性法函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的 有界性 来确定所求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 如如求函数 的值域 答 0 1 2sin1 1sin y 3 1 3 x x y 1 2 4 单调性法单调性法 利用一次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函 数的单调性 如如求的值域为 1 19 yxx x 80 0 9 5 数形结合法数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 如 如 1 1 已知点在圆上 求及的取值范围 答 P x y 22 1xy 2 y x 2yx 33 33 5 5 6 判别式法判别式法 对分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也可以用其它方法进行求解 不必拘泥在判别式法上 也可先 通过部分分式后 再利用基本不等式 型 可直接用不等式性质 如如求的值域 答 2 b y kx 2 3 2 y x 3 0 2 型 先化简 再用基本不等式 如 如 1 1 求的值 2 bx y xmxn 2 1 x y x 域 答 2 2 求函数的值域 答 1 2 2 3 x y x 1 0 2 型 可用判别式法或均值不等式法 如如求的 2 xm xn y mxn 2 1 1 xx y x 值域 答 3 1 7 不等式法不等式法 利用基本不等式求函数的最值 2 abab a bR 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过 有时须要用到拆项 添项和两边平方等技巧 如如设成等差数列 12 x a ay 成等比数列 则的取值范围是 答 12 x b by 21 2 21 bb aa 0 4 8 导数法导数法 一般适用于高次多项式函数 如如求函数 的最小值 答 48 32 2440f xxxx 3 3 x 提醒提醒 1 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 函数的最值与值域之间有何关系 6 分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不 同的式子来表示对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 在求分段函数的值 当前第 页 共 7 页3 时 一定首先要判断属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 0 f x 0 x 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集 如已 知 则不等式的解集是 答 1 0 1 0 x f x x 2 2 5xxf x 3 2 7 求函数解析式的常用方法 求函数解析式的常用方法 1 待定系数法待定系数法 已知所求函数的类型 二次函数的表达形式有三种 一般式 顶点式 零点式 2 f xaxbxc 2 f xa xmn 要会根据已知条件的特点 灵活地选用二次函数的表达 12 f xa xxxx 形式 如如已知为二次函数 且 且 f 0 1 图象在 f x 2 2 xfxf x 轴上截得的线段长为 2 求的解析式 答 2 f x 2 1 21 2 f xxx 2 代换 配凑 法代换 配凑 法 已知形如的表达式 求的表达式 f g x f x 如 如 1 1 若 则函数 答 2 2 2 2 1 1 x x x xf 1 xf 2 23xx 若函数是定义在 R 上的奇函数 且当时 那 xf 0 x 1 3 xxxf 么当时 答 0 x xf 3 1 xx 3 方程的思想方程的思想 已知条件是含有及另外一个函数的等式 可抓 f x 住等式的特征对等式的进行赋值 从而得到关于及另外一个函数的方程组 f x 如 如 1 1 已知 求的解析式 答 2 32f xfxx f x 2 3 3 f xx 2 2 已知是奇函数 是偶函数 且 则 f x xg f x xg 1 1 x f x 2 1 x x 8 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此 确定函数的奇偶性时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 如如若函数 为奇函数 其中 则的值 xf2sin 3 x 25 3 x 2 0 是 答 0 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化 简 再判断其奇偶性 定义法 如如判断函数的奇偶性 答 奇函数 2 4 4 9 x y x 利用函数奇偶性定义的等价形式 或 0f xfx 如如判断的奇偶性 答 偶函数 1 fx f x 0f x 11 212 x f xx 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 y 3 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶 函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 当前第 页 共 7 页4 若为偶函数 则 如如若定义在 R 上的偶函数 f x fxf xfx 在上是减函数 且 2 则不等式的解集为 f x 0 3 1 f2 log 8 1 xf 答 0 0 5 2 若奇函数定义域中含有 0 则必有 故是为奇函数 f x 0 0f 0 0f f x 的既不充分也不必要条件 如如若为奇函数 则实数 1 22 21 x x aa f x a 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数 与一个偶函数的和 或差 如如设是定义域为 R 的任一函数 xf 判断与的奇偶性 2 f xfx F x 2 f xfx G x xF xG 若将函数 表示成一个奇函数和一个偶函数之和 则 x exf xg xh 答 为偶函数 为奇函数 xg xF xG xg 2 xx ee 9 函数的单调性函数的单调性 1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法 在解答题中常用 定义法 取值 作差 变形 定号 导数法 在区间内 若总有 则为增函数 反之 若在区间 a b 0fx f x f x 内为增函数 则 请注意两者的区别注意两者的区别所在 如如已知函数 a b 0fx 在区间上是增函数 则的取值范围是 答 3 f xxax 1 a 0 3 在填空题中还可用数形结合法 特殊值法等等 特别要注意特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用 增区间为 0 b yaxa x 0 b 减区间为 bb aa 0 0 bb aa 如如若函数 在区间 4 上是减函数 那么实2 1 2 2 xaxxf 数的取值范围是 答 a3 a 复合函数法 复合函数单调性的特点是同增异减同增异减 如如函数 的单调递增区间是 答 1 2 2 1 2 log2yxx 2 特别提醒 特别提醒 求单调区间时 一是勿忘定义域勿忘定义域 如如若函数 在区间上为减函数 求的取值范围 答 2 log 3 a f xxax 2 a a 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号 和 或 三是 1 2 3 单调区间应该用区间表示 不能用集合或不等式表示 3 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用单调性与奇偶性的逆用了吗 比较大小 解不等 式 求参数范围 如如已知奇函数是定义在上的减函数 若 xf 2 2 0 12 1 mfmf 求实数的取值范围 答 m 12 23 m 10 常见的图象变换常见的图象变换 当前第 页 共 7 页5 函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移 axfy 0 a xfy x 个单位得到的 a 函数 的图象是把函数的图象沿轴向右平移 axfy 0 a xfy x 个单位得到的 如 如 1 1 若 则函数的最小值为a 2 199 443f xxx f x 答 2 2 2 如若函数是偶函数 则函数的对称轴方 21 yfx 2 yfx 程是 答 1 2 x 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来 xafy 0 a xfy y 的倍得到的 a 11 函数的对称性函数的对称性 满足条件的函数的图象关于直线对称 点 f xaf bx 2 ab x 关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yy x y xfy y xfy 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线 x yx xy xfy x 方程为 xfy 点关于原点的对称点为 函数关于原点的对称曲 x y xy xfy 线方程为 xfy 曲线关于点的对称曲线的方程为 0f x y a b 2 2 0faxby 如如若函数与的图象关于点 2 3 对称 则xxy 2 xgy 答 xg 2 76xx 的图象先保留原来在轴上方的图象 作出轴下方的图象 f x f xxx 关于轴的对称图形 然后擦去轴下方的图象得到 的图象先保留xx fx 在轴右方的图象 擦去轴左方的图象 然后作出轴右方的图象关于 f xyyy 轴的对称图形得到 y 提醒提醒 1 从结论 可看出 求对称曲线方程的问题 实质上是利 用代入法转化为求点的对称问题 2 证明函数图像的对称性 即证明图像上 任一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 12 函数的周期性函数的周期性 1 类比类比 三角函数图像三角函数图像 得得 若图像有两条对称轴 则必是周期函 yf x xa xb ab yf x 数 且一周期为 2 Tab 如如已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数 则方程在R f x 0f x 上至少有 个实数根 答 5 2 2 2 由周期函数的定义由周期函数的定义 函数满足 则是 f x xafxf 0 a f x 周期为的周期函数 得得 a 函数满足 则是周期为 2的周期函数 f x xafxf f xa 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 当前第 页 共 7 页6 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 如如 1 1 设是上的奇函数 当时 xf 2 xfxf 10 x 则等于 答 xxf 5 47 f5 0 2 2 设是定义域为 R 的函数 且 又 f x 21f xf x 1f x 则 答 2 2 f 2008 f223 13 指数式 对数式指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a log 10 a log1 aa lg2lg51 logln ex x log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN log log log c a c b b a 如如的值为 答 loglog m n a a n bb m 2 log81 2 1 64 14 指数 对数值的大小比较指数 对数值的大小比较 1 化同底后利用函数的单调性 2 作差或作商法 3 利用中间量 0 或 1 4 化同指数 或同真数 后利 用图象比较 15 函数的应用函数的应用 1 求解数学应用题的一般步骤 审题 认真读题 确切理解题意 明确问题的实际背景 寻找各量之间的内存联系 建模 通过抽象概括 将实际问题转化为相应的数学问题 别忘了注上符合实际意义别忘了注上符合实际意义 的定义域的定义域 建模 求解所得的数学问题 回归 将所解得的数学结果 回归到实际问题中去 2 常见的函数模型有 建立一次函数或二次函数模 型 建立分段函数模型 建立指数函数模型 建立型 b yax x 16 16 抽象函数抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式 只给出 了其它一些条件 如函数的定义域 单调性 奇偶性 解析递推式等 的函数 问题 求解抽象函数问题的常用方法是 1 借鉴模型函数进行类比探究借鉴模型函数进行类比探究 几类常见的抽象函数 正比例函数型 0 f xkx k f xyf xf