二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题 主要是解答题 也有少量的选择和填 空题 常见问题有以几何为背景问题 以球类为背景问题 以桥 隧道为背景问题和以利 润为背景问题四类 一一 以几何为背景问题以几何为背景问题 原创模拟预测题原创模拟预测题 1 1 市政府为改善居民的居住环境 修建了环境幽雅的环城公园 为了给 公园内的草评定期喷水 安装了一些自动旋转喷水器 如图所示 设喷水管AB高出地面 1 5m 在B处有一个自动旋转的喷水头 一瞬间喷出的水流呈抛物线状 喷头B与水流最 高点C的连线与地平面成45 的角 水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距 离高出 2m 水流的落地点为D 在建立如图所示的直角坐标系中 1 求抛物线的函数解析式 2 求水流的落地点D到A点的距离是多少 m 答案 1 2 13 2 22 yxx 2 27 m 解析 试题分析 1 把抛物线的问题放到直角坐标系中解决 是探究实际问题常用的方法 本 题关键是解等腰直角三角形 求出抛物线顶点 C 2 3 5 及 B 0 1 5 设顶点式求解 析式 2 求 AD 实际上是求当 y 0 时点 D 横坐标 在如图所建立的直角坐标系中 由题意知 B点的坐标为 01 5 45CBEBEC 为等腰直角三角形 2BE 点坐标为 2 3 5 1 设抛物线的函数解析式为 2 0 yaxbxc a 则抛物线过点 01 5 顶点为 2 3 5 当0 x 时 1 5yc 由2 2 b a 得4ba 由 2 4 3 5 4 acb a 得 2 616 3 5 4 aa a 解之 得0a 舍去 1 42 2 aba 所以抛物线的解析式为 2 13 2 22 yxx 考点 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评 此题为数学建模题 借助二次函数解决实际问题 结合实际问题并从 中抽象出函数模型 试着用函数的知识解决实际问题 学会数形结合解答二次函数的相关 题型 原创模拟预测题原创模拟预测题 2 2 在青岛市开展的创城活动中 某居民小区要在一块一边靠墙 墙长 15m 的空地上修建一个矩形花园ABCD 花园的一边靠墙 另三边用总长为 40m 的栅栏 围成 如图所示 若设花园的BCx边长为 m 花园的面积为y m 1 求y与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 满足条件的花园面积能达到 200 m 吗 若能 求出此时x的值 若不能 说明理由 3 根据 1 中求得的函数关系式 描述其图象的变化趋势 并结合题意判断当x取何值时 花园的面积最大 最大面积为多少 答案 1 2 不能 3 15x 时 最大面积xxy20 2 1 2 150 x 187 5m 解析 2 1 20 015 2 yxxx 2 当200y 时 即 2 1 20200 2 xx 2 404000 xx 解得 2015x 015x 此花园的面积不能达到 200m 考点 本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用 点评 此题为数学建模题 借助二次函数解决实际问题 结合实际问题并从中抽象出函数 模型 试着用函数的知识解决实际问题 学会数形结合解答二次函数的相关题型 二二 以球类为背景问题以球类为背景问题 原创模拟预测题原创模拟预测题 3 3 如图 排球运动员站在点 O 处练习发球 将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出 把球看成点 其运行的高度 y m 与运行的水平距离 x m 满足关系式 已知球网与 O 点的水平距离为 9m 高度为 2 43m 球场的边界距 O 点的 2 ya x 6h 水平距离为 18m 1 当 h 2 6 时 求 y 与 x 的关系式 不要求写出自变量 x 的取值范围 2 当 h 2 6 时 球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由 3 若球一定能越过球网 又不出边界 求二次函数中二次项系数 a 的最大值 答案答案 1 把 x 0 y 2 及 h 2 6 代入到 即 2 ya x 6h 2 2a 062 6 1 a 60 当 h 2 6 时 y 与 x 的关系式为 21 yx 62 6 60 3 把 x 0 y 2 代入到 得 2 ya x 6h h236a x 9 时 2 43 2 ya 96236a227a x 18 时 0 2 ya 186236a2108a 由 解得 1 a 54 若球一定能越过球网 又不出边界 二次函数中二次项系数 a 的最大值 为 1 54 考点考点 二次函数的性质和应用 无理数的大小比较 三三 以桥 隧道为背景问题以桥 隧道为背景问题 原创模拟预测题原创模拟预测题 4 4 如图 一大桥有一段抛物线型的拱梁 抛物线的表达式为 y ax2 bx c 小王骑自行车从 O 匀速沿直线到拱梁一端 A 再匀速通过拱梁部分的桥面 AC 小王从 O 到 A 用了 2 秒 当小王骑自行车行驶 10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同 则 小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 AC 共需 秒 答案答案 26 考点考点 二次函数的应用 四四 以利润为背景问题以利润为背景问题 原创模拟预测题原创模拟预测题 5 5 某山区的一种特产由于运输原因 长期只能在当地销售 当地政 府对该特产的销售投资收益为 每投入 x 万元 可获得利润 P 万元 21 x6041 50 当地政府拟规划加快开发该特产的销售 其规划方案为 在规划前后对该项目每年最多 可投人 100 万元的销售投资 在实施规划 5 年的前两年中 每年都从 100 万元中拨出 60 万 元用于修建一条公路 两年修成 通车前该特产只能在当地销售 公路通车后的 3 年中 该特产既在本地销售 也在外地销售 在外地销售的投资收益为 每投入万元 可获利x 润 Q 万元 249288 100 x100 x160 505 1 若不进行开发 求 5 年所获利润的最大值是多少 2 若按规划实施 求 5 年所获利润 扣除修路后 的最大值是多少 3 根据 1 2 该方案是否具有实施价值 答案答案 1 每投入万元 可获得利润 P 万元 x 21 x6041 50 当 60 时 所获利润最大 最大值为 41 万元 x 若不进行开发 5 年所获利润的最大值是 41 5 205 万元 2 前两年 0 40 此时因为 P 随的增大而增大 xx 所以 40 时 P 值最大 x 即这两年的获利最大为 2 66 万元 21 406041 50 后三年 设每年获利 设当地投资额为 则外地投资额为 100 yxx P Q y 21 x6041 50 2 49288 xx160 505 2 60 129 30 2 1029 xxx 当 30 时 y 最大且为