高中数学 导数定义求导公式切线知识精讲 文 人教实验A版选修1-1

1 高二数学导数定义 求导公式 切线 文 人教实验高二数学导数定义 求导公式 切线 文 人教实验 A A 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数定义 求导公式 切线 二 重点 难点 1 定义 x xfxxf x y xf xx limlim 00 00 0 x xfxxf xf x lim 0 2 初导函数的导数公式 1 cxf 0 x f 2 n xxf 1 n xnxf 3 xxfsin xxfcos 4 xxfcos xxfsin 5 x axf aaxf x ln 0 a且1 a 6 xxf a log aln x 1 x f 3 导数运算 1 xgxfxgxf 2 xgxfxgxfxgxf 3 2 xg xgxfxgxf xg xf 典型例题典型例题 例 1 利用导数的定义求函数 2 xy 的导数 并求该函数在3 x处的导数值 解 解 222 2 xxxxxxxfxxfy xx x y 2 因此x x y xf x 2lim 0 从而632 3 f 例 2 已知 f x 在 x a 处可导 且baf 求下列极限 1 h hafhaf h 2 3 lim 0 2 h afhaf h lim 2 0 2 解 解 1 h hafafafhaf h hafhaf hh 2 3 lim 2 3 lim 00 bafaf h afhaf h afhaf h hafaf h afhaf hh hh 2 2 1 2 3 lim 2 1 3 3 lim 2 3 2 lim 2 3 lim 00 00 2 lim lim 2 2 0 2 0 h h afhaf h afhaf hh 00 lim lim 0 2 2 0 afh h afhaf hh 例 3 求下列函数的导数 1 x xx xfy 23 2 解 解 2 1 2 1 2 3 23 xxxxf 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 xxxxf 2 2 1x x y 解 解 22 2 22 2 1 1 1 2 1 x x x xxx xf 3 x x xfy cos1 sin1 解 解 22 cos1 1cossin cos1 sin1 sin cos1 cos x xx x xxxx xf 4 xxxfy 33 sinsin 解 解 xxxxxfcossin33cos 223 5 sin3ln 2 xxxy 解 解 xxx xx xx xxx y sin3 cos16 cos16 sin3 1 22 6 x xxf sin 10 3 解 解 xxxf xx cos10ln1010 sinsin 例 4 已知函数bxaxxf lnln 2 满足 1 1 1 f 2 0 1 e f 求ba 解 解 x a x xxf 1 ln2 1 2 02 1 0 1 1 1 b a aee b e f f 例 5 求曲线 2 xy 在点 P 2 4 处的切线方程 解 解 P 2 4 在 2 xy 上 xy2 2 x时 4 kxf 2 44 xy 044 yx 例 6 曲线2632 2 xxy在点 A 处切线的斜率为 15 求切线方程 解 解 设切点 A 00 y x 34 xy 1534 0 x 3 0 x 1 0 y 切 l 3 151 xy 04415 yx 例 7 过点 P 2 0 且与曲线 x y 1 相切的直线方程 解 解 P 不在曲线上 设切点 A 00 y x 切 l 1 0 2 0 0 xx x yy 1 1 2 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 y x x x y x y 切 l 1 1 xy 02 yx 例 8 求曲线 2 xy与 1 xy交点处两条切线的夹角正切值 4 解 解 x y x y 1 1 2 交点 1 1 3 1 2 x y 2 1 x y 2 1 k 1 2 k 3 1 21 12 tan 例 9 求过 P 2 2 与曲线 3 3xxy 相切的切线方程 解 解 设切点 A ba 2 33xy 切 l 33 2 axaby 2 33 2 3 2 3 aab aab 043 23 aa 2 1 b a 切 l 2 y 或 2 2 b a 切 l 0169 yx 例 10 求曲线 C1 2 xy 曲线 C2 2 2 xy的公切线 均相切的直线 解 解 公切线l与 C1 C2切于 A 2 aa B 2 2 bb 2 2 1 axaayl 2 2 2 2 2 bxbbyl 4 2 2 2 2 2 2 1 bxbyl aaxyl 21 l l为同一条直线 0 2 4 2 22 22 b a ba ba 或 2 0 b a 两公切线 44 xy 0 y 例 11 已知baxxxf 2 dcxxxg 2 且 4 12 xgxf 且 xgxf 且30 5 f 求 4 g 5 解 解 4 12 xgxf dcxxbaxax444 1 24 4 22 2 41 1 424 dba ca xgxf cxax 22 ca 3 30 5 f 55 ba 4 2 1 2 5 2 dcba 2 47 4 g 模拟试题模拟试题 答题时间 45 分钟 1 在导数的定义中 自变量 x 的增量x A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不等于 0 2 在曲线1 2 xy的图象上取一点 1 2 及邻近一点 yx 2 1 则 x y 为 A 2 1 x x B 2 1 x x C 2 x D x x 1 2 3 一直线运动的物体 从时间 t 到tt 时 物体的位移为s 那么 t s t 0 lim为 A 从时间 t 到tt 时 物体的平均速度 B 时间 t 时该物体的瞬时速度 C 当时间为t 时该物体的速度 D 从时间 t 到tt 时位移的平均变化率 4 已知一物体的运动方程是 2 1tts 其中位移单位 m 时间单位 s 那么该 物体在 3s 时的瞬时速度是 A 5m s B 6m s C 7m s D 8m s 5 函数 2 1 3 xxy的导数是 A 5 2x B 5 4x C 5 2x D 5 4x 6 已知23 23 xaxxf 若4 1 f 则a的值等于 A 3 19 B 3 10 C 3 13 D 3 16 7 若xxysin 2 则 y A xxsin2 B xx cos 2 C xxxxcoscos2 2 D xxxxcossin2 2 8 抛物线 2 xy 上点 M 4 1 2 1 的切线的倾斜角是 6 A 30 B 45 C 60 D 90 9 05 年浙江 函数1 2 axy的图象与直线 y x 相切 则 a A 8 1 B 4 1 C 2 1 D 1 10 若1 3 2 lim 00 0 x xfxxf x 则 0 x f 等于 11 抛物线 2 4 1 xy 在点 P 2 1 处的切线方程是 12 已知曲线 3 4 3 1 3 xy 则过点 P 2 4 的切线方程是 13 垂直于直线0162 yx 且与曲线53 23 xxy相切的直线的方程是 14 1 一球沿某一斜面自由滚下 测得滚下的垂直距离 h 单位 m 与时间 t 单位 s 之间的函数关系为 2 th 求st4 时 此球在垂直方向的瞬时速度 2 质点 P 在半径为 10cm 圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动 角速度为 1rad s 设该圆与 x 轴正半轴的交点 A 为起始点 求时刻 t 时 点 P 在 y 轴上射影点 M 的 速度 15 已知两曲线axxy 3 和cbxxy 2 都经过点 P 1 2 且在点 P 处有公切 线 试求 a b c 的值 16 已知曲线 x xy 1 及该曲线上的一点 A 2 2 5 1 用导数的定义求点 A 处的 切线的斜率 2 求点 A 处的切线方程 17 1 求曲线 1 2 2 x x y在点 1 1 处的切线方程 2 运动物体在曲线 2 2 2 1 t t t S 上运动 求物体在 t 3s 时的速度 位移单位 m 时间单位 s 18 设函数 x xf 1 1 点 P 00 y x 10 0 x 在曲线 xfy 上 求曲线上 的点 P 处的切线与 x 轴 y 轴的正半轴所围成的三角形面积的表达式 用 x0表示 7 试题答案试题答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B 9 B 10 1 5 11 01 yx 12 044 yx 13 063 yx 14 解 1 4 t hv 8 米 秒 即球在垂直方向的瞬时速度为 8 米 秒 2 经过 t 时 点 P 在 y 轴上射影长为 s 10sin1t 10sint 点 P 在 y 轴上射影点 M 的速度为stcms cos10 15 解 因为点 P 1 2 在曲线axxy 3 上 1 a 函数axxy 3 和 2 xy cbx 的导数分别为axy 2 3和bxy 2 且在 点 P 处有公切线 ba 1213 2 得2 b 又由c 1212 2 得 1 c 16 解 1 x x x x xfxfy 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 点 A 处的切线的斜率为 4 3 1 2 2 1 limlim 00 xx y k xx 2 点 A 处的切线方程 2 4 3 2 5 xy 化简得0443 yx 17 解 1 22 2 22 2 1 22 1 22 1 2 x x x xxx y 0 4 22 1 x y 即曲线在点 1 1 处的切线斜率0 k 因此曲线 1 2 2 x x y在 1 1 处的切线方程为 y 1 2 t tt t t ttt t t t S4 21 4 1 2 2 1 324 2 2 2 27 26 1112 27 2 9 1 3 t Sv 即运动物体在 t 3s 时的速度为sm 27 26