江苏省淮安市洪泽外国语中学2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 34 页） 2015年江苏省淮安市洪泽外国语中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题： 1把 边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值（ ） A不变 B缩小为原来的 C扩大为原来的 3 倍 D不能确定 2二次函数 y= x+4 的最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 3在 ， C=90，若 ，则 值是（ ） A B C D 4下列函数中， y 随 x 增大而减小的是（ ） A y= B y=2x+5 C y= x 2） D y= x 0） 5某人沿着坡度为 1： 的山坡前进了 1000m，则这个人所在的位置升高了（ ） A 1000m B 500m C 500 m D m 6已知二次函数 y=bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ） x 1 0 1 3 y 3 1 3 1 A抛物线开口向上 B抛物线 与 y 轴交于负半轴 C当 x=4 时， y 0 D方程 bx+c=0 的正根在 3 与 4 之间 第 2 页（共 34 页） 7下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A B C D 8如图所示， P 是菱形 对角线 一动点，过 P 垂直于 直线交菱形 边于M、 N 两点，设 ， ， AP=x，则 面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ） A B C D 二、填空题： 9把二次函数 y= x+3 用配方法化成 y=a（ x h） 2+k 的形式为 10 ，锐角 A、 B 满足 |+（ 2） 2=0，则 C= 11由 y=图象可以看出，当 2 x 1 时，函数值 y 的范围是 12如图，边长为 1 的小正方形网格中， O 的圆心在格点上，则 13若 A（ 4， B（ 1， C（ 1， 二次函数 y=x 5 的图象上的三点，则 y1，大小关系是 14如图，秋千链子的长度为 4m，当秋千向两 边摆动时，两边的摆动角度均为 30则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为 （结果保留根号） 第 3 页（共 34 页） 15某一型号飞机着陆后滑行的距离 y（单位： m）与滑行时间 x（单位： s）之间的函数关系式是y=60x 型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来 16网格中的每个小正方形的边长都是 1， 个顶点都在网格的交点处，则 17若关于 x 的函数 y=（ a 2） 2a 1） x+a 的图象与坐标轴只有两个公共点，则 a 的值为 18抛物线 y=bx+c 的顶点为 D（ 1， 2），与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3， 0）和（ 2， 0）之间，其部分图象如图，则以下结论： 0； 2b 4a+c； 方程 c 有两个相等的实数根； a b m（ am+b）（ m 1 的实数） 其中正确结论的是 （写出序号） 三、解答题（本大题共 10小题，共 96分解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： 第 4 页（共 34 页） （ 1） 0+2（ ） 2 | 2|+（ （ 1） 2015 20如图，点 E 是矩形 上一点， 叠为 F 落在 若， ， ，求 值 21如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状， 物线顶点到 距离是 4在铁皮上截下一矩形 矩形顶点 B、 C 落在 ， A、 D 落在抛物线上建立如图所示的平面直角坐标系， （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）当 ，求截下的矩形铁皮周长 22已知函数 y=x 3 的图象与 x 轴交于点 A， B（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C （ 1）在平 面直角坐标系中画出该函数图象； （ 2）若要无论 x 取何值，函数值都不可能为负数，则图象至少应向上平移 个单位； （ 3）若将抛物线绕其与 y 轴的交点旋转 180 度，写出新的图象对应的函数关系式 23已知在 ， 上的高， ， ， ，求 度数 第 5 页（共 34 页） 24一种产品的进价为 40 元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为 100 万元（不含进价）经过若干年销售得 知，年销售量 y（万件）是销售单价 x（元）的一次函数： y= x+8 （ 1）写出该公司销售这种产品的年利润 w（万元）关于销售单价 x（元）的函数关系式；当销售单价 x 为何值时，年利润最大？ （ 2）试通过（ 1）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于 60 万元 25如图，小山顶上有一信号塔 坡 倾角为 30，现为了测量塔高 量人员选择山脚 C 处为一测量点 ，测得塔顶仰角为 45，然后顺山坡向上行走 100 米到达 E 处，再测得塔顶仰角为 60，求塔高 果保留整数， 26在数学活动课上，两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究，下面是他们的交流片段 小聪：我画了抛物线 y=（ x a） 2+ （ a 为常数），当 a= 1、 a=0、 a=1、 a=2 时二次函数的图象；当 a 取不同的值时，其图象构成一个 “抛物线系 ” 小明：我发现这些抛物线的顶点竟然在同一条直线上 问题解决： （ 1）试写出小明发现的 “抛物线系 ”的顶点所在直线的函数解析式； （ 2）当 a=0 时，抛物线上有点 P（ 2， m）将此抛物线沿着（ 1）中的直线平移，记抛物线顶点 平移后的对应点分别为 四边形 平移后二次函数的解析式 第 6 页（共 34 页） 27如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y= 2x 8 分别与 x 轴， y 轴相交于 A， B 两点 （ 1）若点 P（ 0， k）是 3为半径作 P当 k= 时，以 P 与 x 轴的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？ （ 2）若点 P 在原点，试探讨在以 P 为圆心， r 为半径的圆上，到直线 l： y= 2x 8 的距离为 的点的个数与 r 的关系 28如图，已知抛物线 T： y=bx+c（ a0）与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在 x 轴的正半轴上），与 y 轴交于点 C，矩形 一条边 线段 ，顶点 F、 G 分别在线段 ，抛物线 T 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x 3 2 1 2 y 4 0 （ 1）写出 A、 B、 C 三点的坐标； （ 2）若点 D 的坐标为（ m， 0），矩形 面积为 S，求 S 与 m 的函数关系，并指出 m 的取值范围； （ 3）当矩形 面积 S 取最大值 m 时 抛物线 T 上是否存在点 P，使 S m？若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 连接 延长至点 M，使 FM=k点 M 不在抛物线 T 上，求 k 的取值范围 第 7 页（共 34 页） 第 8 页（共 34 页） 2015年江苏省淮安市洪泽外国语中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题： 1把 边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值（ ） A不变 B缩小为原来的 C 扩大为原来的 3 倍 D不能确定 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】由于 边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A 的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角 A 的正弦函数值也不变 【解答】解：因为 边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A 的大小没改变，所以锐角 A 的正弦函数值也不变 故选 A 【点评】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值也考查了相似三角形的判定与性质 2二次函数 y= x+4 的 最大值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】二次函数的最值 【专题】计算题 【分析】先利用配方法得到 y=（ x 1） 2+5，然后根据二次函数的最值问题求解 【解答】解： y=（ x 1） 2+5， a= 1 0， 当 x=1 时， y 有最大值，最大值为 5 故选： C 第 9 页（共 34 页） 【点评】本题考查了二次函数的最值：当 a 0 时，抛物线在对称轴左侧， y 随 x 的增大而减少；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x= 时，y= ；当 a 0 时，抛物线在对称轴左侧， y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x= 时， y= ；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 3在 ， C=90，若 ，则 值是（ ） A B C D 【考点】互余两角三角函数的关系 【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解 【解答】解：在 ， C=90， A+ B=90， 则 故选： A 【点评】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦 4下列函数中， y 随 x 增大而减小的是（ ） A y= B y=2x+5 C y= x 2） D y= x 0） 【考点】二次函数的性质；一次函数 的性质；反比例函数的性质 【分析】根据一次函数的性质，二次函数的性质，可得答案 【解答】解： A、 y= 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，故 A 错误； B、 y=2x+5， y 随 X 的增大而增大，故 B 错误； C、 y= x 0 时， y 随 x 的增大而减小，故 C 正确； D、 y= x 0 时， y 随 x 的增大而增大，故 D 错误； 故选： C 第 10 页（共 34 页） 【点评】本题考查了二 次函数的性质，一次函数的性质 y=kx+b k 0 时 y 随 x 的增大而增大， k 0 时， y 随 x 的增大而减小； y=a 0 时，对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，对称轴的右侧y 随 x 的增大而增大 5某人沿着坡度为 1： 的山坡前进了 1000m，则这个人所在的位置升高了（ ） A 1000m B 500m C 500 m D m 【考点】解直角三 角形的应用 【分析】根据坡度比可求出坡角，然后根据 000m，解直角三角形，求出 值即可 【解答】解：如图所示： 由题意得， 000 米， ： ， A=30 E0001000 =500（ m） 故选 B 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是考察同 学们对坡度与坡角的掌握及三角函数的运用 6已知二次函数 y=bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ） x 1 0 1 3 y 3 1 3 1 A抛物线开口向上 B抛物线与 y 轴交于负半轴 C当 x=4 时， y 0 D方程 bx+c=0 的正根在 3 与 4 之间 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【专题】图表型 第 11 页（共 34 页） 【分析】根据题意列出方程组，求出二次函数的解析式；根据二次函数的性质及与一元二次方程的关系解答即可 【解答】解：由 题意可得 ，解得 ， 故二次函数的解析式为 y= x+1 因为 a= 1 0，故抛物线开口向下； 又 c=1 0， 抛物线与 y 轴交于正半轴； 当 x=4 时， y= 16+12+1= 3 0； 故 A， B， C 错误； 方程 bx+c=0 可化为 x+1=0， =32 4（ 1） 1=13， 故方程的根为 x= = = ， 故其正根为 + 3 4， 故选： D 【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，及二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度不大 7下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A B C D 【考点】一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质 【专题】压轴题 第 12 页（共 34 页） 【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，求出 4 个阴影部分的面积，然后进行比较即可得出结论 【解答】解： 中直线 y=x+2 与坐标轴的交点为（ 0， 2）、（ 2， 0） 三角形的底边长和高都为 2 则三角形的面积为 22=2； 中三角形的底边长为 1，当 x=1 时， y=3 三角形的高为 3 则面积为 13= ； 中三角形的高为 1，底边长正好为抛物线与 x 轴两交点之间的距离 底边长 =| =2 则面积为 21=1； 设 A 的坐标是（ x， y）， 代入解析式得： ， 则面积为 2=1 阴影部分面积相等的是 故选 D 【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目 8如图所示， P 是菱形 对角线 一动点，过 P 垂直于 直线交菱形 边于M、 N 两点，设 ， ， AP=x，则 面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 第 13 页（共 34 页） 【专题】几何动点问题；压轴题；分类讨论 【分析】 面积 = N，通过题干已知条件，用 x 分别表示出 据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（ 1） 0 x1；（ 2） 1 x 2； 【解答】解：（ 1）当 0 x1 时，如图， 在菱形 ， ， ， ，且 ， 即， ， MN=x； y= N= 0 x1）， ， 函数图象开口向上； （ 2）当 1 x 2，如图， 同理证得， ， 即， ， x； y= N= x（ 2 x）， y= x2+x； ， 函数图象开口向下； 综上，答案 C 的图象大致符合； 故选： C 第 14 页（共 34 页） 【点评】本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想 二、填空题： 9把二次函数 y= x+3 用配方法化成 y=a（ x h） 2+k 的形式为 y= （ x+2） 2+4 【考点】二次函数的三种形式 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑 成完全平方式 【解答】解： y= x+3= （ x） +3= （ x+2） 2+4， 即 y= （ x+2） 2+4， 顶点（ 2， 4） 故答案为： y= （ x+2） 2+4 【点评】此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换 ，二次函数的解析式有三种形式： （ 1）一般式： y=bx+c（ a0， a、 b、 c 为常数）； （ 2）顶点式： y=a（ x h） 2+k； （ 3）交点式（与 x 轴）： y=a（ x x 10 ，锐角 A、 B 满足 |+（ 2） 2=0，则 C= 60 【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】根据非负数的性质可得 =0， 2=0，然后根据特殊角的三角函数求解 【解答】解： |+（ 2） 2=0， =0， 2=0， 即 ， ， B=60， A=60， A=180 60 60=60 故答案为： 60 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 第 15 页（共 34 页） 11由 y=图象可以看出，当 2 x 1 时，函数值 y 的范围是 0 y 4 【考点】二次函数的性质 【分析】由 y=x=0，开口向上， x=0 时，最小值为 0， x= 2 时，函数值最大4 【解答】解： 抛物线 y=x=0，开口向上， x=0 时，最小值为 0， x= 2 时，函数值最大 4 故答案为 0 y 4 【点评】本题考查了二次函数的性质，以及函数最大（小）值问题，明确对称轴，开口方向，自变量的取值范围是解题的关键 12如图，边长为 1 的小正方形网格中， O 的圆心在格点上，则 【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定 义 【专题】网格型 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等知 以 值就是 B 的值 【解答】解： 弧所对的圆周角相等）， B= = 故答案为： 【点评】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义解答网格中的角的三角函数值时，一般是将所求的角与直角 三角形中的等角联系起来，通过解直角三角形中的三角函数值来解答问题 13若 A（ 4， B（ 1， C（ 1， 二次函数 y=x 5 的图象上的三点，则 y1，大小关系是 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 第 16 页（共 34 页） 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将 A（ 4， B（ 1， C（ 1， 别代入二次函数的关系式，分别求得 值，最后比较它们的大小即可 【解答】解： A（ 4， B（ 1， C（ 1， 二次函 数 y=x 5 的图象上的三点， 6 16 5= 5，即 5， 4 5= 8，即 8， +4 5=0，即 ， 8 5 0， 故答案是： 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征经过图象上的某点，该点一定在函数图象上 14如图，秋千链子的长度为 4m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为 30则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为 （ 4 2 ） m （结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】设秋千摆至最低点时的位置为 C，连结 D当秋千摆至最低点 C 时，点 B 的中点，由垂径定理的推论知 D，再解直角 得 而求出可 【解答】解：如图，设秋千摆至最低点时的位置为 C，连结 D 点 C 为弧 中点， O 为圆心， D，弧 0， 0 B=， ， ， 第 17 页（共 34 页） C 2 ， 即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（ 4 2 ） m 故答案为（ 4 2 ） m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键 15某一型号飞机着陆后滑行的距离 y（单位： m）与滑行时间 x（单位： s）之间的函数关系式是y=60x 型号飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来 【考点】二次函数的应用 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值 【解答】解： a= 0， 函数有最大值 y 最大值 = = =600， 即飞机着陆后滑行 600 米才能停止 故答案为： 600 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键 16网格中的每个小正方形的边长都是 1， 个顶点都在网格的交点处，则 【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理 第 18 页（共 34 页） 【分析】根据各边长 得知 等腰三角形，作出 的高 据面积相等求出 据正弦是角的对边比斜边，可得答案 【解答】解：如图，作 D， E， 由勾股定理得 C=2 ， ， ， 可以得知 等腰三角形， 由面积相等可得， D= E， 即 = ， = = ， 故答案为： 【点评 】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 17若关于 x 的函数 y=（ a 2） 2a 1） x+a 的图象与坐标轴只有两个公共点，则 a 的值为 2，0， 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据函数图象与坐标轴有两个公共点，即与 x 轴一个交点，与 y 轴有一个交点；根据不同的情况分析，求出 a 的值即可 【解答】解：因为关于 x 的函数 y=（ a 2） 2a 1） x+a 的图象与坐标 轴只有两个交点， 若与 x 轴、 y 轴各有一个交点， 此函数若为二次函数，则 4（ 2a 1） 2 4（ a 2） a=4a+1=0，解得： a= ， 若 a=0，二次函数图象过原点，满足题意， 若此函数为一次函数，则 a 2=0，所以 a=2 所以若关于 x 的函数 y=（ a 2） 2（ 2a 1） x+a 的图象与坐标轴只有两个交点，则 a=2、 0、 第 19 页（共 34 页） 故答案为： 2， 0， 【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点，解决此题的关键是能从不同的角度分析求解，解决此题需要考虑全面 18抛物线 y=bx+c 的顶点为 D（ 1， 2），与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3， 0）和（ 2， 0）之间，其部分图象如图，则以下结论： 0； 2b 4a+c； 方程 c 有两个相等的实数根； a b m（ am+b）（ m 1 的实数） 其中正确结论的是 （写出序号） 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】抛物线开口向下 a 0，对称轴在 y 轴左侧， b 0，根据抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x= 1，则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点（ 0， 0）和（ 1， 0）之间，抛物线和 y 轴正半轴相交， c 0，则 0，由图象可知当 x= 2 时， y 0，则 4a 2b+c 0，所以 2b 4a+c；根据二次函数的最大值问题，当 x= 1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x= 1时， bx+c=2，所以说方程 bx+c 2=0 有两个相等的实数根；当 x= 1 时， 二次函数有最大值，所以 a b+c ma+mb+c，从而得出 a b m（ am+b） 【解答】解： 抛物线开口向下， a 0， 对称轴在 y 轴左侧， b 0， 对称轴为 x= 1，抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（ 3， 0）和（ 2， 0）之间， 与 x 轴的另一个交点在点（ 0， 0）和（ 1， 0）之间， 第 20 页（共 34 页） 抛物线和 y 轴正半轴相交， c 0， 0，故 错误； 当 x= 2 时， y 0， 4a 2b+c 0， 2b 4a+c，故 正确； 当 x= 1 时，二次函数有最大值为 2， 即只有 x= 1 时， bx+c=2， 方程 bx+c 2=0 有两个相等的实数根，故 正确； 当 x= 1 时，二次函数有最大值， a b+c ma+mb+c， a b m（ a+b），故 正确 故答案为 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=bx+c（ a0）的图象为抛物线，当 a 0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， c）；当 0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 4，抛物线与 x 轴 有一个交点；当 40，抛物线与 x 轴没有交点 三、解答题（本大题共 10小题，共 96分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： （ 1） 0+2（ ） 2 | 2|+（ （ 1） 2015 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；实 数 【分析】 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； 原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果 【解答】解： 原式 =1+2 4=1+1 4= 2； 第 21 页（共 34 页） 原式 =2 + =2 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20如图，点 E 是矩形 上一点， 叠为 F 落在 若， ， ，求 值 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】根据四边形 矩形，折叠的性质，得到 C=90， C=5，利用勾股定理，在 求得 ，则 D 3=2，利用三角函数在 ， = ，求得 ，利用勾股定理，求得 ， ，利用三角形函数即可解答 【解答】解： 四边形 矩形， A= D= C=90， C=5， 叠为 C=90， C=5， 在 ， =3， D 3=2， 在 ， = ， 即 ， 在 ， = ， 在 ， = 第 22 页（共 34 页） = = 【点评 】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与转化思想的应用 21如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状， 物线顶点到 距离是 4在铁皮上截下一矩形 矩形顶点 B、 C 落在 ， A、 D 落在抛物线上建立如图所示的平面直角坐标系， （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）当 ，求截下的矩形铁皮周长 【考点】二次函数的应用 【分析】（ 1） 根据 物线顶点到 距离是 4到 N（ 4， 0）， P（ 2， 4），即可求得函数的解析式； （ 2）由 得 D 的横坐标是 1，根据函数的解析式得到 y=3，求出 D（ 1， 3），由于 A，D 关于对称轴对称，于是得到 ，然后根据矩形的周长公式即可得到结论 【解答】解：（ 1） 物线顶点到 距离是 4 N（ 4， 0）， P（ 2， 4）， 设抛物线的解析式为： y=a（ x 2） 2+4， 把 N（ 4， 0）代入得： 0=a（ 4 2） 2+4， 解得： a= 1， 抛物线的解析式为： y=（ x 2） 2+4， 即：抛物线的解析式为： y= x； （ 2） 第 23 页（共 34 页） D 的横坐标是 1， y=3， D（ 1， 3）， A， D 关于对称轴对称， ， 四边形 矩形， D=2， B=3， 矩形 周长为 10 【点评】此题考查了二次函数的应用，把一个实际问题转化成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解 22已知函数 y=x 3 的图象与 x 轴交于点 A， B（ A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C （ 1）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （ 2）若要无论 x 取何值，函数值都不可能为负数，则图象至少应向上平移 4 个单位； （ 3）若将抛物线绕其与 y 轴的交点旋转 180 度，写出新的图象对应的函数关系式 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的图象 【分析】（ 1）画出函数图象，如图所示； （ 2）利用平移规律判断即可 （ 3）把抛物线 y=x 3 整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与 y 轴的交 点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可 【解答】（ 1） y=x 3=（ x+1） 2 4，即顶点为（ 1， 4）， 列表得： 第 24 页（共 34 页） x 3 2 1 0 1 y 0 3 4 3 0 描点； 连线， 函数图象如图： （ 2） 抛物线的顶点为（ 1， 4）， 若要无论 x 取何值，函数值都不可能为负数，则图象至少应向上平移 4 个单位； 故答案为 4； （ 3） y=x 3=（ x+1） 2 4， 原抛物线的顶点坐标为（ 1， 4）， 令 x=0，则 y= 3， 抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， 3）， 抛物线绕与 y 轴的交点旋转 180， 所得抛物线的顶点坐标为（ 1， 2）， 所得抛物线的解析式为： y=（ x+1） 2 2 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便 23已知在 ， 上的高， ， ， ，求 度数 【考点】解直角三角形 【分析】先由 上 的高得出 D，再解直角 出 5，解直角 出 0，然后分 部与 部两种情况分别求出 【解答】解：如图 第 25 页（共 34 页） 上的高， D 在直角 ， 0， ， ， 5 在直角 ， 0， ， ， = = ， 0 当 部时， 0+45=105； 当 部时， 0 45=15 故 度数为 105或 15 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高，利用数形结合与分类讨论是解题的关键 24一种产品的进价为 40 元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为 100 万元（不含进价）经过若干年销售得知，年销售量 y（万件）是销售单价 x（元）的一次函数： y= x+8 （ 1）写出该公司销售这种产品的年利润 w（万元）关于销售单价 x（元）的函数关系式；当销售单价 x 为何值时，年利润最大？ （ 2）试通过（ 1）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于 60 万元 【考点】二次函数的应用 【 分析】（ 1）根据总利润 =单件利润 销量列出函数关系式配方后即可确定最值； （ 2）令利润等于 60 求得相应的自变量的值即可确定销售单价的范围 第 26 页（共 34 页） 【解答】解：（ 1）该公司年利润 w=（ x+8）（ x 40） 100= （ x 100） 2+80， 当 x=100 时，该公司年利润最大值为 80 万元； （ 2）由题意得： （ x 100） 2+80=60， 解得： 0， 20， 故该公司确定销售单价 x 的范围是： 80x120 根据函数图象可得：当 80x120 时，该公司产品的利润不低于 60 万元 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题时把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 25如图，小山顶上有一信号塔 坡 倾角为 30，现为了测量塔高 量人员选择山脚 C 处为一测量点，测得塔顶仰角为 45，然后顺山坡向上行走 100 米 到达 E 处，再测得塔顶仰角为 60，求塔高 果保留整数， 【考点】解直角三角形的应用 【专题】应用题 【分析】先判断 等腰三角形，在 表示出 求出 据 F 可得出答案 【解答】解：依题意可得： 0， 5， 又 第 27 页（共 34 页） 5， 即 等腰三角形， E=100m， 在 ， 0， 50m， 50 m， 在 ， 0， 50 = m， F 0 = 58（米） 答：塔高 约为 58 米 【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般 26在数学活动课上，两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究，下面是他们的交流片段 小聪：我画了抛物线 y=（ x a） 2+ （ a 为常数）， 当 a= 1、 a=0、 a=1、 a=2 时二次函数的图象；当 a 取不同的值时，其图象构成一个 “抛物线系 ” 小明：我发现这些抛物线的顶点竟然在同一条直线上 问题解决： （ 1）试写出小明发现的 “抛物线系 ”的顶点所在直线的函数解析式； （ 2）当 a=0 时，抛物线上有点 P（ 2， m）将此抛物线沿着（ 1）中的直线平移，记抛物线顶点 平移后的对应点分别为 四边形 平移后二次函数的解析式 【考点】二次函数综合题 【分析】（ 1）根 据顶点坐标公式，可得相应的顶点坐标，根据待定系数法，可得答案； 第 28 页（共 34 页） （ 2）根据顶点坐标公式，可得 坐标，根据菱形的邻边相等，可得 坐标，根据顶点式函数解析式，可得答案 【解答】解：（ 1）当 a=0 时，顶点坐标为（ 0， 0）， 当 a=1 时，顶点坐标为（ 1， ）， 设顶点所在的直线为 y=kx+b， 将（ 0， 0），（ 1， ）代入，得 ， 解得 ， “抛物线系 ”的顶点所在直线的函数解析式 y= x； （ 2）如图 ， 当 a=0 时，抛物线的解析式为 y=点坐标为 O（ 0， 0）， 当 x=2 时， m=22=4，即 P（ 2， 4） 平移后的解析式为 y=（ x a） 2+ （ a 为常数），顶点坐标 a， ） 由四边形 = ， 化简，得 8， 解得 a=3 ，或 a= 3 ， 当 a=3 时，平移后的解析式为 y=（ x 3 ） 2+ ； 当 a= 3 时，平移后的解析式为 y=（ x+3 ） 2 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用特殊值法得出相应的顶点坐标是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用菱形的邻边相等得出关于 a 的方程是解题关键 第 29 页（共 34 页） 27如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y= 2x 8 分别与 x 轴， y 轴相交于 A， B 两点 （ 1）若点 P（ 0， k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心， 3 为半径作 P当 k= 时，以 P 与 x 轴的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？ （ 2）若点 P 在原点，试探讨在以 P 为圆心， r 为半径的圆上，到直线 l： y= 2x 8 的距离为 的点的个数与 r 的关系 【考点】圆的综合题 【专题】综合题 【分析】（ 1）如图 1， P 与 x 轴的交于点 C、 D，利用等边三角形的性质得 E=3，再由 D=，于是可根据勾股定理计算出 ，从而可得 k= ； （ 2）作 H，如图 2，利用一次函数图象上点的坐标特征确定 A（ 4， 0）， B（ 0， 8），则利用勾股定理可计算得 ，再利用面积法求出 ，接着通过探讨 到直线 y= 2x 8 的距离为 的点，作图：以 O 为圆心，以 r= 为半径作圆，交 E；以 O 为圆心，以 r= 为半径作圆，交 F，得到点 E 和点 F 到直线 y= 2x 8 的距离为 ，然后利用圆的对称性探讨 P 上到直线 l： y= 2x 8 的距离为 的点的个数与 r 的关系 【解答】解：（ 1）如图 1， P 与 x 轴的交于点 C、 D， 等边三角形，则 E=3， E= ， = ， P（ 0， ）， 即 k= ； 第 30 页（共 34 页） 故答案为 ； （ 2）作 H，如图 2， 当 y=0 时， 2x 8=0，解得 x= 4，则 A（ 4， 0）， 当 x=0 时， y= 2x 8= 8，则 B（ 0， 8）， ，