13. 综合练习（四）

第十二章第十二章 综合练习综合练习 分式方程 无理方程及应用题分式方程 无理方程及应用题 例题精选例题精选 例例 1 解方程 1 2 1 1 1 1 2 xx 2 3113 2 xx 分析 第一个方程是分式方程 要先化为整式方程去解 因此可以用去分 母的一般解法去解 特别注意 方程两边各项都要乘以公分母 第二个方程是 个无理方程 也要变为有理方程去解 可以将含根号的式子留在一边 其它移 到另一边 用两边平方的方法去掉根号 解 1 2 1 1 1 1 2 xx 两边同乘以 x 1 x 1 2111 211 20 210 2 2 xxx xx xx xx 解得 xx 12 21 解 2 3113 2 xx 变形为 3113 2 xx 两边平方 3113 2 2 xx 31169 660 610 22 2 xxx xx x x 解得 xx 12 01 经检验 x 1 是增根 原方程解为 x 0 说明 分式方程与无理方程的解法中 验根是必不可少的步骤之一 验根 不是写一下的形式 而要实实在在的带入去检验 如方程 2 中 当 x 1 时 右边为 2 而左边是算术根 应大于等于零 因此是增根 检验分式方程时 只有分母不为零就可以了 例例 2 用换元法解方程 1 9 2 9 1 x x x 分析 若用两边平方去根号有两个根号很烦 题目又指定了用换元法 因 此要考虑如何换元 将根式内化简 而另一根号为 1 99 x x x x x 9 是互为倒数关系 因此可以找出如何换元的方法了 解 1 9 2 9 1 x x x 原方程变形为 x x x x 9 2 9 1 设 x x y x xy 9 9 1 则 原方程变形为 y y 2 1 yy yy yy y x x x x xx x y x x 2 12 1 2 20 210 21 2 9 2 9 494 3 1 9 1 当时 解得 当时 此方程无解 经检验 x 3 是原方程的根 说明 特别注意求出 y 值后没有求完 而要再求 x 值 例例 3 用换元法解方程 2432615 22 xxxx 分析 用换元法解无理方程时 一般设根号内整体为一个新的未知数 这 样可变为有理方程 再去解 解 2432615 22 xxxx 原方程中设xxyxxy 222 2626 则 原方程变形为2412326270 22 xxxx 23270 3 290 3 9 2 3263 269230 31 9 2 26 9 2 2 12 1 2 22 12 2 2 yy yy yy yxx xxxx xx yxx 解得 由即 解得 由得此方程无解 经检验 是原方程的解 xx 12 31 例例 4 甲 乙两人分别从 A B 两地同时出发匀速相向而行 在距 A 地 7 千 米的地方相遇 相遇后各自以原来的速度按原方向继续前进 甲到 B 地 乙到 A 地后 立即返回 两人又在距 B 地 4 千米的地方相遇 求 A B 两地间距离 分析 这个题目中已知数据比较少 可以用图示法先表示出数量间关系 由两次相遇可得出它们每次同时出发到相遇 所用时间相同 因此可以用时间 相同列等量关系 而题中又没表示出速度 可以设速度为一个中间变量 列方 程就简单多了 因此引进辅助未知数也是常用的方法之一 它可以使数量间关 系变得更为简明 解 设 A B 两地距离为 x 千米 甲速为 a 千米 小时 乙速为 b 千米 小时 由题意 77 44 a x b x a xx b 整理为 7 7 4 24 x a b x x a b 7 7 4 24 170 10 017 2 12 x x x xx x x xx解得 经检验 x 0 不合题意舍去 x 17 是原方程的解 答 A B 两地间距离为 17 米 例例 5 一容器装满纯药液 20 升 第一次倒出若干升后用水加满 第二次又 倒出同样多液体 又用水加满 此时 桶内药液浓度为 25 求每次倒出多少 药液 分析 可设每次倒出药液为 x 升 将两次的倒出药液剩药及浓度进行分析 如第一次倒出药 x 升 剩药 20 x 浓度为 第二次倒出药 20 20 100 x 剩药 此时浓度为 这样就找到了 20 20 x x20 20 20 x x x 20 20 20 20 x x x 等量关系 解 由题意 20 20 20 20 25 403000 3010 2 12 x x x xx xx解得 经检验 x1 30 不合题意舍去 x 10 是原方程的解 答 每次倒出药液为 10 升 说明 分析两次倒药液情况 可以列出表格来 将所列各项填入 这样使 等量关系更加清楚了 例例 6 小明将勤工俭学挣得的 100 元钱按一年定期存入少儿银行 到期后取 出 50 元用来购买学习用品 剩下的 50 元和应得的利息又全部按一年定期存入 若存款的年利率保持不变 这样到期后可以得到本金加利息共 6 元 求这种存 款的年利率 分析 近些年来 由于商品经济的发展 不少联系实际的应用题 其中存 款利率就是其中的一种 利率与本金利息之间存在一定的固定关系 本金 利 率 利息 要按照题意 找到相应的等量关系 解 设这种存款的年利率为 x 由题意 100 150166 100 150 166 50 125 1330 1 3 5 1 11 10 1 10 10 2 2 xx xx xx x x x 解得 不合题意舍去 答 这种存款的年利率为 10 说明 联系生产实际的问题还有很多类型 比如出售商品 若按九折出售 即按原价的 90 出售 只有将这些名词的含义弄清楚了 才会正确解决这类问 题 例例 7 甲 乙两人分别从相距 20 千米的 A B 两地以相同的速度同时相向 而行 相遇后 二人继续前进 乙的速度不变 甲每小时比原来我走 1 千米 结果甲到达 B 地后乙还需 30 分钟才能到达 A 地 求乙每小时走多少千米 分析 这是北京市 1996 年考试题 考查学生分析问题 解决问题的能力问 题 甲 乙两人从相距 20 千米的 A B 两地以相同的速度同时相向而行到相遇 隐含了刚好在 A B 中点相遇的条件 即在 10 千米地方相遇 题中甲到 B 地后 乙还需 30 分钟才能到 A 就是等量关系 这样就可以列出方程了 解 设乙每小时走 x 千米 则甲每小时走 x 1 千米 由题意 201010 1 1 2 1010 1 1 2 200 540 2 xxx xx xx xx 解得 xx 12 54 经检验都是原来分式方程的解 但 x 5 不合题意舍去 xx 12 54 x 4 是原方程的解 答 乙每小时走 4 千米 综合练习综合练习 一 选择题 一 选择题 1 下列方程中有解的是 A B x 1202132x C D 2123x xx 223 2 的解的情况为xx 6 A 无解B x 3 或 x 2 C x 3D x 2 3 用换元法解方程 若设 则原xxxx 22 881123 yxx 2 811 方程可化为 A B yy 2 120 yy 2 230 C D yy 2 120 yy 2 340 4 方程根的个数是xxxx 22 3351 A 0B 1C 2D 4 5 无理方程的解为xx 130 A 无实根B x1 1 x2 3 C 3D 1 二 解答题 二 解答题 1 解分式方程 41 1 1 xx 2 求当产生增根时 m 的值 2 4 5 4 x x m x 3 解方程 2 4 1 2 1 3 2 x xx 4 用换元法解分式方程 x x x x 1 6 1 5 5 解方程 713101xx 6 解方程 x xxxxx 4 2 2 4 1 2 222 7 用换元法解方程 x x x x 5 7 5 7 5 40 8 要完成一件工程 甲独作比甲 乙 丙三人合干多用 5 天 乙独作比三个合 干多用 15 到 丙独作所需时间是三人合干所需时间的 4 倍 求三人单干各需多 少时间完成 9 甲 乙两人分别从相距 36 千米的 A B 两地同时出发 相向是行 甲行至 1 千米时 发现有东西遗忘在 A 地 立即返回 取物后又立即从 A 向 B 前进 结果两人恰在 AB 中点处相遇 已知甲比乙每小时多走 0 5 千米 求两人速度各 多少 10 甲步行上午 6 时从 A 出发于下午 5 时到达 B 地 乙骑自行车上午 10 时从 A 地出发 于下午 3 时到达 B 地 问乙在什么时间追上甲的 11 某工程队按计划挖土方 200 立方米 如果每天超额完成 5 立方米 则工程 提前 2 天完成 求原计划的天数及每天超额的百分数 答案及提示答案及提示 一 选择题 1 C2 D3 C4 C5 C 二 解答题 1 x 2 提示 用去分母的方法解分式方程 2 m 8 分式方程产生增根 原因在于方程两边乘了数值为 0 的代数式 去分母后 将 x 4 代入后 得 m 8 因此当方程产生 255xxm 增根时 m 8 3 解 原方程变形为 2 4 1 2 1 3 2 x xx 2 4 1 2 1 3 2 x xx 两边同乘 34 2 x 6324 2 xxx 6364 320 120 2 2 xxx xx xx x1 1 x2 2 经检验 x 2 是增根 x 1 是原方程的根 4 提示 设 x x y x xy xx 1 113 2 4 则解得是增根 是原方程的根 5 提示 可先将根号中的一个移到另一边 两边平方后再平方一次 即可化为 有理方程 解得是增根 舍去 所以 x 5 是原方程的根 x 3 4 6 提示 将分母的因式进行分解 找到最简公分母后 再用去分母的方法去解 解得 x 2 是增根 x 3 是原方程的根 7 提示 设 解得 x 6 是原方程的解 x x y x xy 5 7 7 5 1 则 8 设三人合干 x 天完成 则甲独作 x 5 天 乙独作 x 15 天 丙独作 4x 天 完成 由题意 1 5 1 15 1 4 1 xxx x 解得 x 5 甲独作 10 天 乙独作 20 天 丙独作 20 天 9 甲速 5 千米 小时 乙速 4 5 千米 小时 10 提