2020届荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1已知集合则( )ABCD【答案】C【解析】解不等式确定集合B，再由交集定义求解【详解】，故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础2已知复数满足，则的虚部是( )A2B-2C-2iD2i【答案】B【解析】设，代入已知式求出b，可得其虚部【详解】设，则，的虚部是故选：B【点睛】本题考查复数的运算、复数及复数相等的概念利用复数相等的概念求解是解决复数问题的常用方法3已知，则的大小关系是( )ABCD【答案】D【解析】结合指数函数和对数函数的性质，借助中间值0，1比较【详解】由指数函数性质得，由对数函数性质得，故选：D【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，比较对数或幂的大小时，常常借助于中间值比较，如1,0等等4为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图如图所示，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ） A药物B的预防效果优于药物A的预防效果B药物A、B对该疾病均没有预防效果C药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D药物A的预防效果优于药物B的预防效果【答案】D【解析】由等高条形图，可得服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，即可求解，得到答案.【详解】由等高条形图知，服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数，服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选D.【点睛】本题主要考查了等高条形图应用，其中解答中理解、掌握统计图表的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5定义在上的奇函数满足，则的值是( )A-1B-2C1D2【答案】B【解析】先确定函数的周期，由周期性变形，再由奇函数定义求值【详解】是奇函数，是是周期为6的周期函数，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，利用周期变化自变量的大小以便求值是解这类问题的常用方法6设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线，直线，下列命题为真命题的是( )A“”是“”的充分条件B“”是“”的既不充分又不必要条件C“”是“”的充要条件D“”是“”的必要条件【答案】B【解析】根据线面间平行垂直的判定定理和性质定理判断命题的真假也可举反例说明命题是假的【详解】能得到，但，不能得出，A错；时，也可能在平面内，不能得出，反之，内的直线也不一定与平行，即不能得出，既不充分也不必要，B正确；时，可能是异面直线，不一定平行，时，也可能相交，不一定平行，C错；两个平面垂直，分别在这两个平面的的两条直线可能相交，可以平行，不一定垂直，D错故选：B【点睛】本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，判断垂直平行时可根据判定定理或性质定理得出结论，也可通过举例说明命题为假使用定理时要注意定理的条件是否全满足，否则不能轻易下结论7已知等差数列的前n项和为，若，且，则m的值是( )A7B8C9D10【答案】C【解析】由等差数列性质求出，由等差数列前n项可求得m【详解】是等差数列，故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础8函数的最大值为，最小值为，则的周期是( )ABCD【答案】B【解析】由最大值和最小值求出，再根据公式求出周期【详解】，解得，其周期为故选：B【点睛】本题考查含余弦函数的最大值和最小值，考查三角函数的周期解题时只要注意到，就可表示最大值和最小值9在中，已知向量与满足且，则是( )A三边均不相同的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形【答案】D【解析】和是两个单位向量，设，则是的平分线，由此可得，从而确定三角形是等腰三角形，再由，求出即可判断【详解】设，和是两个单位向量，是的平分线，由题意，是等腰三角形，即，是等边三角形，故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量加法的平行四边形法则解题关键是由向量垢平行四边形法则得出设，则是的平分线10在ABC中，若，则ABC的面积S是( )ABCD【答案】A【解析】由正弦定理求出，【详解】是三角形内角，由正弦定理得，又，即，（舍去），故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关系解三角形中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式要有统筹安排，不致于凌乱11正方体中，点是线段的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为( )ABCD【答案】D【解析】正方体中由，可得异面直线所成的角为（或其补角），在三角形中求出这个角即可【详解】正方体中，异面直线所成的角为（或其补角），长方体中平面，设正方体棱长为1，则因为点是线段的中点，点满足，所以，故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是作出这个角并证明然后解三角形求得此角，注意若求得三角形中的角为钝角，需求其补角才是异面直线所成的角12众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；当时，直线与黑色阴影部分有公共点；黑色阴影部分中一点,则的最大值为2其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】D【解析】黑色阴影部分和白色部分面积相等，中概率易求，由直线与半圆的位置关系可确定是否正确，点在半圆上时，才能取最大值，求出这个最大值可判断【详解】由对称性知黑色阴影部分和白色部分面积相等，因此在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，其方程为（），直线的一般式方程为：，说明直线与半圆相切，正确；点在半圆（）上，设，由得，时，取得最大值为，错正确的有故选：D【点睛】本题考查寓数学知识于数学文化之中，考查几何概型，考查直线与圆的位置关系，考查最值问题本题属于中档题二、填空题13若向量满足：，且|2，|4，则与的夹角是_【答案】120【解析】由数量积运算律求得，再计算夹角余弦，得夹角【详解】，故答案为：【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量数量积的定义和运算律是解题基础14按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是_【答案】5【解析】试题分析：依据程序框图输出的A值依次增大2，所以输出的三个数为1，3，5，故答案为5【考点】程序框图15已知双曲线（a0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则PF1F2的周长为_.【答案】【解析】先由离心率求得，由双曲线定义得，最后由已知可求得周长【详解】由题意，P为双曲线右支上一点，PF1F2的周长为故答案为：【点睛】本题考查由双曲线离心率求参数，考查双曲线的定义在圆锥曲线中涉及到曲线上的点到焦点的距离时，常常用到圆锥曲线的定义利用定义时行转化求解16已知直线与曲线切于点，且直线与曲线交于点 ，若，则的值为_.【答案】【解析】由导数的几何意义求出切线方程，代入点坐标，由代入后可求得【详解】由题意，直线的方程为，又直线过，由得，整理得，故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解三、解答题17为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组15，25)，第二组25，35)，第三组35，45)，第四组45，55)，第五组55，65，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P（A）=0.75.（1）求的值；（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率.【答案】（1）=0.035，=0.015（2）【解析】（1）由第三、四、五组三个小矩形面积为0.75可求得，再由所有小矩形面积为1可求得；（2）6人中第二组中应抽取2人，分别记为，第四组中应抽取4人，分别记为，用列举法列举出所有可能，再确定满足条件的可能情况，从而可计算出概率【详解】（1）由题意知P(A)=10（+0.030+0.010）=0.75，解得=0.035，又10（+0.010）=0.25,所以=0.015.（2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，则第二组中应抽取2人，分别记为，第四组中应抽取4人，分别记为，从这6人中抽取2人的所有可能情况有， ，共15种.其中从这6人中抽取的2个人恰好都在第四组中的情况有，共6种，所以所求概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型概率，属于基础题，其中概率问题是用列举法求解18已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求的值.【答案】（1）或 （2）【解析】（1）由通项公式写出，利用成等比数列可求得，从而得数列的通项公式；（2）由（1）得的表达式，确定中哪些项为正，哪些项为负，然后分类求和【详解】（1）公差为成等差数列，解得或当时，；当时， 故或. （2）0，=-1，此时当时， 当时， 故【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质考查含绝对值的等差数列的和含绝对值的数列的和，一般要确定项的正负后根据绝对值的定义去掉绝对值符号后再求和，这就要求分类讨论，最后结论是一分段函数19如图，多面体中，平面平面，四边形为矩形，点在线段上，且.(1)求证：平面；(2)若，求多面体被平面分成的大、小两部分的体积比.【答案】（1）证明见解析(2) 11:1【解析】（1）由勾股定理逆定理证得，再由面面垂直的性质定理得线面垂直；（2）连接EB,AE. 多面体被分为四个三棱锥，由它们之间的体积关系可求得比值【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，所以CD=AB.因为AB=DE=2，所以CD=DE=2.因为点G在线段CE上，且EG=2GC=AB，所以EC=AB=CD=所以，即又平面CDE平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD,DE平面CDE，所以DE平面ABCD.(2)设三棱锥G-BCD的体积为1，连接EB,AE.因为EG=2GC,所以CG=EC,所以.易知又EF=2BC,BCEF，所以，故又，所以故故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11:1.【点睛】本题考查面面垂直的性质定理证线面垂直，考查多面体的体积，多面体的体积一般通过分割成若干个三棱锥求解较方便利用体积公式易得这些小三棱锥之间体积的比值20已知函数（1）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；（2）讨论函数的单调性【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）根据0求出a的值，再求函数f(x)的极值.(2)对a分类讨论，求函数的单调性.详解：（1） ， ，由已知 ，解得，此时， ，当和时， ， 是增函数，当时， ， 是减函数，所以函数在和处分别取得极大值和极小值，的极大值为，极小值为. （2）由题意得 ， 当，即时，则当时,单调递减；当时 ,单调递增 当，即时，则当和时,， 单调递增；当时,单调递减 当，即时，则当和时，,单调递增；当时，单调递减 当，即时，在定义域上单调递增 综上：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，在定义域上单调递增；当时， 在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时 在区间上单调递减，在区间（）上单调递增点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是后，由于x=1和大小关系不能确定及是否在函数的定义域内，所以要分类讨论.21 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于，两点，且满足（1）求抛物线的方程；（2）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值.【答案】（1）(2) 8【解析】（1）设直线的方程为由直线方程与抛物线方程联立，消元后可，代入可求得，得抛物线方程；（2）设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn. 写出直线PM的方程，由直线PM与圆相切得一关系式，同理PN与圆相切又得一关系式，两者比较说明是一个方程的根，由韦达定理得，从而可表示并求出（用表示），而面积为，表示为的函数，由基本不等式可求得最小值【详解】（1）由题意，设抛物线C的方程为，则焦点F的坐标为.设直线的方程为 联立方程得，消去得所以 因为所以故抛物线的方程为. (2)设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn.易得直线PM的方程为化简得，又圆心（0,1）到直线PM的距离为1，所以所以不难发现，故上式可化为 同理可得所以m，n可以看作是的两个实数根，则所以因为是抛物线C上的点，所以则又，所以从而当且仅当时取得等号，此时故PMN面积的最小值为8.【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是“设而不求”，这也是直线与圆锥曲线相交时的常用方法本题第（2）小题解法值得借鉴，设，为了求（不妨考虑），利用直线与圆相切得一与有关的等式，同理可得一个与有关的等式，这两个等式结合，可看作是一个一元二次方程的两根，由韦达定理表示出的和与积，从而可求得差22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），以原点为极点，x轴非