高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第十二章 第2课 导数的应用（1）

1 第第 2 2 课课 导数的应用 导数的应用 1 1 考点导读 1 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系 能熟练利用导数研究函数的 单调性 会求某些简单函数的单调区间 2 结合函数的图象 了解函数的极大 小 值 最大 小 值与导数的关系 会求简单多 项式函数的极大 小 值 以及在指定区间上的最大 小 值 基础练习 1 若函数是上的单调函数 则应满足的条件是 f xmxn R m n0 mnR 2 函数在 0 3 上的最大值 最小值分别是 5 15 51232 23 xxxy 3 用导数确定函数的单调减区间是 sin 0 2 f xx x 3 22 4 函数的最大值是 最小值是 1 sin 0 2 2 f xxx x 0 5 函数的单调递增区间是 2 与 0 2 x f xxe 范例导析 例 1 1 对于 R 上可导的任意函数f x 若满足 x 1 0 比较 f 0 fx f 2 与 2f 1 的大小 f 0 f 2 2f 1 2 在区间上的最大值是 2 32 32f xxx 1 1 解 1 由题意得 当 x 1 时 f x 0 所以函数 f x 在 1 上是增函数 当 x 1 时 f x 0 所以 f x 在 1 上是减函数 故 f x 当 x 1 时取得最小值 即有 f 0 f 1 f 2 f 1 2 当 1 x 0 时 0 当 0 x 1 时 0 fx fx 所以当 x 0 时 f x 取得最大值为 2 点评 点评 用导数求极值或最值时要掌握一般方法 导数为 0 的点是否是极值点还取决与该点两 侧的单调性 导数为 0 的点未必都是极值点 如 函数 3 f xx 例例 2 2 求下列函数单调区间 1 2 52 2 1 23 xxxxfy x x y 1 2 3 4 x x k y 2 0 kxxyln2 2 解 解 1 时23 2 xxy 1 23 xx 3 2 x 1 0 y 1 3 2 x0 y 3 2 1 1 3 2 2 2 2 2 1 x x y 0 0 3 2 2 1 x k y kx k 0 y 0 0 kkx 0 y k k 0 k 0 k 4 定义域为 x x x xy 141 4 2 0 2 1 0 x0 y 2 1 x0 y 点评点评 熟练掌握单调性的求法 函数的单调性是解决函数的极值 最值问题的基础 例3 设函数f x 求f x 的单调区间 讨论 32 23 1 1 1 xaxa 其中 f x 的极值 解 由已知得 令 解得 6 1 fxx xa 0fx 12 0 1xxa 当时 在上单调递增 1a 2 6fxx f x 当时 随的变化情况如下表 1a 61fxx xa fxf xx x 0 0 0 1 a 1a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 从上表可知 函数在上单调递增 在上单调递减 在上单 f x 0 0 1 a 1 a 调递增 由 知 当时 函数没有极值 1a f x 当时 函数在处取得极大值 在处取得极小值 1a f x0 x 1xa 3 1 1 a 点评 点评 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识 以及运用数学知识 解决实际问题的能力 备用题 1 1 求证下列不等式 1 1 2 1ln 2 22 x x xx x x 0 x 3 2 3 x x 2 sin 2 0 xxxxx tansin 2 0 x 证明 1 设 则 2 1ln 2 x xxxf 0 0 f 又 为上 0 1 1 1 1 1 2 x x x x xf xfy 0 恒成立 0 x0 xf 2 1ln 2 x xx 设 1ln 1 2 2 x x x xxg 0 0 g 又 在上 0 1 4 2 1 1 1 4 244 1 2 2 2 22 x x xx xxx xg xg 0 恒成立 0 x0 1ln 1 2 2 x x x x 1 2 1ln 2 22 x x xx x x 2 原式 令 2sin x x xxxf sin 2 tan cos x xxx xf 2 0 x0 x f 2 0 2 2 f x x 2 sin 3 令 xxxxfsin2tan 0 0 f x xxx xxxf 2 2 2 cos sin coscos1 cos2sec 2 0 x0 x f 2 0 xxxxsintan 点评 构造函数证明不等式主要是利用函数的最大 小 值来解决 2 2 已知 函数设 记曲线在点0 a 0 1 x x ax xf a x 2 0 1 xfy 处的切线为 求 的方程 11 xfxMll 设 与轴的交点为 证明 若 则lx 0 2 x a x 1 0 2 a x 1 1 a xx 1 21 4 解 解 1 的导数 由此得切线 的方程 xf 2 1 x xf l 11 1 2 11 1 xx xx ax y 2 依题得 切线方程中令 得0 y 其中 1112 1 xaxxx 2 11 axx a x 2 0 1 由 有 及 a x 2 0 1 2 112 axxx 0 2 x aa xax 1 1 2 12 当且仅当时 a x 1 0 2 a x 1 1 a x 1 2 当时 因此 且由 a x 1 1 1 1 ax 1112 2 xaxxx a x 1 2 所以 a xx 1 21 反馈演练 1 关于函数 下列说法不正确的是 4 762 23 xxxf 1 在区间 0 内 为增函数 2 在区间 0 2 内 为减函数 xf xf 3 在区间 2 内 为增函数 4 在区间 0 内 xf 2 为增函数 xf 2 对任意 x 有 则此函数为 3 4 xxf 1 1f 2 4 xxf 3 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值与最小值分别是 5 15 4 f 是定义在区间 c c 上的奇函数 其图象如图所示 令 则下x g xaf xb 列关于函数 g 的叙述正确的是 2 x 1 若a 0 则函数 g 的图象关于原点对称 x 2 若a 1 2 b 0 则方程 g 0 有大于 2 的实根 x 3 若a 0 b 2 则方程 g 0 有两个实根 x 4 若 a 1 b0 在 x 1 处取得极值 其中为常cbxxaxxf 44 ln c 3 a b c 数 1 试确定的值 a b 2 讨论函数 f x 的单调区间 6 3 若对任意 x 0 不等式恒成立 求 c 的取值范围 2 2 cxf 解 I 由题意知 因此 从而 1 3fc 3bcc 3b 又对求导得 f x 343 4 1 ln4 bx x axxaxxf 3 4 ln 4 xaxab 由题意 因此 解得 1 0 f 40ab 12a II 由 I 知 令 解得 3 48lnfxxx 0 x 0fx 1x 当时 此时为减函数 当时 此时为增01x 0fx f x1x 0fx f x 函数 因此的单调