湖南省衡阳市八中2011届高三第三次月考数学(理)试题

衡阳市八中衡阳市八中 2011 届高三第三次月考试题届高三第三次月考试题 数学 理科 数学 理科 考生注意 本卷共 21 道小题 满分 150 分 时量 120 分钟 请将答案写在答卷纸上 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符 合题目要求 1 已知集合 2 lg 2 2 0 x Ax yxxBy yx R是实数集 则 R C BA A 0 1 B 0 1 C 0 D 以上都不对 2 已知命题 tan1pxRx 使 命题q 0 2 xRx 下面结论正确的是 A 命题 pq 是真命题 B 命题 pq 是假命题 C 命题 pq 是真命题 D 命题 qp 是假命题 3 已知向量 56 a 65 b 则 a与 b A 垂直 B 不垂直也不平行C 平行且同向 D 平行且反向 4 在 ABC 中 AB c AC b 若点D满足 2BDDC 则AD A 21 33 bc B 52 33 cb C 21 33 bc D 12 33 bc 5 如图 函数 sin xxxy 的大致图象是 A B C D 6 已知函数 cos2cos 2 3 f xxx 其中 Rx 则下列结论中正确的是 A xf 是最小正周期为 的偶函数 B xf 的一条对称轴是 3 x C xf 的最大值为2 D 将函数 xy2sin3 的图象左移6 得到函数 xf 的图象 7 已知M是 ABC 内的一点 且 2 3 30AB ACBAC A 若 MBCMCA 和 MAB 的面积分别为 1 2 x y 则 14 xy 的最小值是 A 20 B 18 C 16 D 9 8 定义在 R 上的函数 f x 满足 4 1f fx 为 f x 的导函数 已知函数 yfx 的图象如图所示 若两正数 a b满足 2 1fab 则 2 2 b a 的取值范围是 A 1 1 3 2 B 1 3 2 C 1 3 2 D 3 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填在答题卡对应题号后的横线上 9 函数 6 2tan xy 的图象的对称中心的是 10 若向量a b 满足 2 a 1 b 1aab A 则向量a b 的夹角的大 小为 11 计算 2 2 sin1xdx 12 如果关于x的不等式 34xxa 的解集不是空集 则实数a的取值范围是 13 一艘海轮从A处出发 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50 方向直线航行 30 分钟 后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向是东偏南 20 在B处 观察灯塔 其方向是北偏东 65 那么B C两点间的距离是 海里 14 设m为实数 若 22 250 30 25 0 xy xyxxy xy mxy 则m的取值范 围是 15 下图展示了一个由区间 0 1 到实数集 R 的映射过程 区间 0 1 中的实数m对应数轴 上的点M 如图 1 将线段AB围成一个圆 使两端点A B恰好重合 如图 2 再将这 个圆放在平面直角坐标系中 使其圆心在 y 轴上 点A的坐标为 0 1 如图 3 中直线 AM与x轴交于点 0N n 则m对应的数就是n 记作 f mn 下列说法中正确命题的序号是 填出所有正确命题的序号 1 1 4 f f x 是奇函数 f x 是定义域上的单调函数 f x 的图象关于点 1 0 2 对称 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 12 分 已知函数 2 3 3sin 32 2sin 2 f xxx 1 将 xf 化为 sin 0 0 0 2 f xAxK A 的形式 并求出 xf 的最小正周期和单调递减区间 2 若 13 5 f x 且 12 5 6 x 求 12 2cos x 的值 m 17 12 分 已知 ABC 的三个内角A B C所对的边分别为a bc 向量 4 1 m 2 sin cos2 2 A nA 且 1 2 m n A 1 求角A的大小 2 若2 sin 2 sin 2 sin bBacAcaC 试判断 ABC 的形状 18 12 分 设函数 01 xx f xkaaaa 且 是定义在 R 上的奇函数 1 若 1 0 f 求不等式 2 2 4 0f xxf x 的解集 2 若 22 3 1 2 1 2 xx fg xaamf x 且在 上的最小值为 2 求m的值 19 13 分 如图 某机场建在一个海湾的半岛上 飞机跑道AB的长为4 5km 且跑道 所在的直线与海岸线l的夹角为60度 海岸线可以看作是直线 跑道上离海岸线距离最 近的点B到海岸线的距离 4 3BCkm D为海湾一侧海岸线CT上的一点 设 CDx km 点D对跑道AB的视角为 1 将tan 表示为x的函数 2 求点D的位置 使 取得最大值 第 19 题图 20 13 分 对于定义在D上的函数 yf x 若存在 0 xD 对任意的x D 都有 0 f xf x 则称函数 f x 在区间D上有下界 把 0 f x 称为函数 f xD在上 的 下界 同样 若存在 0 xD 对任意的x D 都有 0 f xf x 则称函数 f x 在区间D上有 上界 把 0 f x 称为函数 f xD在上 的 上界 1 判断函数 1 16 0 5f xxx x 是否有 下界 如果有 写出 下界 否则 请 说明理由 2 判断函数 2 16 0 5 fxxx x 是否有 上界 如果有 写出 上界 否则 请说明理由 3 若函数 f x 在区间D上既有 上界 又有 下界 则称函数 f x 是区间D上的 有界函数 把 上界 减去 下界 的差称为函数 f x 在D上的 幅度M 若已知实数 2 24a e 函数 2 22 x f xeaxx A 试探究函数 cos F xfx 是否是定 义域上的 有界函数 如果是 求出 幅度M 的值 否则 请说明理由 21 13 分 已知函数 ln3 f xaxaxaR 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 yf x 的图象在点 2 2 f 处的切线的倾斜角为 45 对于任意的 1 2 t 2 23 m xfxxxg 在区间 3 t 上总不是单调函数 求m的取值范围 3 求证 ln2ln3ln4ln1 2 234 n nnN nn 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 一 选择题 1 5BDBAC 6 D 7 B 8 C 二 填空题 9 函数 6 2tan xy 的图象的对称中心的是 Zk k 0 412 10 若向量a b 满足 2 a 1 b 1 baa 则向量a b 的夹角的大小 为 4 3 11 计算 2 2 sin1xdx 4 12 如果关于 x 的不等式 34xxa 的解集不是空集 则实数a的取值范围是 1a 13 一艘海轮从 A 处出发 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50 方向直线航行 30 分钟 后到达 B 处 在 C 处有一座灯塔 海轮在 A 处观察灯塔 其方向是东偏南 20 在 B 处观 察灯塔 其方向是北偏东 65 那么 B C 两点间的距离是 10 2 海里 14 设m为实数 若 22 250 30 25 0 xy xyxxy xy mxy 则m的取值范 围是 4 0 3 m 15 下图展示了一个由区间 0 1 到实数集 R 的映射过程 区间 0 1 中的实数m对应数轴 上的点M 如图 1 将线段AB围成一个圆 使两端点A B恰好重合 如图 2 再将这 个圆放在平面直角坐标系中 使其圆心在 y 轴上 点A的坐标为 0 1 如图 3 中直线 AM与x轴交于点 0N n 则m对应的数就是n 记作 f mn 下列说法中正确命题的 序号是 填出所有正确命题的序号 1 1 4 f f x 是奇函数 f x 是定义域上的单调函数 f x 的图象关于点 1 0 2 对称 三 解答题 本 16 12 分 已知函数 2 3 3sin 32 2sin 2 f xxx 解 1 由已知 2 3sin22cos3sin2cos212sin 2 1 6 f xxxxxx 3 分 故函数 xf 的最小正周期是 1 分 由 3 222 262 kxkkZ 得 2 63 kxkkZ xf 的递减区间为 2 63 xkxkkZ 2 分 2 由 13 5 f x 得 13 2sin 2 1 65 x 即 5 4 6 2sin x 1 分 因为 12 5 6 x 所以 5 3 6 2cos x 2 分 故 10 2 2 2 6 2sin 2 2 6 2cos 4 6 2cos 12 2cos xxxx 3 分 17 解 1 由 2 4 1 sin cos2 2 A mnA 2 4sincos2 2 A m nA 2 1 cos 4 2cos1 2 A A 2 2cos2cos1AA 3 分 又因为 2 11 2cos2cos1 22 m nAA 所以 1 分 解得 1 cos 2 A 0 3 AA 2 分 2 由已知 根据正弦定理得 2 2 2 2 bac aca c 即 222 bacac 2 分 由余弦定理得 222 2cosbacacB 故 1 cos 2 B 0 3 BB 2 分 又由 1 知 33 AABC 故 ABC 为等边三角形 2 分 18 解 1 f x 是定义域为 R 上的奇函数 0 0 10 1fkk 2 分 1 1 0 0fa a 又 0a 且 1 1 aa 2 分 易知 f x 在 R 上单调递增 原不等式化为 2 2 4 f xxfx 2 24xxx 即 2 340 xx 14xx 或 不等式的解集为 14 x xx 或 2 分 2 313 1 22 fa a 即 2 1 2320 2 2 aaaa 或 舍去 1 分 222 222 22 22 2 22 2 xxxxxxxx g xmm 令 22 xx tf x 222 3 1 1 22 2 2 xtfg ttmttmm 2 分 当 3 2 m 时 当t m 时 2 min 22 2g tmm 当 3 2 m 时 当 3 2 t 时 min 17 32 4 g tm 解得 253 122 m 舍去 2 分 综上可知 2m 1 分 19 解 1 过 A 分别作直线 CD BC 的垂线 垂足分别是 E F 由题知 4 5 4 3 30 ABBCABF 9925 3 3 444 CEAFBFAECFBCBF 2 分 在 DCB 中 4 3 tan 0 BC BDCx CDx 当 9 4 x 时 第 19 题图 图2图1 E E CDC B FA B FA D 25 3 925 3 4 tan 9 449 4 AD EDxADC EDx x 图 1 1 分 当 9 0 4 x 时 25 3 925 3 4 tan 9 449 4 AD EDxADC EDx x 图 2 1 分 从而tan tantan ADBADCBDC tantan9 3 4 1tantan 49 300 ADCBDCx ADCBDCxx A 2 分 其中 0 x 且 9 4 x 当 9 4 x 时 9 3 tan 48 CE BC 符合上式 1 分 所以 9 3 4 tan 0 49 300 x x xx 法 2 建立直角坐标系用斜率公式与差角的正切公式求解 法 3 建立直角坐标系用向量的夹角公式求解 2 9 3 4 9 3 tan 400 49 300 4 4 41 4 x xx x x 2 分 因为 400400 4 4 412 4 4 4139 44 xx xx A 当且仅当 400 4 4 4 x x 即 6x 时取等号 所以当 6x 时 400 4 4 41 4 x x 取最小值 39 2 分 从而当 6x 时 tan 取最大值 3 3 13 由于 tany 在区间 0 2 是增函数 故当 6x 时 最大 即D在海湾一侧海岸线CT上距C 6km处 最大 2 分 法 2 用导数求解 略 20 13 分 对于定义在D上的函数 yf x 若存在 0 xD 对任意的x D 都有 0 f xf x 则称函数 f x 在区间D上有下界 把 0 f x 称为函数 f xD在上 的 下界 同样 若存在 0 xD 对任意的x D 都有 0 f xf x 则称函数 f x 在区间D上有 上界 把 0 f x 称为函数 f xD在上 的 上界 1 判断函数 1 16 0 5f xxx x 是否有 下界 如果有 写出 下界 否则 请 说明理由 2 判断函数 2 16 0 5 fxxx x 是否有 上界 如果有 写出 上界 否则 请说明理由 3 若函数 f x 在区间D上既有 上界 又有 下界 则称函数 f x 是区间D上的 有界函数 把 上界 减去 下界 的差称为函数 f x 在D上的 幅度M 若已知实数 2 24a e 函数 2 22 x f xeaxx A 试探究函数 cos F xfx 是否是定义域上的 有界函数 如果是 求出 幅度M 的值 解 1 1 16 0 5f xxx x 有下界 下界为 8 由于 1 16 f xx x 8 此时 0 40 5x 对任意的 0 5x 都存在 0 40 x 5 有 11 4 8fxf 成立 3 分 2 2 16 fxx x 0 5x 无上界 当 0 4x 时 2 16 fxx x 单调递减 2 fx 0 4x 无最大值 即不存在 0 0 5x 对任意的 0 5x 都有 0 f xf x 3 分 3 cosF xfx 是 R 上的 有界函数 设 cos xt 01 t 只需考察函数 0t1 yf t 是否有最大值和最小值 令 0fx 解得 2 x a 或 2x 0a 2 2 a 当x变化时 fx 与 f x 的变化情况如下表 函数 f x 在 2 和 2 a 上单调递增 在 2 2 a 上单调递减 3 分 当 2a 即 2 01 a 时 函数 f x 的极小值为 0 1 上的最小值 2 min 2 2 a yfe a 2 分 函数 f t 在 0 1 上的最大值为 0 f 与 1 f 中的较大者 0 2f 1 4 fae 当 2 24a e 时 1 0 ff 此时 max 0 yf 2 2 分 综上 当 2 24a e 时 对 xDR 有 2 2 cos 2 a efx F x 是有界函数 且幅度M 2 22 a e 21 13 分