2012高考数学 专题练习 二十四 分类讨论思想 文

用心 爱心 专心 1 高考专题训练二十四高考专题训练二十四 分类讨论思想分类讨论思想 班级 姓名 时间 45 分钟 分值 75 分 总得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 在每小题给出的四个选项中 选出符合题目要求的一项填在答题卡上 1 已知数列 an 满足 a1 m m为正整数 an 1 Error 若a6 1 则m所有可能的取值 为 A 4 或 5 B 4 或 32 C 5 或 32 D 4 5 或 32 解析 若a5为偶数 则a6 1 即a5 2 a5 2 若a4为偶数 则a5 2 a4 4 a4 2 若a4为奇数 则有a4 舍 1 3 若a3为偶数 则有a3 8 若a3为奇数 则a3 1 若a2为偶数 则a2 16 或 2 若a2为奇数 则a2 0 舍 或a2 舍 7 3 若a1为偶数 则a1 32 或 4 若a1为奇数 有a1 5 或a1 舍 1 3 若a5为奇数 有 1 3a5 1 所以a5 0 不成立 综上可知a1 4 或 5 或 32 答案 D 点评 本题考查了分类讨论的应用 要注意数列中的条件是an为奇数或偶数 而不是n 为奇数或偶数 2 已知二次函数f x ax2 2ax 1 在区间 3 2 上的最大值为 4 则a等于 A 3 B 3 8 C 3 D 或 3 3 8 解析 当a0 时 在x 3 2 上 当x 2 时取得最大值 得a 3 8 答案 D 用心 爱心 专心 2 3 对一切实数 不等式x2 a x 1 0 恒成立 则实数a的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 0 解析 本题是不等式恒成立问题 可以构造函数 把函数转化为y x 型 通过求解 a x 函数的最值得到结论 由不等式x2 a x 1 0 对一切实数恒成立 当x 0 时 则 1 0 显然成立 当x 0 时 可得不等式a x 对x 0 的一切实数成立 令 1 x f x x 2 当且仅当 x 1 时 成立 1 x x 1 x f x max 2 故a f x max 2 答案 B 4 0 b ax 2的解集中的整数恰有 3 个 则 A 1 a 0 B 0 a 1 C 1 a 3 D 3 a0 x b ax x b ax 0 即 1 a x b 1 a x b 0 令x1 x2 0 b 1 a 则 0 1 即 0 x20 时 若 0 a 1 则不等式 的解集为 不符合题 b 1 a b 1 a 意 若 1 a 0 不等式的解集为 不符合题意 b 1 a b 1 a 当 1 a1 时 需x1 b 2 1 a a 3 b 1 a 综上 1 a 3 故选 C 答案 C 5 已知a 1 2 b 1 若a与b的夹角为钝角 则 的取值范围是 A B 1 2 1 2 C 2 D 2 1 2 2 解析 a b 为钝角 a b 又当 2 时 a与b反向 故选 C 1 2 答案 C 用心 爱心 专心 3 6 对任意两实数a b定义运算 如下 a b Error 则函数f x log 3x 2 log2x的值域为 1 2 A 0 B log2 0 2 3 C log2 D R 2 3 解析 根据题目给出的情境 得f x log 3x 2 log2x log2 log2x Error 1 2 1 3x 2 由于y log2x的图象定义域上为增函数 可得f x 的值域为 0 故选 A 答案 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 7 若函数f x 4x a 2x a 1 在 上存在零点 则实数a的取值范围为 解析 设 2x t t 0 则函数可化为g t t2 at a 1 t 0 函数f x 在 上存在零点 等价于函数g t 在 0 上有零点 1 当函数g t 在 0 上存在两个零点时 实数a应满足 Error 解得 1 a 2 2 2 2 当函数g t 在 0 上存在一个零点 另一个零点在 0 时 实数a应满 足g 0 a 1 0 解得a0 n 0 a m n 与b 1 1 不可能同向 夹角 0 0 a b 0 m n 2 当m 6 时 n 6 5 4 3 2 1 当m 5 时 n 5 4 3 2 1 当m 4 时 n 4 3 2 1 当m 3 时 n 3 2 1 当m 2 时 n 2 1 当m 1 时 n 1 用心 爱心 专心 4 概率是 6 5 4 3 2 1 6 6 7 12 答案 7 12 9 当点M x y 在如图所示的 ABC内 含边界 运动时 目标函数z kx y取得最大 值的一个最优解为 1 2 则实数k的取值范围是 解析 如图 延长BC交y轴于点D 目标函数z kx y中z的几何意义是直线 kx y z 0 在y轴上的截距 由题意得当此直线经过点C 1 2 时 z取得最大值 显然此 时直线kx y z 0 与y轴的交点应该在点A和点D之间 而 kAC 1 kBD kBC 1 直线kx y z 0 的斜率为 k 所以 1 k 1 2 1 1 0 2 0 1 3 解得k 1 1 答案 1 1 10 设F1 F2为椭圆 1 的两个焦点 P为椭圆上一点 已知P F1 F2是一个直 x2 9 y2 4 角三角形的三个顶点 且 PF1 PF2 则的值为 PF1 PF2 解析 若 PF2F1 90 则 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 PF1 PF2 6 F1F2 2 5 解得 PF1 PF2 14 3 4 3 PF1 PF2 7 2 若 F1PF2 90 则 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 PF1 2 6 PF1 2 用心 爱心 专心 5 解得 PF1 4 PF2 2 2 PF1 PF2 综上 或 2 PF1 PF2 7 2 答案 或 2 7 2 三 解答题 本大题共 2 小题 共 25 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 11 12 分 已知a 0 且a 1 数列 an 的前n项和为Sn 它满足条件 1 数 an 1 Sn 1 a 列 bn 中 bn an lgan 1 求数列 bn 的前n项和Tn 2 若对一切n N 都有bn1 和 0 a 1 讨论 解 1 1 Sn 当n 1 时 a1 S1 a 当n 2 an 1 Sn 1 a a an 1 a 1 a a1 1 a 1 时 an Sn Sn 1 an a an 1 a 1 a an 1 1 a 1 an an n N 此时 bn an lgan n anlga Tn b1 b2 bn lga a 2a2 3a3 nan 设 un a 2a2 3a3 nan 1 a un a a2 a3 an nan 1 nan 1 un a an 1 a 1 nan 1 a 1 a an 1 a 1 2 Tn lga n an 1 a 1 a an 1 a 1 2 2 由bn bn 1 nanlga1 时 由 lga 0 可得a n n 1 1 a 对一切n N 都成立 此时a的范围为a 1 n n 1 n n 1 当 0 a 1 时 由 lga n 1 a 即a 即a min n n 1 n n 1 a 时 对一切n N a 都成立 此时 a的范围为 0 a n n 1 1 2 1 2 n n 1 1 2 由 知 对一切n N 都有bn bn 1的a的范围是 0 a1 1 2 用心 爱心 专心 6 12 13 分 设A x1 y1 B x2 y2 是椭圆 1 a b 0 上两点 已知 y2 a2 x2 b2 m n 若m n 0 且椭圆的离心率e 短轴长为 2 O为坐标原 x1 b y1 a x2 b y2 a 3 2 点 1 求椭圆的方程 2 若直线AB过椭圆的焦点F 0 c c为半焦距 求直线AB的斜率k 3 试问 AOB的面积是否为定值 如果是 请给予证明 如果不是 请说明理由 分析 1 由e 及b 1 可求a 2 设出AB的直线方程 代入椭圆方程 结合根 c a 3 2 与系数的关系及条件m n 0 解出k值 3 应分kAB不存在及kAB存在两种情况讨论求解 解 1 2b 2 b 1 e a 2 c 椭圆的方程为 c a a2 b2 a 3 23 x2 1 y2 4 2 由题意 设AB的方程为y kx 3 由Error 整理得 k2 4 x2 2kx 1 0 3 x1 x2 x1x2 2 3k k2 4 1 k2 4 由已知m n 0 得 x1x2 kx1 kx2 x1x2 k x1 x2 x1x2 b2 y1y2 a2 1 433 1 k2 4 3 4 3 4 k2 4 4 k 0 解得k 1 k2 4 3 4 2 3k k2 4 3 42 3 当直线AB斜率不存在时 即x1 x2 y1 y2 由m n 0 得x 0 y 4x 2 1 y2 1 42 12 1 又A x1 y1 在椭圆上 所以x 1 2 1 4x2 1 4 x1 y1 S x1 y1 y2 1 x1 2 y1 1 所以三角形面积为定 2 22 1 2 1 2 值 当直线AB斜率存在时 设AB的方程为y kx b 代入 x2 1 得 k2 4 y2 4 用心 爱心 专心 7 x2 2kbx b2 4 0 所以x1 x2 x1x2 x1x2 0 x1x2 2k