2012年高考数学压轴卷试题 文 新课标

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文文 科科 数数 学学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第 22 24 题为 选考题 其它题为必考题 考生作答时 将答案答在答题卡上 在本试卷上答题无效 考试 结束后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 认真核对条形码上的 姓名 准考证号 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 2 选择题答案使用 2B 铅笔填涂 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案的标号 非选择题答案使用 0 5 毫米的黑色中性 签字 笔或碳素笔书写 字体工整 笔迹清楚 3 请按照题号在各题的答题区域 黑色线框 内作答 超出答题区域书写的答案无效 4 保持卡面清洁 不折叠 不破损 5 做选考题时 考生按照题目要求作答 并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑 第 I 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 复数在复平面上对应的点的坐标是 1 1 i A B C D 1 1 1 1 1 1 1 1 2 已知全集则 2 20 220 x UR Ax xxBx U AC B A B C D 02xx 01xx 01xx 02xx 3 下列函数中 满足 对任意的 当时 总有 f x 12 0 x x 12 xx 的是 12 f xf x A B C D 2 1 f xx ln 1 f xx 1 f x x x f xe 4 设则 是 成立的 aR 10a 1 a A 充分必要条件 B 充分不必要条件 2 C 必要不充分条件 D 既非充分也非必要条件 5 一个质地均匀的正方体骰子 其六个面上的点数分别为 1 2 3 4 5 6 将这颗骰子连 续投掷三次 观察向上的点数 则三次点数依次成等比数列的概率为 A B C D 来 1 36 1 27 1 216 1 108 6 已知两个不同的平面和两条不重合的直线 则下列四个命题正确的是 a b A 若 则 a b b a B 若 则 ab a b C 若 则 b ab a D 若 则 aa a a 7 某几何体的三视图如右图所示 则其侧面积为 A B 3 2 6 2 2 3 6 2 C D 6 2 3 2 3 2 2 8 在等差数列中 则数列的前 11 项和等于 n a 912 1 6 2 aa n a 11 S A B C D 244866132 9 执行右面的程序框图 若输出的结果是 则输入的 15 16 为 a A B 34 C D 56 10 已知抛物线则过抛物线焦点且斜率为的直线 被 2 1 4 C yx F 1 2 l 抛物线截得的线段长为 A B C D 9 4 17 8 54 11 若函数在一个周sin 0 0 2 yAxb A 期内的图像如图所示 则函数的解析式为 A 3sin 2 1 3 yx B 2sin 2 1 3 yx 是 否 3 C 3sin 2 1 3 yx D 2sin 2 1 3 yx 12 设集合 函数 若当 01 12AxxBxx 2 42 x xA f x x xB 时 则的取值范围是 0 xA 0 f f xA 0 x A B C D 0 1 2 3 log21 2log31 3 2 4 3 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知等比数列的公比为 2 且前四项之和等于 1 则前 8 项之和等于 14 若的最大值是 3 则的值是 0 0 xy xy ya 2zxy a 15 内角的对边分别是 若 ABC A B C a b c2 3cb 则 22 sinsin3sinsinABBC A 16 已知双曲线的左右焦点是 设是双曲线右支上 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F FP 一点 在上的投影的大小恰好为 且它们的夹角为 则双曲线的 12 FF 1 FP 1 FP 6 离心率是 e 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 是坐标平面上的点 O是坐标原点 3 1 22 P cos sin 2 Q 若点的坐标是 求 6 cos 的值 Q 3 5 m 设函数 求 f的值域 fOP OQ 4 18 本小题满分 12 分 如图所示 直角梯形与等腰直角所在平面互相垂直 为的中ACDEABC FBC 点 90BACACD AECD22DCACAE 求证 平面平面 BCD ABC 求证 平面 AFBDE 求四面体的体积 BCDE 19 本小题满分 12 分 户外运动已经成为一种时尚运动 某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有 关 决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行了问卷调查 得 到了如下列联表 喜欢户外运动不喜欢户外运动合计 男性 5 女性 10 合计 50 已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是 3 5 请将上面的列联表补充完整 求该公司男 女员各多少名 是否有 99 5 的把握认为喜欢户外运动与性别有关 并说明你的理由 下面的临界值表仅供参考 2 P Kk 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k 2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 2 2 n adbc Knabcd ab cd ac bd 参考公式 其中 20 本小题满分 12 分 已知两定点 满足的动点的轨迹是曲线 12 1 0 1 0 FF 12 4PFPF PC 求曲线的标准方程 C 直线与曲线交于两点 求面积的最大值 l yxb C A BAOB 5 21 本小题满分 12 分 设函数 2 1 ln 2 a f xxaxx aR 当时 求函数的极值 1a f x 当时 讨论函数的单调性 1a f x 若对任意及任意 恒有 成立 2 3 a 12 1 2 x x 12 ln2 maf xf x 求实数的取值范围 m 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 则按所选的第一题计分 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图内接于圆 直线切圆于点C ABC OABAC MNOBD MN ACBD与相交于点E 1 求证 ADAE 2 若6 4 ABBCAE 求 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中 直线l的参数方程为 在以O为极点 xOy 12 xt t yt 为 为为 为为 为 以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 圆C的极坐标方程为 2 2sin 4 将直线l的参数方程化为普通方程 圆C的极坐标方程化为直角坐标方程 判断直线 与圆C的位置关系 l A B C D E M N 6 6 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲已知函数 1 2 f xxxm 1 当时 求的解集 5m 0f x 2 若关于的不等式的解集是 求的取值范围 x 2f x Rm 数学 文科 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题 5 分 题号 123456789101112 答案 DBCCBDADBCBA 二 填空题 每小题 5 分 13 17 14 1 15 16 三 解答题 17 解 由已知可得 3 分 34 cos sin 55 m 所以 6 分 43 3 cos 610 fOP OQ cos sin cos sin 66 sin 2 1 cos 2 3 sin 3 9 分 因为 则 所以 2 54 363 31 sin 232 故 f的值域是 12 分 3 1 22 18 解 面面 面面 ABC ACDEABC ACDEAC CDAC 面 2 分DC ABC 又 面 平面平面 4 分DC BCDBCD ABC 取的中点 连结 则 BDPEPFPFP 1 2 DC 又 6 分EA 1 2 DCEAFP 四边形是平行四边形 AFPEAFEP 31 7 又 面且面 面 8 分EP BDEAF BDEAFBDE 面面 面 BA ACABC ACDEACBA ACDE 就是四面体的高 且 2 10 分BABCDE BA 2 2 DCACAEAEDC 11 12 23 1 21 22 ACEACDE SS 梯形 12 分 3 12 CDE S 14 22 33 E CDE V 19 在全部 50 人中随机抽取 1 人的概率是 喜欢户外活动的男女员工共 30 其 3 5 中 男员工 20 人 列联表补充如下 喜欢户外运动不喜欢户外运动合计 男性 20525 女性 101525 合计 302050 3 分 该公司男员工人数为 则女员工人 6 分 25 650325 50 325 10 分 2 2 50 20 15 10 5 8 3337 879 30 20 25 25 K 有 99 5 的把握认为喜欢户外运动与性别有关 12 分 20 解 由题意知 曲线是以为焦点的椭圆 C 12 F F 故曲线的方程为 3 分 2 1 ac 2 3b C 22 1 43 xy 设直线 与椭圆交点 l 22 1 43 xy 1122 A x yB xy 联立方程得 4 分 22 3412 yxb xy 22 784120 xbxb 因为 解得 且5 分 2 48 7 0b 2 7b 2 1212 8412 77 bb xxx x 点到直线 的距离 6 分 Ol 2 b d 9 分 22 1212 4 6 2 47 7 ABxxx xb 10 分 2 14 6 7 272 AOB b Sb 22 2 3 7 7 bb 3 当且仅当即时取到最大值 22 7bb 2 7 7 2 b 面积的最大值为 12 分 AOB 3 8 21 解 函数的定义域为 0 当时 令得 1a 11 ln 1 x f xxx fx xx 0 fx 1x 当时 当时 01x 0 fx 1x 0 fx 无极大值 4 分 1 1 f xf 极小值 1 1 fxa xa x 2 1 1a xax x 1 1 1 a xx x 5 分 1 1 1 1 a xx a x 当 即时 在上是减函 1 1 1a 2a 2 1 0 x fx x f x 0 数 当 即时 令得或 1 1 1a 2a 0 fx 1 0 1 x a 1 x 令得 0 fx 1 1 1 x a 当 即时 令得或 1 1 1a 12a 0 fx 01x 1 1 x a 令得 7 分 0 fx 1 1 1 x a 综上 当时 在定义域上是减函数 2a f x 当时 在和单调递减 在上单调递增 2a f x 1 0 1a 1 1 1 1a 当时 在和单调递减 在上单调递12a f x 0 1 1 1a 1 1 1a 8 分 由 知 当时 在上单调递减 2 3 a f x 1 2 当时 有最大值 当时 有最小值 1x f x2x f x 10 分 12 3 1 2 ln2 22 a f xf xff ln2ma 3 ln2 22 a 而经整理得 由得 所以 12 分0a 13 22 m a 23a 113 0 422a 0 m 22 1 证明 BD MNAEDACN 又为圆的切线 则 MN ACNABC AEDABC DCNCAD ABAC ABCACB ACBAED 又 5 分 ADBACBAEDADB ADAE 2 ACDABDCADCAB 且AEAD ABE ACDA4 BECDBC 9 设AEx 易证 2 3 ABEDEC DEx 又AE ECBE ED AA 所以 10 3 x 10 分 23 解 1 将直线 的参数方程经消参可得直线的普通方程为 3 分 l 210 l yx 由得 2 2sin 4 2 2 sin2 cos 即圆直角坐标方程为 6 分 22 220 xyxy C 22 1 1 2xy 2