2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷解析版）

点点评评 2012 年年高高考考广广东东理理科科数数学学试试题题 从从化化中中学学 陈陈飞飞林林 1 难难度度略略有有下下降降 突突出出基基础础无无难难题题 2012 年年高高考考广广东东省省理理科科数数学学题题 总总体体来来看看难难度度略略有有下下降降 基基础础得得分分 题题约约 103 分分 1 7 题题 9 15 题题 16 18 题题 基基本本功功考考查查题题约约 47 分分 8 题题 19 题题 20 题题 21 题题 无无难难 题题 是是近近几几年年来来考考题题最最简简单单的的一一年年 2 代代数数计计算算量量大大 方方法法技技能能做做文文章章 如如 16 题题角角的的计计算算 19 题题通通项项公公式式的的求求法法 20 题题解解析析几几何何向向函函数数不不 等等式式的的转转化化 21 题题的的一一元元二二次次函函数数的的分分类类讨讨论论 3 知知识识结结构构隐隐定定 创创新新题题中中有有新新意意 在在整整个个试试卷卷中中 大大体体保保持持了了近近几几年年广广东东试试题题的的命命风风格格 如如填填空空题题与与 2011 年年结结构构和和形形式式基基本本一一致致 并并且且比比 2011 年年填填空空题题简简单单 这这一一点点为为新新一一年年的的高高考考复复习习提提供供了了一一些些有有 价价值值的的参参考考信信息息 第第 8 题题体体现现了了较较大大创创新新 学学生生要要有有很很好好的的理理解解能能力力和和迁迁移移能能力力以以及及推推理理能能力力 有有点点 竞竞赛赛味味 第第 19 题题数数列列问问题题隐隐中中有有新新 看看似似复复杂杂 其其实实简简单单一一反反近近几几年年广广东东高高考考题题 数数列列题题的的常常规规命命 题题方方式式 命命题题思思想想更更理理性性 有有人人味味 4 难难怪怪偏偏题题减减少少 基基本本功功考考查查加加强强 整整卷卷少少了了象象 2007 年年理理 20 题题 2008 年年理理 21 题题 2010 年年理理 21 题题 2011 年年理理 20 题题 21 题题这这样样的的怪怪偏偏题题 是是一一份份很很有有诚诚意意的的考考试试题题 但但是是象象 20 题题 21 题题也也考考查查了了学学生生的的基基本本 功功 对对于于平平时时只只重重难难 偏偏 怪怪题题的的学学生生来来说说 并并不不是是好好事事 虽虽然然题题难难度度不不大大 但但要要把把分分数数拿拿到到也也非非易易 事事 对对于于数数学学复复习习来来说说 无无疑疑释释放放了了一一个个重重要要信信息息 就就是是基基本本功功扎扎实实是是非非常常重重要要的的 也也就就是是不不管管高高 考考题题千千变变万万变变 我我们们的的复复习习要要以以不不变变应应万万变变 考考点点和和知知识识考考查查是是不不变变的的 5 中中间间层层面面高高兴兴 尖尖优优生生欲欲哭哭无无泪泪 整整卷卷由由于于只只顾顾考考生生的的得得分分率率和和平平均均分分 迎迎合合社社会会的的好好评评 因因而而少少了了 区区分分度度较较高高的的题题 中中间间学学生生来来说说是是该该大大欢欢喜喜 但但对对于于高高层层学学生生来来说说就就毫毫无无优优势势 2012 年年广广东东省省理理科科数数学学详详细细答答案案 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 设 i 为虚数单位 则复数 56i i A 6 5i B 6 5i C 6 5i D 6 5i 解 2 2 5656 65 iii i ii 故选 C 2 设集合 U 1 2 3 4 5 6 M 1 2 4 则C M A U B 1 3 5 C 3 5 6 D 2 4 6 选 C 3 若向量BA 2 3 CA 4 7 则BC A 2 4 B 3 4 C 6 10 D 6 10 解 2 3 4 7 2 4 BCBAAC 故选 A 4 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 A y ln x 2 B y 1x C y 1 2 x D y x 1 x 解 A 5 已知变量 x y 满足约束条件 2 1 1 y xy xy 则 z 3x y 的最大值为 A 12 B 11 C 3 D 1 解 画约束区域如右 令 z 0 得3yx 化目标函数为 斜截式方程 3yxz 得 当3 2xy 时 max 11z 故选 B 评评 1 5 题题是是送送分分题题 确确是是宽宽和和仁仁厚厚的的题题 6 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 解 几何体直观图如右 几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥构成 圆锥的高 23 1 534PO 1 459457 3 VVV 圆柱圆锥 故选 C 评评 此此题题难难度度圆圆锥锥的的高高如如何何求求和和由由三三视视图图恢恢复复直直观观图图这这两两个个点点 有有少少量量的的学学生生在在这这一一题题上上会会丢丢分分 7 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 A 4 9 B 1 3 C 2 9 D 1 9 解 设个位数与十位数分别为 x y 则21 1 2 3 4 5 6 7 8 9xykk 所以 x y分别为一奇一偶 第一类x为奇 y为偶数共有 11 55 25CC 个数 第一类x为偶 y为厅数共有 11 45 20CC 个数 两类共有 45 个数 其中个位是 0 十位数是奇数的两位有 10 30 50 70 90 这 5 个数 所以其个位数为 0 的概率是 51 459 选 D 评评 此此题题看看似似简简单单 但但知知识识考考查查点点却却比比较较多多 又又涉涉及及到到分分类类与与分分步步混混合合问问题题 对对计计数数原原理理及及排排列列组组合合学学 得得不不好好的的同同学学 难难得得分分数数 因因而而本本题题就就成成了了一一个个得得分分率率较较低低的的题题了了 从从而而也也是是有有区区分分度度的的题题 y 2 y x 1 x y 1 y 3x B 3 2 C 1 2 2 A 1 0 X X CD B O1A P O 5 已知变量 x y 满足约束条件 2 1 1 y xy xy 则 z 3x y 的最大值为 A 12 B 11 C 3 D 1 解 画约束区域如右 令 z 0 得3yx 化目标函数为 斜截式方程 3yxz 得 当3 2xy 时 max 11z 故选 B 评评 1 5 题题是是送送分分题题 确确是是宽宽和和仁仁厚厚的的题题 6 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 解 几何体直观图如右 几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥构成 圆锥的高 23 1 534PO 1 459457 3 VVV 圆柱圆锥 故选 C 评评 此此题题难难度度圆圆锥锥的的高高如如何何求求和和由由三三视视图图恢恢复复直直观观图图这这两两个个点点 有有少少量量的的学学生生在在这这一一题题上上会会丢丢分分 7 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 A 4 9 B 1 3 C 2 9 D 1 9 解 设个位数与十位数分别为 x y 则21 1 2 3 4 5 6 7 8 9xykk 所以 x y分别为一奇一偶 第一类x为奇 y为偶数共有 11 55 25CC 个数 第一类x为偶 y为厅数共有 11 45 20CC 个数 两类共有 45 个数 其中个位是 0 十位数是奇数的两位有 10 30 50 70 90 这 5 个数 所以其个位数为 0 的概率是 51 459 选 D 评评 此此题题看看似似简简单单 但但知知识识考考查查点点却却比比较较多多 又又涉涉及及到到分分类类与与分分步步混混合合问问题题 对对计计数数原原理理及及排排列列组组合合学学 得得不不好好的的同同学学 难难得得分分数数 因因而而本本题题就就成成了了一一个个得得分分率率较较低低的的题题了了 从从而而也也是是有有区区分分度度的的题题 y 2 y x 1 x y 1 y 3x B 3 2 C 1 2 2 A 1 0 X X CD B O1A P O 没没有有变变化化题题 看看命命题题人人真真是是好好人人 11 已知递增的等差数列 n a满足 132 4a aa 则 n a 解 评评 此此题题与与 2011 年年广广东东理理科科第第 11 题题 等差数列 n a前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则 k 比比较较就就是是一一道道没没有有变变化化题题 看看命命题题人人真真是是好好人人 12 曲线 y x3 x 3 在点 1 3 处的切线方程为 解 点 1 3 在 曲线 y x3 x 3 上 2 31 2yxk 由点斜式方程可得点 1 3 处的切线方程为 21yx 评评 此此题题与与 2011 年年广广东东理理科科第第 12 题题 函数 2 31f xxx 在 x 处取得极小值 比比 较较就就是是一一道道没没有有变变化化题题 看看命命题题人人真真是是好好人人 13 执行如图 2 所示的程序框图 若输入 n 的值为 8 则输出 s 的值为 二 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1和 C2的参数方程分别为 xt t yt 为参数和 2cos 2sin x y 为参数 则曲线 C1与 C2的交点坐标为 解 曲线 C1的普通方程为 2 0 xy C2的普通方程为 22 2xy 联立 2 22 0 2 xy xy 解得 11 11 xx yy 或则曲线 C1与 C2的交点坐标为 1 1 或 1 1 15 几何证明选讲选做题 如图 3 圆 O 的半径为 1 A B C 是圆周上的三点 满足 ABC 30 过 点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P 则 PA 解 连 OA 得 AOP 60 所以 OP 2 PC 1 所以 2 2 1 3 3PAPCPCPA 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 2cos 6 f xx 其中 0 x R 的最小正周期为 10 1 求 的值 2 设 55516 0 5 5 236617 ff 求 cos 的值 解 1 2 010 1 5 T 2 由 1 得 1 2cos 56 f xx 6515 5 2cos 5 2cos 2sin 535362 f 34 sin cos 55 16515815 5 2cos 5 2cos cos sin 1765661717 f 4831513 coscoscossinsin 51751785 评评 此此题题与与 2011 年年广广东东理理科科第第 16 题题 已已知知函函数数 f x 2 2s si in n 3 1 x 6 x R 1 求求 f 4 5 的 的值值 2 2 设设 0 0 2 3f 2 13 10 32 f 5 6 求求cos 的的值值 比比较较就就是是一一道道没没有有变变化化题题 也也前前三三年年三三角角考考试试题题变变化化不不大大 但但是是三三角角函函数数如如此此命命题题看看似似做做好好人人 其其实实在在 角角上上还还是是做做足足了了功功夫夫 如如 果果对对角角的的观观察察不不细细 或或是是有有心心理理压压力力 此此题题也也不不好好得得分分 PO A B C 17 本小题满分 13 分 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示 其中成绩分组 区间是 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 1 求图中 x 的值 2 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人 该 2 人中成绩在 90 分以上 含 90 分 的人数记为 求得数学期望 解 1 图中 x 所在组为 80 90 即第五组 5 1 10 0 0540 01 3 0 006 1 0 820 18 0 018fx 2 成绩不低于 80 分的学生所占的频率为10 0 0180 006 0 24f 所以成绩不低于 80 分的学生有 5050 0 2412f 人 成绩不低于 90 分的学生人数为 50 10 0 0063 所以为的取值为 0 1 2 2 9 2 12 6 0 11 C P C 11 93 2 12 9 1 22 CC P C 2 3 2 12 1 2 22 C P C 所以为的分布列为 0 1 2 P 12 22 9 22 1 22 所以为的数学期望 0 12 1 92 1111 22222 E 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD 点 E 在线段 PC 上 PC 平面 BDE 1 证明 BD 平面 PAC 2 若 PA 1 AD 2 求二面角 B PC A 的正切值 1 证明 因为 PA 平面 ABCD BDABCDBDPA 平面 又因为 PC 平面 BDE BDBDPC 平面BD E 而PAPCP 所以 BD 平面 PAC 2 由 1 BD 平面 PAC 所以 BD AC 又四边形 ABCD 为矩形 所以四边形 ABCD 是正方形 设 AC 交 BD 于 O 点 因为 PC 平面 BDE 所以BEO 即二面角 B PC A 的平面角 1 2 2 2 2PAADACBOOC 22 13PCPAAC 又 2 13 OECO OE PAPC 在直角三角形 BEO 中 2 tan13 2 13 BO BEO EO 所以二面角 B PC A 的正切值为13 评评 2012 年年广广东东省省立立体体几几何何考考试试题题是是实实行行新新课课程程标标准准以以来来最最简简单单的的一一年年 但但是是对对于于只只会会用用坐坐标标法法同同学学 来来说说 复复杂杂的的计计算算也也会会占占用用很很多多时时间间 19 本小题满分 14 分 设数列 n a的前 n 项和为 Sn 满足 1 1 221 n nn SanN 且 123 5 a aa 成等差数列 1 求 1 a的值 2 求数列 n a的通项公式 3 证明 对一切正整数 n 有 123 11113 2 n aaaa 解 1 1 1 221 n nn SanN 又 123 5 a aa 成等差数列 121 1232 2133 231 2275 21019 aaa aaaa aaaa 2 1 1 221 n nn Sa 1 221 n nn Sa 2 假设点 M m n 存在 则有 22 1mn 22 1 2 1AB mn 22222222 11111 2 1 1 2 oAB S mnmnmnmn 22 2222 11 1 01 10mn mnmn 当且仅当 2222 11 1 mnmn 即 22 21mn 时 oAB S 有最大值 1 2 联立 2 22 22 2 3 2 2 133 2 m mn mn n 所以所求 M 点的坐标为 32323232 22222222 评评 2012 年年广广东东省省理理科科解解析析几几何何题题 体体现现了了与与广广州州市市的的水水平平测测试试题题的的有有效效结结合合 与与 2011 年年高高二二水水平平测测 试试析析其其相相似似 21 本小题满分 14 分 设1a 集合 2 0 23 1 60 AxR xBxRxa xaDAB 1 求集合 D 用区间表示 2 求函数 32 23 1 6f xxa xax 在 D 内的极值点 解 1 设 2 23 1 6g xxa xa 其对称轴方程为 3 1 4 xa 当1a 时 3 1 0 4 xa 0 60ga 方程 2 23 1 60g xxa xa 有解为 22 12 3 1 93093 1 9309 0 44 aaaaaa xx 2 2 3 1 9309 4 aaa Dx 当10a 时 3 1 0 4 xa 0 60ga 方程 2 23 1