相似三角形证明技巧-专题

1 相似三角形解题方法 技巧 步骤 辅助线解析 一 相似 全等的关系一 相似 全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面 全等形是相似比为 1 的特殊相似形 相 似形则是全等形的推广 因而学习相似形要随时与全等形作比较 明确它们之间的联系与区别 相似形 的讨论又是以全等形的有关定理为基础 二 相似三角形二 相似三角形 1 三角形相似的条件 三角形相似的条件 三 三 两个三角形相似的六种图形 两个三角形相似的六种图形 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形 并能根据问题需要舔加适当的辅助线 构造出基本图形 从只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形 并能根据问题需要舔加适当的辅助线 构造出基本图形 从 而使问题得以解决而使问题得以解决 四 三角形相似的证题思路 判定两个三角形相似思路 四 三角形相似的证题思路 判定两个三角形相似思路 1 先找两对内角对应相等 对平行线型找平行线 因为这个条件最简单 2 再而先找一对内角对应相等 且看夹角的两边是否对应成比例 3 若无对应角相等 则只考虑三组对应边是否成比例 找另一角 两角对应相等 两三角形相似 找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例 两三角形相似 a 已知一角等 角 b 己知两边对应成比 例 2 找一个直角 斜边 直角边对应成比例 两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等 两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理 1 或判定定理 4 找顶角对应相等 判定定理 1 找底角对应相等 判定定理 1 找底和腰对应成比例 判定定理 3 e 相似形的传递性 若 1 2 2 3 则 1 3 五 五 三点定形法三点定形法 即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法 例1 已知 如图 ABC中 CE AB BF AC 求证 BA AC AF AE 例 2 如图 CD 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的高 BAC 的 平分线分别交 BC CD 于点 E F AC AE AF AB 吗 说明理由 分析方法 1 先将积式 2 横定 还是 竖定 例 1 已知 如图 ABC 中 ACB 900 AB 的垂直平分线交 AB 于 D 交 BC 延长线于 F c 己知一个直 角 d 有等腰关 系 3 求证 CD2 DE DF 分析方法 1 先将积式 六 过渡法 或叫代换法 六 过渡法 或叫代换法 有些习题无论如何也构造不出相似三角形 这就要考虑灵活地运用 过渡 其主要类型有三种 下面 分情况说明 1 等量过渡法 等线段代换法 等量过渡法 等线段代换法 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时 即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上 不能组成三角形 或四条线段虽然组成两个三角形 但这两个三角形并不相似 那就需要根据已知条 件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段 如果没有 可考虑添加简单的辅助线 然后再应用三点定形法确定相似三角形 只要代换得当 问题往往可以得到解决 当然 还要注意最 后将代换的线段再代换回来 例 1 如图 3 ABC 中 AD 平分 BAC AD 的垂直平分线 FE 交 BC 的延长线于 E 求证 DE2 BE CE 分析 2 等比过渡法 等比代换法 等比过渡法 等比代换法 当用三点定形法不能确定三角形 同时也无等线段代换时 可以考虑用等比代换法 即考虑利用第 三组线段的比为比例式搭桥 也就是通过对已知条件或图形的深入分析 找到与求证的结论中某个 比相等的比 并进行代换 然后再用三点定形法来确定三角形 4 例 2 如图 4 在 ABC 中 BAC 90 AD BC E 是 AC 的中点 ED 交 AB 的延长线于点 F 求证 ABDF ACAF 3 等积过渡法 等积代换法 等积过渡法 等积代换法 思考问题的基本途径是 用三点定形法确定两个三角形 然后通过三角形相似推出线段成比例 若 三点定形法不能确定两个相似三角形 则考虑用等量 线段 代换 或用等比代换 然后再用三点定 形法确定相似三角形 若以上三种方法行不通时 则考虑用等积代换法 例 3 如图 5 在 ABC 中 ACB 90 CD 是斜边 AB 上的高 G 是 DC 延长线上一点 过 B 作 BE AG 垂足为 E 交 CD 于点 F 求证 CD2 DF DG 小结 证明等积式思路口诀 小结 证明等积式思路口诀 遇等积 化比例 横找竖找定相似 遇等积 化比例 横找竖找定相似 不相似 不用急 等线等比来代替 不相似 不用急 等线等比来代替 5 同类练习 同类练习 1 如图 点 D E 分别在边 AB AC 上 且 ADE C 求证 1 ADE ACB 2 AD AB AE AC 1 题图 2 题图 2 如图 ABC 中 点 DE 在边 BC 上 且 ADE 是等边三角形 BAC 120 求证 1 ADB CEA 2 DE BD CE 3 AB AC AD BC 3 如图 平行四边形 ABCD 中 E 为 BA 延长线上一点 D ECA 求证 AD EC AC EB 此题为陷阱题 应注意条件中唯一的角相等 考虑平行四边形对边相等 用等线替代思想解决 6 4 如图 AD 为 ABC 中 BAC 的平分线 EF 是 AD 的垂直平分线 求证 FD FC FB 此题四点共线 应积极寻找条件 等线替代 转化为证三角形相似 5 如图 E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点 EC 交 AB 于点 G 交 BD 于点 F 求证 FC FG EF 此题再次出现四点共线 等线替代无法进行 可以考虑等比替代 7 6 如图 E 是正方形 ABCD 边 BC 延长线上一点 连接 AE 交 CD 于 F 过 F 作 FM BE 交 DE 于 M 求证 FM CF 注 等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式 也可应用于线段相等的证明 此题用等比替 代可以解决 7 如图 ABC 中 AB AC 点 D 为 BC 边中点 CE AB BE 分别交 AD AC 于点 F G 连接 FC 求证 1 BF CF 2 BF FG FE 练习题图 8 如图 ABC 90 AD DB DE AB 8 求证 DC DE DF 9 如图 ABCD 为直角梯形 AB CD AB BC AC BD AD BD 过 E 作 EF AB 交 AD 于 F 是说明 1 AF BE 2 AF AE EC 10 ABC 中 BAC 90 AD BC E 为 AC 中点 求证 AB AC DF AF 11 已知 CE 是 RT ABC 斜边 AB 上的高 在 EC 延长线上任取一点 P 连接 AP 作 BG AP 垂足为 G 交 CE 于点 D 9 试证 CE ED EP 注 此题要用到等积替代 将 CE 用射影定理替代 再化成比例式 七 证比例式和等积式的方法 七 证比例式和等积式的方法 对线段比例式或等积式的证明 对线段比例式或等积式的证明 常用 三点定形法 等线段替换法 中间比过渡法 面积法等 若比例式 或等积式所涉及的线段在同一直线上时 应将线段比 转移 必要时需添辅助线 使其分别构成两个相似 三角形来证明 可用口诀 可用口诀 遇等积 改等比 横看竖看找关系 遇等积 改等比 横看竖看找关系 三点定形用相似 三点共线取平截 三点定形用相似 三点共线取平截 平行线 转比例 等线等比来代替 平行线 转比例 等线等比来代替 两端各自找联系 可用射影和园幂 两端各自找联系 可用射影和园幂 例例 1 如图 5 在 ABC 中 AD BE 分别是 BC AC 边上的高 DF AB 于 F 交 AC 的延长线于 H 交 BE 于 G 求证 1 FG FA FB FH 2 FD 是 FG 与 FH 的比例中项 10 1 说明 说明 证明线段成比例或等积式 通常是借证三角形相似 找相似三角形用三点定形法 在比例式 中 或横着找三点 或竖着找三点 若不能找到相似三角形 应考虑将比例式变形 找等积式代换 或 直接找等比代换 例 2 如图 6 ABCD 中 E 是 BC 上的一点 AE 交 BD 于点 F 已知 BE EC 3 1 S FBE 18 求 1 BF FD 2 S FDA 2 说明 说明 线段 BF FD 三点共线应用平截比定理 由平行四边形得出两线段平行且相等 再由 平截 比定理 得到对应线段成比例 三角形相似 由比例合比性质转化为所求线段的比 由面积比等于相似比 的平方 求出三角形的面积 例例 3 如图 7 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 M 是 AD 的中点 CM 的延长线交 AB 于 N 求 AN AB 的值 11 3 说明 说明 求比例式的值 可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线 找等比过渡 当 已知条件中的比例关系不够用时 还应添作平行线 再找中间比过渡 例例 4 如图 8 在矩形 ABCD 中 E 是 CD 的中点 BE AC 交 AC 于 F 过 F 作 FG AB 交 AE 于 G 求证 AG 2 AF FC 12 4 说明 说明 证明线段的等积式 可先转化为比例式 再用等线段替换法 然后利用 三点定形法 确定要 证明的两个三角形相似 例例 5 如图在 ABC 中 D 是 BC 边的中点 且 AD AC DE BC 交 AB 于点 E EC 交 AD 于点 F 1 求证 ABC FCD 2 若 S FCD 5 BC 10 求 DE 的长 5 说明 说明 要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似 再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长 例 6 如图 10 过 ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E 过点 D 作 DM FC 交 AB 于点 M 1 若 S AEF S四边形 MDEF 2 3 求 AE ED 2 求证 AE FB 2AF ED 13 6 说明 说明 由平行线推出两个三角形相似 再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性 质得到两线段的比 注意平截比定理的应用 例例 7 己知如图 11 在正方形 ABCD 的边长为 1 P 是 CD 边的中点 Q 在线段 BC 上 当 BQ 为何 值时 ADP 与 QCP 相似 7 说明 说明 两个三角形相似 必须注意其顶点的对应关系 然后再确定顶点 P 所在的位置 本题是开放 性题型 有多个位置 应注意计算 严防漏解 例例 8 己知如图 12 在梯形 ABCD 中 AD BC A 900 AB 7 AD 2 BC 3 试在边 AB 上确 定点 P 的位置 使得以 P A D 为顶点的三角形与以 P B C 为顶点的三角形相似 14 8 说明 说明 两个三角形相似 必须注意其顶点的对应关系 然后再确定顶点 P 所在的位置 本题有多个 位置 应注意计算 严防漏解 例 11 如图 已知 ABC 中 AB AC AD 是 BC 边上的中线 CF BA BF 交 AD 于 P 点 交 AC 于 E 点 求证 BP2 PE PF 11 分析 因为 BP PE PF 三条线段共线 找不到两个三角形 所以必须考虑等线段代换等其他方法 因为 AB AC D 是 BC 中点 由等腰三角形的性质知 AD 是 BC 的垂直平分线 如果我们连结 PC 由线 段垂直平分线的性质知 PB PC 只需证明 PEC PCF 问题就能解决了 15 例 12 如图 已知 在 ABC 中 BAC 900 AD BC E 是 AC 的中点 ED 交 AB 的延长线于 F 求证 12 分 析 比例式左边 AB AC 在 ABC 中 右边 DF AF 在 ADF 中 这两个三角形不相似 因此本 题需经过中间比进行代换 通过证明两套三角形分别相似证得结论 八 确定证明的切入点八 确定证明的切入点 几何证明题的证明方法主要有三个方面 第一 从 已知 入手 通过推理论 证 得出 求证 第二 从 求证 入手 通过分析 不断寻求 证据 的支撑 一直追溯回到 已知 第三 从 已知 及 求证 两方面入手 通过分析找到中间 桥梁 使之成为清晰的思维过程 九 相似三角形中的辅助线九 相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时 所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形 或得到成比例的线 段或得出等角 等边 从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系 主要的辅助线 有以下几种 一 作平行线一 作平行线 例 1 如图 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E 且使 AD AE DE 延长线与 BC 延长线相交 ABC 于 F 求证 BF CF BD CE 16 B D A C F E 例 2 如图 ABC 中 AB AC 在 AB AC 上分别截取 BD CE DE BC 的延长线相交于点 F 证明 AB DF AC EF 例例 3 3 如图 4 5 B 为 AC 的中点 E 为 BD 的中点 则 AF AE 17 例例 4 4 如图 4 7 已知平行四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 交于 O 点 E 为 AB 延长线上一点 OE 交 BC 于 F 若 AB a BC b BE c 求 BF 的长 例例 5 ABC 中 在 AC 上截取 AD 在 CB 延长线上截取 BE 使 AD BE 求证 DF AC BC FE 例例 6 6 如图 ABC 中 AD 为中线 CF 为任一直线 CF 交 AD 于 E 交 AB 于 F 求证 AE ED 2AF FB 18 二 作延长线二 作延长线 例 7 如图 RtABC 中 CD 为斜边 AB 上的高 E 为 CD 的中点 AE 的延长线交 BC 于 F FGAB 于 G 求证 FG CFBF 2 19 例例 8 如图 4 1 已知平行四边 ABCD 中 E 是 AB 的中点 ADAF 3 1 连 E F 交 AC 于 G 求 AG AC 的值 三 作中线 例例 10 已知 如图 ABC 中 AB AC BD AC 于 D 求证 BC2 2CD AC 中考综合题型中考综合题型 1 已知 如图 在中 是角平分线 试利用三角形相似的关系说明ABC BDAACAB 36 20 ACDCAD 2 1 说明说明 1 有两个角对应相等 那么这两个三角形相似 这是判断两个三角形相似最常用的方法 并且根据相等的角的位置 可以确定哪些边是对应边 2 要说明线段的乘积式 或平方式 一般都是证明比例式 或cdab bca 2 b d c a 再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式 c a a b 2 如图 矩形中 厘米 厘米 动点同时从点出发 分别沿ABCD3AD ABa 3a MN B 运动 速度是 厘米 秒 过作直线垂直于 分别交 于 当点BA BC 1MABANCDPQ 到达终点时 点也随之停止运动 设运动时间为 秒 NCMt 1 若厘米 秒 则 厘米 4a 1t PM 2 若厘米 求时间 使 并求出它们的相似比 5a tPNBPAD 3 若在运动过程中 存在某时刻使梯形与梯形的面积相等 求 用表示 PMBNPQDAt 21 3 如图 已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 匀速运动 其中点 P 运动的速度是 1cm s 点 Q 运动的速度是 2cm s 当点 Q 到达点 C 时 P Q 两点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 2 时 判断 BPQ 的形状 并说明理由 2 设 BPQ 的面积为 S cm2 求 S 与 t 的函数关系式 4 2012 湖北黄石 24 9 分 如图 10 所示 等边 ABC 中 线段 AD 为其内角角平分线 过 D 点的直线 B1C1 AC 于 C1交 AB 的延长线于 B1 请你探究 是否都成立 ACCD ABDB 11 11 ACC D ABDB 22 请你继续探究 若 ABC 为任意三角形 线段 AD 为其内角角平分线 请问一定成立吗 ACCD ABDB 并证明你的判断 5 2012 四川巴中 31 12 分 如图 12 在平面直角坐标系中 点 A C 分别在 x 轴 y 轴上 四边 形 ABCO 为矩形 AB 16 点 D 与点 A 关于 y 轴对称 AB BC 4 3 点 E F 分别是线段 AD AC 上的 动点 点 E 不与点 A D 重合 且 CEF ACB 1 求 AC 的长和点 D 的坐标 2 说明 AEF 与 DCE 相似 23 24 6 2011 江苏宿迁 28 12 分 如图 在 Rt ABC 中 B 90 AB 1 BC 以点 C 为圆心 CB 2 1 为半径的弧交 CA 于点 D 以点 A 为圆心 AD 为半径的弧交 AB 于点 E 1 求 AE 的长度 2 分别以点 A E 为圆心 AB 长为半径画弧 两弧交于点 F F 与 C 在 AB 两侧 连接 AF EF 设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G 连接 AG 试猜想 EAG 的大小 并说明理由 25 7 2011 广东汕头 21 9 分 如图 1 ABC 与 EFD 为等腰直角三角形 AC 与 DE 重合 AB EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 EFD 绕点 A 顺时针旋转 当 DF 边与 AB 边重合时 旋转中止 不考虑旋转开始和结束时重合的情况 设 DE DF 或它们的延长线 分别交 BC 或它的延长 线 于 G H 点 如图 2 1 问 始终与 AGC 相似的三角形有 及 2 设 CG x BH y 求 y 关于 x 的函数关系式 只要求根据 2 的情况说明理由 26 8 2011 湖南怀化 21 10 分 如图 8 ABC 是一张锐角三角形的硬纸片 AD 是边 BC 上的高 BC 40cm AD 30cm 从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH 使它的一边 EF 在 BC 上 顶点 G H 分别在 AC AB 上 AD 与 HG 的交点为 M 1 求证 AMHG ADBC 2 求这个矩形 EFGH 的周长 27 9 2011 湖北武汉市 24 10 分 本题满分 10 分 1 如图 1 在 ABC 中 点 D E Q 分别在 AB AC BC 上 且 DE BC AQ 交 DE 于点 P 求证 QC PE BQ DP 2 如图 在 ABC 中 BAC 90 正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC 的边上 连接 AG AF 分别交 DE 于 M N 两点 如图 2 若 AB AC 1 直接写出 MN 的长 28 1010 如图 在 ABC 中 D 是 BC 边上一点 E 是 AC 边上一点 且满足 AD AB ADE C 1 求证 AED ADC DEC B 2 求证 AB2 AE AC E A B D C 1111 2010 江苏南京江苏南京 学习 图形的相似 后 我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验 继续探索两个直角三角形相似的条件 1 对与两个直角三角形 满足一边一锐角对应相等 或两直角边对应相等 两个直角三角形全等 类似地 你可以等到 满足 或 两个直角三角形相似 29 2 满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 类似地你可以得到 满足 的两个直角三角形相似 请结合下列所给图形 写出已知 并完成说理过程 已知 如图 试说明 Rt ABC Rt A B C 1212 2010 2010 江苏苏州江苏苏州 本题满分 8 分 如图 在 ABC 中 C 90 AC 8 BC 6 P 是 AB 边上的一 个动点 异于 A B 两点 过点 P 分别作 AC BC 边的垂线 垂足为 M N 设 AP x 1 在 ABC 中 AB 2 当 x 时 矩形 PMCN 的周长是 14 30 3 是否存在 x 的值 使得 PAM 的面积 PBN 的面积与矩形 PMCN 的面积同时相等 请说出你的 判断 并加以说明 1313 2010 安徽省中中考安徽省中中考 如图 已知 ABC 相似比为 且 ABC 的三边长分 111 CBAk1 k 别为 的三边长分别为 abccba 111 CBA 1 a 1 b 1 c 若 求证 1 ac kca 若 试给出符合条件的一对 ABC 和 使得 和 进都是正整数 1 ac 111 CBAabc 1 a 1 b 1 c 并加以说明 若 是否存在 ABC 和 1 ab 1 bc 使得 请说明理由 111 CBA2 k 31 14 2009 武汉 如图 1 在 Rt ABC 中 90BAC ADBC 于点D 点O是AC边上一点 连 接BO交AD于F OE BO 交BC边于点E 1 求证 ABFCOE 2 当O为AC边中点 2 AC AB 时 如图 2 求 OF OE 的值 3 当O为AC边中点 AC n AB 时 请直接写出 OF OE 的值 15 2009 年上海市 已知 ABC 90 AB 2 BC 3 AD BC P 为线段 BD 上的动点 点 Q 在射线 AB 上 且满足 如图 8 所示 AB AD PC PQ 1 当 AD 2 且点与点重合时 如图 9 所示 求线段的长 QBPC 2 在图 8 中 联结 当 且点在线段上