北京市东城区2013届高三数学上学期期末考试试题 理 新人教A版

1 东城区东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学高三数学 理科 理科 学校学校 班级班级 姓名姓名 考号考号 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考试 时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷 和答题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 本大题共一 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 要求的一项 1 设集合 则满足的集合 B 的个数是 1 2 A 1 2 3 AB A B C D 1348 答案 C 解析 因为 所以 所以共有 4 个 选 1 2 3 AB 3B 3 1 3 2 3 1 2 3 B C 2 已知是实数 是纯虚数 则等于 a i 1 i a a A B C D 1 122 答案 B 解析 因为是纯虚数 所以设 所以 i 1 i a i 0 1 i a bi bbR 1 aibiibbi 所以 选 B 1ab 3 已知为等差数列 其前项和为 若 则公差等于 n an n S 3 6a 3 12S d A B C D 1 5 3 23 答案 C 解析 因为 所以 解得 所使 3 6a 3 12S 131 3 3 3 6 12 22 aaa S 1 2a 用 解得 选 C 31 6222aadd 2d 2 4 执行如图所示的程序框图 输出的k的值为 A B C D 4567 答案 A 解析 第一次循环得 第二次循环得 第三次循 0 021 1Sk 1 123 2Sk 环得 第四次循环得 但此时 不满 3 3211 3Sk 11 1122059 4Sk 100S 足条件 输出 所以选 A 4k 5 若 是两个非零向量 则 是 的ab abab ab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 两边平方得 即 所以 abab 2222 22aa bbaa bb AA0a b A 所以 是 的充要条件选 C ab abab ab 6 已知 满足不等式组当时 目标函数的最大值的xy 0 0 24 x y xys yx 35s yxz23 变化范围是 A B C D 6 15 7 15 6 8 7 8 答案 D 3 解析 当时 对应的平面区域为阴影部分 由3s 得 平移直线由图象可知当直线经过点 C 时 直线yxz23 3 22 z yx 的截距最大 此时解得 即 代入 3 22 z yx 3 24 xy yx 1 2 x y 1 2 C 得 当时 对应的平面区域为阴影部分 ODE 由得yxz23 7z 5s yxz23 平移直线由图象可知当直线经过点 E 时 直线的截距最大 3 22 z yx 3 22 z yx 此时解得 即 代入得 所以目标函 0 24 x yx 0 4 x y 0 4 Eyxz23 8z 数的最大值的变化范围是 即 选 D yxz23 78z 7 8 7 已知抛物线 2 2ypx 的焦点F与双曲线的右焦点重合 抛物线的准线与 22 1 79 xy x轴的交点为K 点A在抛物线上且 2 AKAF 则 的面积为AFK A 4 B 8 C 16 D 32 答案 D 4 解析 双曲线的右焦点为 抛物线的焦点为 所以 即 所以 4 0 0 2 p 4 2 p 8p 抛物线方程为 焦点 准线方程 即 设 2 16yx 4 0 F4x 4 0 K 2 16 y Ay 过 A 做垂直于准线于 M 由抛物线的定义可知AM 所以 即 所以 整理AMAF 22AKAFAM AMMK 2 4 16 y y 得 即 所以 所以 2 16640yy 2 8 0y 8y 11 8 832 22 AFK SKF y 选 D 8 给出下列命题 在区间上 函数 中有三个 0 1 yx 1 2 yx 2 1 yx 3 yx 是增函数 若 则 若函数是奇函数 则log 3log 30 mn 01nm f x 的图象关于点对称 已知函数则方程 1 f x 1 0 A 2 3 3 2 log 1 2 x x f x xx 有个实数根 其中正确命题的个数为 1 2 f x 2 A B C D 1234 答案 C 解析 在区间 0 上 只有 1 2 yx 3 yx 是增函数 所以 错误 由 log 3log 30 mn 可得 33 11 0 loglogmn 即 33 loglog0nm 所以0 1nm 所以 正确 正确 当 2x 时 2 31 x 由 2 1 3 2 x 可知此时有一个实根 当 2x 时 由 3 1 log 1 2 x 得 13x 即 13x 所以 正确 所以正确命题的 5 个数为 3 个 选 C 第第 卷卷 共 110 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若 且 则 3 sin 5 tan0 cos 答案 4 5 解析 因为 所以为第三象限 所以 即 3 sin0 5 tan0 cos0 2 34 cos1 55 10 图中阴影部分的面积等于 答案 1 解析 根据积分应用可知所求面积为 1 23 1 0 0 31x dxx 11 已知圆 则圆心的坐标为 C 22 680 xyx C 若直线与圆相切 且切点在第四象限 则 ykx Ck 答案 3 0 2 4 解析 圆的标准方程为 所以圆心坐标为 半径为 1 要使直线 22 3 1xy 3 0 与圆相切 且切点在第四象限 所以有 圆心到直线的距离为ykx C0k 0kxy 即 所以 2 3 1 1 k k 2 1 8 k 2 4 k 12 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 6 答案 754 10 解析 由三视图可知 该几何体是底面是直角梯形的四棱柱 棱柱的高为 4 底面梯形的上底为 4 下底为 5 腰 所以梯形 2 3110CD 的面积为 梯形的周长为 所以四个侧面积 45 327 22 S 345101012 为 所以该几何体的表面积为 1012 44 1048 27 4 10482754 10 2 13 某种饮料分两次提价 提价方案有两种 方案甲 第一次提价 第二次提价 p q 方案乙 每次都提价 若 则提价多的方案是 2 pq 0pq 答案 乙 解析 设原价为 1 则提价后的价格 方案甲 乙 因 1 1 pq 2 1 2 pq 为 因为 所以 1 1 1 1 1 222 pqpq pq 0pq 即 所以提价多的方 1 1 1 2 pq pq 2 1 1 1 2 pq pq 案是乙 14 定义映射 其中 已知对所有的有序正整 fAB Am n m n RB R 数对满足下述条件 m n 若 1 1f m nm 0f m n 1 1 f mnn f m nf m n 则 2 2 f 2 f n 答案 222 n 解析 根据定义得 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 12fffff 7 3 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 622ffff 4 4 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 6 1 1422ffff 所以根据归纳推理可 5 5 2 4 1 2 2 4 2 4 1 2 14 1 3022ffff 知 2 22 n f n 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 2 3sin coscosf xxxxa 求的最小正周期及单调递减区间 f x 若在区间上的最大值与最小值的和为 求的值 f x 6 3 3 2 a 16 本小题共 13 分 已知为等比数列 其前项和为 且 n an n S2n n Sa n N 求的值及数列的通项公式 a n a 若 求数列的前项和 21 nn bna n bn n T 17 本小题共 14 分 如图 在菱形中 是的中点 平面 ABCD60DAB EABMAABCD 且在矩形中 ADNM 2AD 3 7 7 AM 求证 ACBN 求证 平面 ANMEC 求二面角的大小 MECD 18 本小题共 13 分 AB C D E N M 8 已知 函数 a R ln1 a f xx x 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 求在区间上的最小值 f x 0 e 19 本小题共 13 分 在平面直角坐标系中 动点到两点 的距离之和等于 设xOyP 3 0 3 0 4 点的轨迹为曲线 直线 过点 且与曲线交于 两点 PCl 1 0 E CAB 求曲线的轨迹方程 C 是否存在 面积的最大值 若存在 求出 的面积 若不存在 说明理AOBAOB 由 20 本小题共 14 分 已知实数组成的数组满足条件 123 n x x xx 1 0 n i i x 1 1 n i i x 当时 求 的值 2n 1 x 2 x 当时 求证 3n 123 321xxx 设 且 123n aaaa 1n aa 2 n 求证 1 1 1 2 n iin i a xaa 9 东城区东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 理科 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 C 2 B 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 11 4 5 1 3 0 2 4 12 13 乙 14 754 10 222 n 注 两个空的填空题第一个空填对得 3 分 第二个空填对得 2 分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 31 cos2 sin2 22 x f xxa 3 分 1 sin 2 62 xa 所以 4 分T 由 3 222 262 kxk 得 2 63 kxk 故函数的单调递减区间是 7 分 f x 2 63 kk k Z 因为 63 x 所以 5 2 666 x 所以 10 分 1 sin 2 1 26 x 因为函数在上的最大值与最小值的和 f x 6 3 1113 1 2222 aa 所以 13 分0a 16 共 13 分 解 当时 1 分1n 11 2Saa 当时 3 分2n 1 1 2n nnn aSS 因为是等比数列 n a 10 所以 即 5 分 1 1 1 221aa 1 1a 1a 所以数列的通项公式为 6 分 n a 1 2n n a n N 由 得 1 21 21 2n nn bnan 则 231 1 1 3 25 27 2 21 2n n Tn 231 21 23 25 2 23 2 21 2 nn n Tnn 得 9 分 21 1 12 22 22 2 21 2 nn n Tn 21 12 222 21 2 nn n 1 14 21 21 2 nn n 12 分 23 23 n n 所以 13 分 23 23 n n Tn 17 共 14 分 解 连结 则 BDACBD 由已知平面 DN ABCD 因为 DNDBD 所以平面 2 分AC NDB 又因为平面 BN NDB 所以 4 分ACBN 与交于 连结 CMBNFEF 由已知可得四边形是平行四边形 BCNM 所以是的中点 FBN 因为是的中点 EAB 所以 7 分 ANEF 又平面 EF MEC 平面 AN MEC 所以平面 9 分 ANMEC 由于四边形是菱形 是的中点 可得 ABCDEABDEAB 如图建立空间直角坐标系 则 Dxyz 0 0 0 D 3 0 0 E 0 2 0 C 3 7 3 1 7 M 10 分 3 2 0 CE 3 7 0 1 7 EM F AB C D E N M y x z 11 设平面的法向量为 MEC x y z n 则 0 0 CE EM n n 所以 320 3 7 0 7 xy yz 令 2x 所以 12 分 21 2 3 3 n 又平面的法向量 ADE 0 0 1 m 所以 1 cos 2 m n m n m n 所以二面角的大小是 60 14 分MECD 18 共 13 分 解 当时 1a 1 ln1f xx x 0 x 所以 2 分 22 111 x fx xxx 0 x 因此 1 2 4 f 即曲线在点处的切线斜率为 4 分 xfy 2 2 f 1 4 又 1 2 ln2 2 f 所以曲线在点处的切线方程为 xfy 2 2 f 11 ln2 2 24 yx 即 6 分44ln240 xy 因为 所以 ln1 a f xx x 22 1 axa fx xxx 令 得 8 分 0fx xa 若 则 在区间上单调递增 此时函数无最小值 a 0 0fx f x 0 e f x 若 当时 函数在区间上单调递减 0ea 0 xa 0fx f x 0 a 当时 函数在区间上单调递增 exa 0fx f x ea 所以当时 函数取得最小值 10 分xa f xlna 12 若 则当时 函数在区间上单调递减 ea 0 ex 0fx f x 0 e 所以当时 函数取得最小值 12 分ex f x e a 综上可知 当时 函数在区间上无最小值 a 0 f x 0 e 当时 函数在区间上的最小值为 0ea f x 0 elna 当时 函数在区间上的最小值为 13 分ea f x 0 e e a 19 共 13 分 解 由椭圆定义可知 点的轨迹C是以 为焦点 长半轴长为 P 3 0 3 0 2 的椭圆 3 分 故曲线的方程为 5 分C 2 2 1 4 x y 存在 面积的最大值 6 分AOB 因为直线 过点 可设直线 的方程为 或 舍 l 1 0 E l1xmy 0y 则 2 2 1 4 1 x y xmy 整理得 7 分 22 4 230mymy 由 22 2 12 4 0mm 设 1122 A xyB xy 解得 2 1 2 23 4 mm y m