九年级数学下册 开放性探究性试题及解题策略素材 人教新课标版

用心 爱心 专心1 D B C A 初中数学开放性探究性试题及解题策略初中数学开放性探究性试题及解题策略 随着基础教育课程改革和素质教育的全面推进 近几年在初中数学教学中和各省 市的中考题中 出现了一批符合学生年龄特点和认知水平 设计优美 个性独特的开放题 开放题打破传统模式 构思 新颖 使人耳目一新 数学开放题被认为是当前培养创新意识 创造能力的最富有价值的数学问题 加 大数学开放题在中考命题中的力度 是应试教育向素质教育转轨的重要体现 对发挥学生主体性方面确 实具有得天独厚的优势 是培养学生主体意识的极好材料 一 数学开放题的概述 1 关于数学开放题的几种论述 什么是数学开放题 现在还没有统一的认识 主要有如下的论述 1 答案不固定或者条件不完备 的习题 我们称为开放题 2 开放题是条件多余需选择 条件不足需补充或答案不固定的题 3 有多处正确答案的问题是开放题 这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会 在解题过程中 学生可以把自己的知识 技能以各种方式结合 学生可以把自己的知识 技能以各种方式结合 去发现 新的思想方法 4 答案不唯一的问题是开放性的问题 5 具有多种不同的解法 或有多种可能的 解答的问题 称之为开放题 6 问题不必有解 答案不必唯一 条件可以多余 称之为开放题 数学开放题 通俗地说就是给学生以较大认知空间的题目 一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何 例如 对 n 个人两两握手共 握多少次的问题 在学生学习 组合 知识以前解法很多 是一个开放题 在学习组合知识之后则是一 个封闭题 2 数学开放题的基本类型 大概包括以下几种 1 条件开放型这类问题一般是由给定的结论 反思 探索应具备 的条件 而满足结论的条件并不唯一 例 1 如图 1 要得到 AD BC 只需满足条件 只填一个 再如 如图 2 AB DB 1 2 请你添加一个适当的条件 使 ABC DBE 则需添加的条件是 2 结论开放型 这类题目就是在给定的条件下 探索响应的对象是否存在 它有结论存在和结论不存在两种情况 其基本解题方法是 假设存在 演绎推理 得出结论 从而对是否存在做出准确的判断 例 2 如图 O 的直径 AB 为 6 P 为 AB 上一点 过点 P 作 O 的弦 CD 连结 AC BC 设 BCD m ACD 是否存在正实数 m 使弦 CD 最短 如果存在 请求出 m 的值 如 果不存在请说明理由 简析 假设存在正实数 m 使弦 CD 最短 则有 CD AB 于 P 从而 cos POD OP OD 因为 AB 6 所以 cos POD 30 于是 ACD 15 BCD 75 故 m 5 3 简略开放型 例 3 计算 学生可能出现以下几种方法 11111 26122030 方法 1 直接通分 相加后再约分 方法 2 原式 1111115 60 26122030606 方法 3 原式 11111111115 1 1 22334455666 方法 1 是常规方法 方法 2 体现的是一种化归思想 但也不简单 方法 3 转化为一些互为相反数的 和来计算 显然新颖 简便 此外 设计开放型 举例开放型 实践开放型 信息开放型 限于篇幅不举例子 还有综合开放型 情境开放型 等 这些开放题的条件 问题变化不定 有的条件隐蔽多余 有的结论多样 有的解法 A D C E B 1 2 图 2 E A D B C 图 1 用心 爱心 专心2 x y 1 3 x O 1 D O A F B C O A D E B C F 丰富等 二 开放题具有不同于封闭题的显著特点 1 数学开放题内容具有新颖性 条件复杂 结论不定 解法灵活 无现成模式可套用 题材广泛 贴近学生实际生活 不像封闭性题型那样简单 靠记忆 套模式来解题 2 数学开放题形式具有多样性 生动性 有的追溯多种条件 有的追溯多种条件 有的探求多种 结论 有的寻找多种解法 有的由变求变 体现现代数学气息 不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板 的叙述 3 数学开放题解决具有发散性 由于开放题的答案不唯一 解题时需要运用多种思维方法 通过 多角度的观察 想像 分析 综合 类比 归纳 概括等思维方法 同时探求多个解决方向 4 数学开放题教育功能具有创新性 正是因为它的这种先进而高效的教育功能 适应了当前各国 人才竞争的要求 三 开放探索性试题备考策略 一 数与式的开放题 此类题常以找规律的阅读题形式出现 解题要求能善于观察分析 归纳所提供的材料 猜想其结论 例题 观察下列等式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映出自然数间的某种规律 设 n 表示自然数 用关于 n 的等式表示出来 策略小结 此类 猜想性 开放题要求能够从所给条件出发 通过观察 试验 分析 归纳 比较 概括 猜想 探索出一般规律 解题的关键在于正确的归纳和猜想 二 方程开放题 此类问题主要以方程知识为背景 探索方程有解的条件或某种条件解的情况 求字母参数的值 例题 是否存在 k 使关于 x 的方程 9x2 4k 7 x 6k2 0 的两个实数根 x1 x2 满足 x1 x2 10 如 果存在 试求出所有满足条件的 k 的值 若不存在 说明理由 策略小结 此类 存在性 开放题 其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在 再依据有关 知识推理 要么得到下面结果 肯定存在性 要么导出矛盾 否定存在性 三 函数开放题 此类题是以函数知识为背景 设置探索函数解析式中字母系数的值及关系 满足某条件的点的存在 性等 例题 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像如图所示 问由此图像中所 显示的抛物线的特征 可以得到二次函数的系数 a b c 的哪些关系和结论 分析 a 0 即 2a 3b 0 c 1 1 23 b a 策略小结 此类 图像信息 开放题 只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特 征 灵活运用函数性质 才能找出所有的关系与结论 数形结合是解此 类题的重要数学思想方法 四 几何开放题 此类问题常以几何图形为背景 设置探索几何量间的关系或点 线位置关系 例题 如图 1 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 A 是弧 BD 的中点 过 A 点的切线与 CB 的延长线交于点 E 1 求证 AB DA CD BE 2 若点 E 在 CB 延长线上运动 点 A 在弧 BD 上运动 使切线 EA 变为割线 EFA 其他条件不变 问具备 什么条件使原结论成立 要求画出示意图 2 注明条件 不要求证明 分析 此题第 2 小题是一道条件探索性问题 其解法是 执果索因 要得到 AB DA CD BE 即 要得 ABE CDA 已有条件 ABE CDA 还需增加条件 BAE ACD 或 BF AD 或 BF DA 或 FA BD 或 BCF ACD 等 用心 爱心 专心3 策略小结 此类探索性试题 解答一般方法是 执果索因 能画出图形要尽量画出图形 再结合图 形逆向推导探索出需要增加的条件 为探索结论 可以作辅助线 对于结论未定的问题 也可反面思考 寻求否定结论的反例 达到目的 五 综合性开放题 此类问题是以几何 代数综合知识为背景 考查分析 推理能力 综合运用知识解题能力 例题 如图 在 ABC 中 AB BC 2 高 BE 3 在 BC 边的延长线上取一点 D 使 CD 3 1 现有一动点 P 由 A 沿 AB 移动 设 AP t S PCD S 求 S 与 t 之间的关系式及自变量的取值范围 2 在 1 的条件下 当 t 时 过点 C 作 CH PD 垂足为 H 求证 关于 x 的二次函数 y x 2 10k x 2k 的图像与 x 轴的两个交点关于原点对称 3 在 1 的条件下 是否存在正实数 t 使 PD 边上的高 CH CD 如果存在 请求出 t 的值 如果不 存在 请说明理由 分析 1 2 略 4 假设存在实数根 t 使得 CH CD 则 CDH 30 可推得 BPD 90 则 BP BD 2 5 AB 这与 P 在 AB 边上矛盾 故这样的 P 点不存在 策略小结 此类综合性开放题 需要学生综合题设条件 通过观察 比较 联想 猜测 推理 判 断等探索活动逐步得到结论 有时需分析运动变化过程 寻找变化中的特殊位置 即 动 中求 静 一般 中见 特殊 再探求特殊位置下应满足的条件 利用分类讨论思想 各个击破 常见的开放题举例 例 1 在多项式 4x2 1 中添加一个条件 使其成为一个完全平方式 则添加的单项式是 只写 出一个即可 分析 要使多项式 4x2 1 成为一个完全平方式 可添加一次项 也可添加二次项 还可添加常数项 解 1 添加 4x 可得完全平方式 2x 1 2 2 添加 4x 可得完全平方式 2x 1 2 3 添加 1 可得完全平方式 2x 2 4 添加 4x2可得完全平方式 12 例 2 已知反比例函数 其图象在第一 第三象限内 则 k 的值可为 写出满足 2k y x 条件的一个 k 的值即可 分析 对于反比例函数 是常数 0 当它的图象在第一 k y x kk 第三象限时有 0 所以本题中应该是 2 0 即 2 kkk 解 2 0 2 即只要的值大于 2 就可以满足题目要求 kkk 例 3 已知 ABC 内接于 O 过点 A 作直线 EF 如图 AB 为直径 要使得 EF 是 O 的切线 还需添加的条件是 只须写出三种情况 1 2 3 分析 根据题目所给条件 要使得 EF 是 O 的切线 关键是找到 AB EF 的条件 即可解决问题 解 1 CAE B 2 AB EF 3 BAC CAE 90 4 C FAB 5 EAB BAF 例 4 已知一元二次方程有一个根为 1 那么这个方程可以是 只需写出一个方程 分析 如果一元二次方程有解 则有两个解 题目给出方程有一个根为 1 我们可以将此一元二次 方程写成 x 1 x a 0 的形式 则问题可以解决 例 5 有这样一个分式 字母 x 的取值范围是 x 2 若分子为 x 1 你能写出一个符合上面条件的分式 吗 分析 由题目给出的已知条件 x 2 知此分式分母中 x 的取值不能为 2 否则分式会无意义 解 满足条件的分式可以是 1 2 x x 1 2 x xk 教材例习题改编与开放探索试题举例 用心 爱心 专心4 1 八年级 四边形 一章曾有一道经典题 多年来多次被各个省市搬上中考试卷 关于它的变式也相当 的多 题目是这样的 两个相同的正方形如图叠合 其边长为 4 请问阴影部分的面积为多少 2 九年级教材 已知 如图 AB 为 O 直径 C D 是半圆弧上的两点 E 是 AB 上除 O 外的一点 AC 与 DE 交于点 F AD CD DE AB AF DF 1 写出以 中的任意两个条件 推出第三个 结论 的一个正确命题 并加以证明 2 以 中的任意两个为条件 推出第三个 结论 的一个正确命题 并加以证明 答案 可以组成 3 组正确的命题 即若 则 若 则 若 则 3 典型范例重开放 体现师生解题智慧 例如基本题 如图 AB 是 O 的直径 点 D 在 AB 的延长线上 BD OB 点 C 在 O 上 CAB 30 求证 DC 是 O 的切线 探究 1 如图 已知弦 AB 与半径相等 连接 OB 并延长使 BC OB 1 问 AC 是 O 有什么关系 并证明你的结论 2 请你在 O 上找出一点 D 使 AD AC 自己完成作图 并证明你的结论 探究 2 如图 O 的直径 AB 6cm P 是 AB 的延长线上的一点 过 P 点 作 O 的切线 切点为 C 连接 AC 1 若 CPA 30 求 PC 的长 2 若点 P 在 AB 的延长线上运动 CPA 平分线交 AC 于点 M 你认为 CMP 的大小是否发生变化 若变化 请说明理由 若不变 求出 CMP 的值 探究 3 求阴影部分的面积 探