2019年高考数学一轮复习：正态分布

2019 年高考数学一轮复习 正态分布年高考数学一轮复习 正态分布 正态分布正态分布 1 正态曲线的性质 1 正态曲线的定义 函数 x x 其中实数 1 2 2 2 2 e x 和 0 为参数 我们称 x 的图象 如图 为 正态分布密度曲线 简称 2 正态曲线的性质 曲线位于 x 轴 与 x 轴不相交 曲线是单峰的 它关于直线 对称 曲线在 x 处达到峰值 曲线与 x 轴之间的面积为 当 一定时 曲线的位置由 确定 曲线随着 的变化而沿 x 轴平移 如图甲所示 当 一定时 曲线的形状由 确定 越 曲线越 瘦高 表示总体的分布越集 中 越 曲线越 矮胖 表示总体的分 布越分散 如图乙所示 2 正态分布的定义与简单计算 1 正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a b a b 随机变量 X 满足 P a X b 则称随机变量 X 服从正态 分布 记作 2 正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P X 0 682 6 P 2 X 2 0 954 4 P 3 X 3 0 997 4 可以看到 正态总体几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只 有 0 002 6 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可 能发生 在实际应用中 通常认为服从于正态分布 N 2 的随机变量 X 只取 3 3 之间的 值 并简称之为 3 原则 自查自纠自查自纠 1 1 正态曲线 2 上方 x 1 1 2 小 大 2 1 x dx X N 2 b a 2015 湖北 设 X N 1 Y N 2 2 12 2 这两个正态分布密度曲线如图所示 下列结论中正确 的是 A P Y 2 P Y 1 B P X 2 P X 1 C 对任意正数 t P X t P Y t D 对任意正数 t P X t P Y t 解 由正态密度曲线的性质可知 X N 1 2 1 Y N 2 的密度曲线分别关于直线 x 1 x 2 2 2 对称 因此结合所给图象可得 1 2 所以 P Y 2 P Y 1 A 错误 又 X N 1 的密度曲线较 2 1 Y N 2 的密度曲线 瘦高 所以 0 1P X 1 B 错误 对任意正数 t P X t P Y t P X t P Y t C 正确 D 错误 故选 C 2017 惠州二调 已知随机变量 服从正态分布 N 1 1 若 P 3 0 977 则 P 1 3 A 0 683 B 0 853 C 0 954 D 0 977 解 因为已知随机变量 服从正态分布 N 1 1 所以正态曲线关于直线 x 1 对称 又 P 3 1 0 977 0 023 所以 P 1 3 1 P 3 1 2P 3 1 0 046 0 954 故选 C 2015 湖南 在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点 则落入阴影部分 曲线 C 为正态分布 N 0 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为 A 2 386 B 2 718 C 3 413 D 4 772 附 若X N 2 则P X 0 682 6 P 2 X 2 0 954 4 解 P 0 X 1 P 1 X2 解 P 2 0 3 故填 1 P 2 2 2 0 3 2016 青岛模拟 某班有 50 名同学 一次数学 考试的成绩 服从正态分布 N 110 102 已知 P 100 110 0 34 估计该班学生数学成绩在 120 分以上的有 人 解 数学成绩 的正态曲线关于直线 x 110 对 称 因为 P 100 110 0 34 所以 P 120 P 100 1 0 34 2 0 16 数学成绩在 1 2 120 分以上的人数为 0 16 50 8 故填 8 类型一类型一 正态分布的概念与性质正态分布的概念与性质 已知三个正态分布密度函数 i x x R i 1 2 3 的图象如图所 1 2 i 2 2 2 e i i x 示 则 A 1 2 3 1 2 3 B 1 2 3 1 2 3 C 1 2 3 1 2 3 D 1 2 3 1 2 3 解 由正态曲线关于直线 x 对称 知 1 2 3 的大小决定曲线的形状 越大 总 体分布越分散 曲线越矮胖 越小 总体分布越集 中 曲线越瘦高 则 1 2 3 实际上 由 1 1 2 2 3 3 则 1 2 1 1 2 2 1 2 3 即 1 2 3 故选 D 点拨 正态曲线的性质 详见 考点梳理 大 都可由 x 的解析式推知 如 一定 当 x 且 x 增大时 x 2减小 增大 增 x 2 2 2 2 2 2 e x 大 x 在 x 左侧单调递增 其他类似可得 某市期末教学质量检测 甲 乙 丙三 科考试成绩近似服从正态分布 则由如图曲线可得下 列说法中正确的是 A 甲学科总体的方差最小 B 丙学科总体的均值最小 C 乙学科总体的方差最小 D 甲 乙 丙的总体的均值不相同 解 由图象可知三个图象的对称轴相同 即三学 科的均值相同 甲学科成绩的正态分布图象最瘦高 说明甲学科成绩最集中 方差最小 故选 A 类型二类型二 正态分布的计算问题正态分布的计算问题 2017 石家庄模拟 设 X N 1 2 其 正态分布密度曲线如图所示 且 P X 3 0 022 8 那么向正方形 OABC 中随机投掷 20 000 个点 则落 入阴影部分的点的个数的估计值为 附 随机变量 服从正态分布 N 2 则 P 0 682 6 P 2 2 0 954 4 A 12 076 B 13 174 C 14 056 D 7 539 解 由题意得 P X 1 P X 3 0 022 8 所以 P 1 X 3 1 0 022 8 2 0 954 4 因为 P 2 2 0 954 4 所以 1 2 1 故 1 所以 P 0 X 1 P 0 X 2 0 341 3 1 2 故估计落入阴影部分的点的个数为 20 000 1 0 341 3 13 174 故选 B 点拨 正态分布计算的关键是在充分利用正态 曲线的对称性 随机模拟的关键是计算面积 长度 体积 设 X N 1 22 试求 1 P 1 X 3 2 P 3 X 5 3 P X 5 解 因为 X N 1 22 所以 1 2 1 P 1 X 3 P 1 2 X 1 2 P X 0 682 6 2 因为 P 3 X 5 P 3 X 1 所以 P 3 X 5 P 3 X 5 P 1 X 3 1 2 P 1 4 X 1 4 P 1 2 X 1 2 1 2 P 2 X 2 P X 1 2 0 954 4 0 682 6 0 135 9 1 2 3 因为 P X 5 P X 3 所以 P X 5 1 P 3 X 5 1 2 1 P 1 4 X 1 4 1 2 1 P 2 X 2 1 2 1 0 954 4 0 022 8 1 2 类型三类型三 正态分布的实际应用正态分布的实际应用 2017 全国卷 为了监控某种零件的一条 生产线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽 取 16 个零件 并测量其尺寸 单位 cm 根据长期 生产经验 可以认为这条生产线正常状态下生产的零 件的尺寸服从正态分布 N 2 1 假设生产状态正常 记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 3 3 之外的零件数 求 P X 1 及 X 的数学期望 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 3 3 之外的零件 就认为这条生产线在这 一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生 产过程进行检查 试说明上述监控生产过程方法的合理性 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺 寸 9 9510 129 969 9610 019 929 9810 04 10 269 9110 1310 029 2210 0410 059 95 经计算得Error i 9 97 s 1 16 16 i 1 x 0 212 其中 xi为抽取的第 i 个 1 16 16 i 1 xi x 2 零件的尺寸 i 1 2 16 用样本平均数 x 作为 的估计值 用样本标准 差 s 作为 的估计值 利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查 剔除 3 3 之 外的数据 用剩下的数据估计 和 精确到 0 01 附 若随机变量 Z 服从正态分布 N 2 则 P 3 Z 3 0 997 4 0 997 416 0 959 2 0 09 0 008 解 1 抽取一个零件的尺寸在 3 3 之内的概率为 0 997 4 从而零件的尺寸在 3 3 之外的概率为 0 002 6 故 X B 16 0 002 6 因此 P X 1 1 P X 0 1 0 997 416 0 040 8 X 的数学期望为 E X 16 0 002 6 0 041 6 2 如果生产状态正常 一个零件尺寸在 3 3 之外的概率只有 0 002 6 一天内抽 取的 16 个零件中 出现尺寸在 3 3 之外 的零件的概率只有 0 040 8 发生的概率很小 因此一 旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过 程进行检查 可见上述监控生产过程的方法是合理 的 由Error 9 97 s 0 212 得 的估计值为 9 97 的估计值为 0 212 由样本数据可以看 出有一个零件的尺寸在 3 3 之外 因此需 对当天的生产过程进行检查 剔除 3 3 之外的数据 9 22 剩下 数据的平均数为 16 9 97 9 22 10 02 1 15 因此 的估计值为 10 02 16 0 2122 16 9 972 1 591 134 16 i 1 x 2i 剔除 3 3 之外的数据 9 22 剩下 数据的样本方差为 1 591 134 9 222 15 10 022 1 15 0 008 因此 的估计值为 0 09 0 008 点拨 解决正态分布问题有三个关键点 1 对 称轴 X 2 标准差 3 分布区间 利用对称性 可求指定范围内的概率值 由 分布区间的特 征进行转化 使分布区间转化为 3 特殊区间 从而 求出所求概率 注意只有在标准正态分布下对称轴才 为 x 0 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下 频率分布直方图 1 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 Error 和样本方差 s2 同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表 2 由直方图可以认为 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N 2 其中 近似为样本平均数 Error 2近似为样本方差 s2 利用该正态分布 求 P 187 8 Z 212 2 某用户从该企业购买了 100 件这种产品 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 187 8 212 2 的产品件数 利用 的结果 求 E X 附 12 2 150 若 Z N 2 则 P Z 0 682 6 P 2 Z 2 0 954 4 解 1 抽取产品的质量指标值的样本平均数 Error 和样本方差 s2分别为 Error 170 0 02 180 0 09 190 0 22 200 0 33 210 0 24 220 0 08 230 0 02 200 s2 30 2 0 02 20 2 0 09 10 2 0 22 0 0 33 102 0 24 202 0 08 302 0 02 150 2 由 1 知 Z N 200 150 从而 P 187 8 Z 212 2 P 200 12 2 Z 200 12 2 0 682 6 由 知 一件产品的质量指标值位于区间 187 8 212 2 的概率为 0 682 6 依题意知 X B 100 0 682 6 所以 E X 100 0 682 6 68 26 1 正态曲线的性质特点可用来求其数学期望 和标准差 正态曲线是单峰的 它关于直线 x 对 称 据此结合图象可求 正态曲线在 x 处达到峰 值 据此结合图象可求 1 2 2 能熟练应用正态曲线的对称性解题 并注意 以下几点 1 正态曲线与 x 轴之间的面积为 1 2 正态曲线关于直线 x 对称 从而在关于 x 对称的区间上概率相等 3 几个常用公式 P X a 1 P X a P X0 则 P X b 1 P b 0 和 N 2 2 1 2 0 的密度函数分别为 1 x 和 2 x 其图象如图 2 2 所示 则有 A 1 2 1 2 B 1 2 C 1 2 1 2 1 2 解 f x e中 x 是对称轴 故 1 2 x 2 2 2 1 2 越大 曲线越 矮胖 越小曲线越 高 瘦 故 1 2 故选 A 2 2016 郑州调研 已知随机变量 服从正态分 布 N 2 2 且 P 4 0 8 则 P 0 4 A 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 解 由 P 4 0 8 得 P 4 0 2 又正态曲线关于 x 2 对称 则 P 0 P 4 0 2 所以 P 0 a 1 则实 数 a 等于 A 4 B 5 C 6 D 7 解 根据对称性有 4 得 a 6 故选 a 5 a 1 2 C 4 2016 新余二模 在如图所示的正方形中随机 投掷 10 000 个点 则落入阴影部分 曲线 C 为正态分 布 N 2 1 的密度曲线 的点的个数的估计值为 附 若 X N 2 则 P X 0 682 6 P 2 X 2 0 954 4 P 3 X 3 0 997 4 A 430 B 215 C 2 718 D 1 359 解 因为 2 1 所以 P 4 X 0 0 954 4 P 5 X 1 0 997 4 所以阴影部分 P 0 X 1 0 021 5 故落入阴影 0 997 4 0 954 4 2 部分的点的个数约为 10 000 0 021 5 215 故选 B 5 2016 南昌模拟 在正态分布 N中 正 0 1 9 态总体在 1 1 内取值的概率为 A 0 097 B 0 046 C 0 03 D 0 002 6 解 因为 0 所以 P X1 1 3 1 P 1 X 1 1 P 3 X 3 1 0 997 4 0 002 6 故选 D 6 给出下列函数 其中 0 f x e 1 2 x 2 2 2 f x e 1 2 x 2 4 f x e 1 2 2 x2 4 f x e x 2 1 则可以作为正态分布密度函数的个数有 A 1 B 2 C 3 D 4 解 对于 f x e 由于 1 2 x 2 2 2 所以 故它可 以作为正态分布密度函数 对于 若 1 则应为 f x e 若 1 2 x 2 2 则应为 f x e 均与所给函 2 1 2 2 x 2 4 数不相符 故它不能作为正态分布密度函数 对于 它就是当 0 时的正态分布 2 密度函数 对于 它是当 时的正态分布密度函数 2 2 所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函 数 故选 C 7 2017 广州模拟 按照国家规定 某种大米质 量 单位 kg 必须服从正态分布 N 10 2 根据 检测结果可知 P 9 9 10 1 0 96 某公司为每位 职工购买一袋这种包装的大米作为福利 若该公司有 2000 名职工 则分发到的大米质量在 9 9 kg 以下的 职工数大约为 解 由题意得 P 10 1 0 02 从而分发到的大米 1 P 9 9 10 1 2 质量在 9 9 kg 以下的职工数大约为 0 02 2000 40 人 故填 40 8 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而 成 元件 1 或元件 2 正常工作 且元件 3 正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布 N 1 000 502 且各个元件能 否正常工作相互独立 那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 解 由于三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布 N 1 000 502 所以每个元件使用寿 命超过 1 000 小时的概率 P X 1 000 所以该部件 1 2 的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P 故填 1 1 2 1 2 1 2 3 8 3 3 8 8 9 已知某种零件的尺寸 单位 mm 服从正态 分布 其正态曲线在区间 0 80 上是增函数 在区间 80 上是减函数 且 f 80 1 8 2 1 求正态分布密度函数的解析式 2 估计尺寸在 72mm 88mm 间的零件大约占总 数的百分之几 解 1 由于正态曲线在区间 0 80 上是增函数 在区间 80 上是减函数 所以正态曲线关于直 线 x 80 对称 且在 x 80 处取得最大值 因此得 80 所以 8 1 2 1 8 2 故正态分布密度函数的解析式是 x e 1 8 2 x 8 2 128 2 由 80 8 得 80 8 72 80 8 88 所以零件尺寸位于区间 72 88 内的概率是0 682 6 因此尺寸在 72mm 88mm 间的零件大约占总数 的 68 26 10 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生 的成绩近似服从正态分布 N 60 100 已知成绩在 90 分以上 含 90 分 的学生有 13 人 1 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人 2 若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生 问 受奖学生分数线是多少 解 1 设学生的成绩为 X 共有 n 人参加竞赛 因为 X N 60 100 所以 60 10 所以 P X 90 1 P 30 X 90 1 0 997 4 1 2 1 2 0 001 3 又 P X 90 所以 0 001 3 13 n 13 n 所以 n 10 000 2 设受奖学生的分数线为 x0 则 P X x0 0 022 8 228 10 000 因为 0 022 860 所以 P 120 x0 X x0 1 2P X x0 0 954 4 所以 x0 60 20 80 故受奖学生的分数线是 80 分 11 2017 四川广元三诊 质监部门从某超市销售 的甲 乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检测某 项质量指标 由检测结果得到如下的频率分布直方图 1 写出频率分布直方图 甲 中 a 的值 记甲 乙 两种食用油 100 桶样本的质量指标的方差分别为 S S 试比较 S S 的大小 只要求写出答案 2 12 22 12 2 2 估计在甲 乙两种食用油中随机抽取 1 捅 恰 有一桶的质量指标大于 20 的概率 3 由频率分布直方图可以认为 乙种食用油的质 量指标值 Z 服从正态分布 N 2 其中 近似为 样本平均数 x 2近似为样本方差 S 设 X 表示从 2 2 乙种食用油中随机抽取 10 桶 其质量指标值位于 14 55 38 45 的桶数 求 X 的数学期望 注 同一组数据用该区间的中点值作代表 计 算得 S2 11 95 142 75 若 Z N 2 则 P Z 0 682 6 P 2 ZS 2 12 2 2 设事件 A 在甲种食用油中随机抽取 1 桶 其 质量指标不大于 20 事件 B 在乙种食用油中随机抽取 1 桶 其质量 指标不大于 20 事件 C 在甲 乙两种食用油中随机抽取 1 桶 恰有一桶的质量指标不大于 20 且另一桶大于 20 则 P A 0 20 0 10 0 3 P B 0 10 0 20 0 3 所以 P C P Error P B P A P Error 0 42 3 计算得 Error 26 5 由条件得 Z N 26 5 142 75 从而 P 26 5 11 95 Z 26 5 11 95 0 682 6 所以从乙种食用油中随机抽取 10 桶 其质量指 标值位于 1