线性代数公式手册

目目 录录 线性代数 1 一 行列式 1 二 矩阵 2 三 向量 5 四 线性方程组 8 五 矩阵的特征值和特征向量 10 六 二次型 11 1 线性代数线性代数 一一 行列式行列式 考试内容考试内容对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 行列式的行列式的 概念和基概念和基 本性质 本性质 行列式按行列式按 行 列 行 列 展开定理展开定理 行列式按行 列 展开定理 1 1122 0 ijn nijijinjn A ij Aaa Aa Aa A ij 设则 或 1122 0 ijijninj A ij a Aa Aa A ij 即 其中 AAA AA E 11211 12222 12 n T njiij nnnn AAA AAAAAA AAA 2 设为阶方阵 则 A BnABA BB ABA 但不一定成立ABAB 3 n kAkAAn 为阶方阵 4 111 2 Tn AnAAAAAAAn 设为阶方阵 则 若可逆 5 AOACAO ABA B OBOBCB 为方阵 2 但1 m mmn n n OA AB BO 6 范德蒙行列式 12 1 111 12 111 n nij j i n nnn n xxx Dxx xxx 设 A 是 n 阶方阵 是 A 的 n 个特征值 则 1 2 i in 1 n i i A 二二 矩阵矩阵 考试内容考试内容对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 矩阵的概矩阵的概 念 矩阵念 矩阵 的线性运的线性运 算 矩阵算 矩阵 的乘法 的乘法 矩阵 称 ij mnamn 个数排成行列的表格 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 为矩阵 简记为则称是阶矩阵或 ijm n Aamn 或若 An 阶方阵 n 矩阵的线性运算 1 矩阵的加法 设是两个矩阵 则 ijij AaBb mn mn 矩阵称为矩阵 与的和 记为 ijijij Ccab AB 3 ABC 2 矩阵的数乘 设是矩阵 是一个常数 则 ij Aa mn k 矩阵称为数与矩阵的数乘 记为 mn ij kakAkA 3 矩阵的乘法 设是矩阵 是矩 ij Aa mn ij Bb ns 阵 那么矩阵 其中ms ij Cc 称为的乘 1 122 1 n ijijijinnjikkj k ca ba ba ba b AB与的乘积 积 记为CAB 方阵的幂 方阵的幂 方阵乘积方阵乘积 的行列式 的行列式 矩阵的转矩阵的转 置 逆矩置 逆矩 阵的概念阵的概念 和性质 和性质 矩阵可逆矩阵可逆 的充要条的充要条 件 伴随件 伴随 矩阵 矩阵 1三者之间的关系三者之间的关系 1 T AAA 1 TTTTTTTTTT AA ABB AkAkAABAB 但 1111111 1 2 AA ABB AkAA k 不一定成立 111 ABAB 2 3 3 n AAA n ABBA 但不一定成立 1 2 n kAkAn ABAB 1111 4 TTTT AAAAAA 2 有关有关 A 的结论的结论 1 AAA AA E 112 2 2 3 nnn AAnkAkAAAA n 4 3 若可逆 则A 1 1 AA AAA A 4 若为阶方阵 则An 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 3 有关有关的结论的结论 1 A 0 0 AABEAr An A AAx 可逆 可以表示为初等矩阵的乘积 无零特征值 只有零解 矩阵的初矩阵的初 等变换 等变换 初等矩阵 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的秩 矩阵等价 矩阵等价 分块矩阵分块矩阵 及其运算及其运算 1 有关矩阵秩的结论有关矩阵秩的结论 1 秩 r A 行秩 列秩 2 min m n r Am n 3 0 1Ar A 4 r ABr Ar B 5 初等变换不改变矩阵的秩 6 特别若 min r Ar Bnr ABr A r B ABO 则 r Ar Bn 7 若存在 若存在 1 A r ABr B 1 B r ABr A 若 m n r Anr ABr B 5 若 m s r Anr ABr A 8 只有零解 0 m s r AnAx 2 分块求逆公式分块求逆公式 1 1 1 AOAO OBOB 1 111 1 ACAA CB OB OB 1 1 111 AOAO CB B CAB 这里 A B 均为可逆方阵 1 1 1 OAOB BOAO 三三 向量向量 考试内容考试内容对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 向量的概向量的概 念 向量念 向量 的线性组的线性组 合和线性合和线性 表示 向表示 向 量的线性量的线性 相关与线相关与线 性无关性无关 1 有关向量组的线性表示有关向量组的线性表示 1 线性相关至少有一个向量可以用其余向 12 s 量线性表示 2 线性无关 线性相关 12 s 若 12 s 可以由惟一线性表示 12 s 6 3 可以由线性表示 12 s 1212 ss r r 2 有关向量组的线性相关性有关向量组的线性相关性 1 部分相关 整体相关 整体无关 部分无关 2 n 个 n 维向量 122 0 nn 1 线性无关 n 个 n 维向量线性相关 12 n 2 0 n 1 n 1 个 n 维向量线性相关 若线性无关 则添加分量后仍线性无关 12 S 或一组向量线性相关 去掉某些分量后仍线性相关 向量组的向量组的 极大线性极大线性 无关组 无关组 等价向量等价向量 组 向量组 向量 组的秩组的秩 1 有关向量组的线性表示有关向量组的线性表示 1 线性相关至少有一个向量可以用其余向 12 s 量线性表示 2 线性无关 线性相关 12 s 若 12 s 可以由惟一线性表示 12 s 3 可以由线性表示 12 s 1212 ss rr 7 向量组的向量组的 秩与矩阵秩与矩阵 的秩之间的秩之间 的关系 的关系 向量空间向量空间 及相关概及相关概 念念 1 设 则的秩与的行列向量组的线性 m n r Ar A r AA 相关性关系为 1 若 则的行向量组线性无关 m n r Arm A 2 若 则的行向量组线性相关 m n r Arm A 3 若 则的列向量组线性无关 m n r Arn A 4 若 则的列向量组线性相关 m n r Arn A n 维向量维向量 空间的基空间的基 变换和坐变换和坐 标变换 标变换 过渡矩阵过渡矩阵 1 基变换公式及过渡矩阵 若与是向量空间的两组基 则基 12 n 12 n V 变换公式为 11121 21222 121212 12 n n nnn nnnn ccc ccc C ccc 其中是可逆矩阵 称为由基到基C 12 n 的过渡矩阵 12 n 2 坐标变换公式 若向量在基与基的坐标分别是 12 n 12 n 8 即 12 T n Xx xx 12 T n Yy yy 则向量坐 11221122nnnn xxxyyy 标 变换公式为 1 XCYYCX 或 其中是从基到基的过渡矩阵C 12 n 12 n 向量的内向量的内 积 线性积 线性 无关向量无关向量 组的正交组的正交 规范化方规范化方 法法 内积 1 122 TT nn a ba ba b Schmidt 正交化 若线性无关 则可构造使其两两正 12 s 12 s 交 且仅是的线性组合 再把 i 12 i 1 2 in i 单位化 记 则是规范正交向量组 其中 i i i 12 i 11 21 221 11 3132 3312 1122 121 121 112211 ssss sss ss 9 规范正交规范正交 基 正交基 正交 矩阵及其矩阵及其 性质性质 1 正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交 就称为正交基 若正交基中每个向量都是单位向量 就称其为规范正交基 四四 线性方程组线性方程组 考试内容考试内容对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 线性方程线性方程 组的克莱组的克莱 姆法则 姆法则 奇次线性奇次线性 方程组有方程组有 非零解的非零解的 充分必要充分必要 条件条件 1 克莱姆法则 线性方程组 如果系数行列式 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 则方程组有唯一解0DA 其中是把中第列元素 12 12 n n DDD xxx DDD j DDj 换成方程组右端的常数列所得的行列式 2n 阶矩阵可逆只有零解 总有A0Ax b Axb 唯一解 一般地 只有零解 0 m n r AnAx 非奇次线非奇次线 性方程组性方程组 有解的充有解的充 分必要条分必要条 件 线性件 线性 方程组解方程组解 1 设 A 为矩阵 若 则对而言必有mn m n r Am Axb 从而有解 r Ar A bm Axb 2 设为的解 则当 12 s x xx Axb 1 122ss k xk xk x 时仍为的解 但当 12 1 s kkk Axb 10 的性质和的性质和 解的结构解的结构 时 则为的解 特别为 12 0 s kkk 0Ax 12 2 xx 的解 为的解 Axb 312 2 xxx 0Ax 3 非齐次线性方程组无解不能Axb 1 r Ar Ab 由的列向量线性表示 A 12 n 奇次线性奇次线性 方程组的方程组的 基础解系基础解系 和通解 和通解 解空间 解空间 非奇次线非奇次线 性方程组性方程组 的通解的通解 1 齐次方程组恒有解 必有零解 当有非零解时 由0Ax 于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量 因 此的全体解向量构成一个向量空间 称为该方程组0Ax 的解空间 解空间的维数是 解空间的一组基称为 nr A 齐次方程组的基础解系 2 是的基础解系 即 12 t 0Ax 1 是的解 12 t 0Ax 2 线性无关 12 t 3 的任一解都可以由线性表出 0Ax 12 t 是的通解 其中是任 1122tt kkk 0Ax 12 t k kk 意常数 五五 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 考试内容考试内容对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 矩阵的特矩阵的特 征值和特征值和特 1 设设是的一个特征值 则 A 11 征向量的征向量的 概念及性概念及性 质 质 有一个特征值分别为 21 mT kA aAbE AAf A AAA 且对应特征向量相同 21 m A kabf T A 例外 2 若为的 n 个特征值 则 12 n A 111 nnn iiii iii aA 从而没有特征值 0AA 3 设为的 s 个特征值 对应特征向量为 12 s A 若 12 s 则 1122 ss kkk 1122111222 nnnnnnn sssss Ak Ak Ak Akkk 相似变换 相似变换 相似矩阵相似矩阵 的概念及的概念及 性质 性质 1 若 则AB 1 11 TT ABABAB 2 11 nn iiii ii ABAb r Ar B 3 对成立 EAEB 矩阵可相矩阵可相 似对角化似对角化 的充分必的充分必 要条件及要条件及 相似对角相似对角 矩阵 矩阵 1 设为 n 阶方阵 则可对角化对每个重根特征值AA i k 有 i ii nrEAk 2 设可对角化 则由有 从而A 1 P AP 1 AP P 1nn APP 12 3 重要结论 1 若 则 AB CD AOBO OCOD 2 若 则 其中为关AB f Af Bf Af B f A 于阶方阵的多项式 nA 3 若为可对角化矩阵 则其非零特征值的个数 重根重A 复计算 秩 A 实对称矩实对称矩 阵的特征阵的特征 值 特征值 特征 向量及相向量及相 似对角阵似对角阵 1 相似矩阵 设为两个阶方阵 如果存在一个可逆 A Bn 矩阵 使得成立 则称矩阵相似 记为P 1 BP AP AB与 AB 2 相似矩阵的性质 如果则有AB 1 TT AB 2 11 AB AB若 均可逆 3 kk ABk 为正整数 4 EAEBA B 从而有相同的特征值 5 ABA B 从而同时可逆或同时不可逆 6 ABEAEB AB 秩 秩 不一定相似 六六 二次型二次型 考试内容考试内容对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 13 二次型及二次型及 其矩阵表其矩阵表 示 合同示 合同 变换与合变换与合 同矩阵 同矩阵 二次型的二次型的 秩秩 1个变量的二次齐次函数n 12 n x xx 其中 12 11 nn nijij ij f x xxa x y 1 2 ijji aai jn 称为元二次型 简称二次型 若令n 这二次型可改写成矩阵 111211 221222 12 n n nnnnn aaax xaaa xA xaaa f 向量形式 其中称为二次型矩阵 因为 T fx Ax A 所以二次型矩阵均为对称矩阵 且 1 2 ijji aai jn 二次型与对称矩阵一一对应 并把矩阵的秩称为二次型A 的秩 惯性定惯性定 理 二次理 二次 型的标准型的标准 形和规范形和规范 形形 1 惯性定理 对于任一二次型 不论选取怎样的合同变换使它化为 仅含平方项的标准型 其正负惯性指数与所选变换无关 这就是所谓的惯性定理 2 标准形 二次型经过合同变换化为 12 T n fx xxx Ax xCy 称为 2 1 r TTT ii i fx Axy C ACyd y 的标准形 在一般的数域内 二次型的标准形不是f rn 唯一的 与所作的合同变换有关 但系数不为零的平方项 的个数由唯一确定 r A的秩 14 3 规范形 任一实二次型都可经过合同变换化为规范形f 其中的秩 为正 22222 121ppr fzzzzz rA为p 惯性指数 为负惯性指数 且规范型唯一 rp 用正交变用