311倾斜角与斜率

3 1 1 倾斜角与斜率 一 教学目标 1 知识与技能 1 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 2 理解直线倾斜角的唯一性 3 理解直线斜率的存在性 4 斜率公式的推导过程 掌握过两点的直线的斜率公式 2 过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题 几何问题 转化为倾斜角问题 进而转化为倾斜角 的正切即斜率问题 代数问题 进行解决 使学生不断体会 数形结合 的思想方法 3 情感 态度与价值观 1 通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示 培养学生观 察 探索能力 运用数学语言表达能力 数学交流与评价能力 2 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导 帮助学生进一步理解数形结合的思想 培养学生树立辩证统一的观点 培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 二 教学重点与难点 直线的倾斜角 斜率的概念和公式 三 教学方法 教学环节教学内容师生互动设计意图 提出问题 引入 我们知道 经过两点有且 只有 确定 一条直线 那么 经过一点 P 的直线 l 的位置能 确定吗 如图 过一点 P 可作 无数多条直线 a b c 易 见 答案是否定的 这些直线 有什么联系呢 直线的倾斜角的概念 学生回答 不能确定 1 它们都经过点 P 2 它们的倾斜程度不 同 接着教师提出 怎样描述 这种倾斜程度的不同 由此引 入课题 设疑激趣 导入课题 概念形成 1 直线倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时 取 x 轴作为基准 x 轴正向与 直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 特别地 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 规定 0 教师提问 倾斜角的取值范围是什 么 0180 当直线 l 与 x 轴重合时 90 由学生结合图形回答 概念深化 因为平面直角坐标系内的 每一条直线都有确定的倾斜程 度 引入直线的倾斜角之后 我们就可以用倾斜角来表示 平面直角坐标系内的每一条直 线的倾斜程度 教师提问 如左图 直线 a b c 那么它们的倾斜角相等吗 学生回答后作出结论 一个倾斜角不能确定一 条直线 进而得出 确定一条 直线位置的几何要素 通过 这种师生 互动引导 学生明确 确定一条 直线位置 的两个几 何要素 y a b c xO 确定平面直角坐标系内的 一条直线位置的几何要素 一 个点 P 和一个倾斜角 概念形成 2 直线的斜率 一条直线的倾斜角 90 的正切值叫做 这条直线的斜率 斜率常用小写 字母 k 表示 即 tank 由此可知 一条直线 l 的 倾斜角一定存在 但是斜率 k 不一定存在 例如 45 时 k tan45 1 135 时 k tan135 1 教师提问 由学生讨论 后回答 1 当直线 l 与 x 轴平行 或重合时 k 为多少 k tan0 0 2 当直线 l 与 x 轴垂直 时 k 还存在吗 90 k 不存在 设疑激发 学生思考 得出结论 概念形成 3 直线的斜率公式 21 21 yy k xx 对于上面的斜率公式要注 意下面四点 1 当 x1 x2时 公式右 边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角 90 直线与 x 轴 垂直 2 k 与 P1 P2的顺序无 关 即 y1 y2和 x1 x2在公式 中的前后次序可以同时交换 但分子与分母不能交换 3 斜率 k 可以不通过倾 斜角而直接由直线上两点的坐 标求得 4 当 y1 y2时 斜率 k 0 直线的倾斜角 0 直线与 x 轴平行或重合 5 求直线的倾斜角可以 由直线上两点的坐标先求斜率 而得到 教师提出问题 给定两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 如何用两点 的坐标来表示直线 P1 P2的斜 率 可用计算机作动画演示 直线 P1P2的四种情况 并引导 学生如何作辅助线 共同完成 斜率公式的推导 借助多媒 体演示让 学生亲自 体会斜率 公式的推 导过程 应用举例 例 1 已知 A 3 2 B 4 1 C 0 1 求直线 AB BC CA 的斜率 并判断 它们的倾斜角是钝角还是锐角 用计算机作直线 图略 分析 已知两点坐标 而 且 x1 x2 由斜率公式代入即 可求得 k 的值 而当时 倾斜tan0k 角是钝角 而当时 倾斜tan0k 角是锐角 而当时 倾斜tan0k 角是 0 例 2 在平面直角坐标系中 画出经过原点且斜率分别为 1 1 2 及 3 的直线 a b c 1 分析 要画出经过原点的 直线 a 只要再找出 a 上的另 个一点 M 而 M 的坐标可以根 据直线 a 的斜率确定 或者 k tan 1 是特殊值 所以也可以 以原点为角的顶点 x 轴的正 半轴为角的一边 在 x 轴的上 方作 45 的角 再把所作的这 一边反向延长成直线即可 学生分析求解 教师板 书 例 1 略解 直线 AB 的 斜率 k1 1 7 0 所以它的倾 斜角是锐角 直线 BC 的斜率 k2 0 5 0 所以它的倾斜角是 锐角 例 2 略解 设直线 a 上 的另个一点 M 的坐标为 x y 根据斜率公式有 1 y 0 x 0 所以 x y 可令 x 1 则 y 1 于 是点 M 的坐标为 1 1 此时过 原点和点 M 1 1 可作直线 a 同理 可作直线 b c 1 用计算机作动画演 示画直线过程 课堂练习 P91 1 题 2 题 3 题 4 题 通过应用 进一步理 解倾斜角 斜率的有 关定义 归纳总结 1 直线的倾斜角和斜率 的概念 2 直线的斜率公式 师生共同总结 交流 完善 引导 学生学会 自己总结 课后作业 布置作业 见习案 3 1 第一课时 由学生独立完成巩固深化 备选例题备选例题 例 1 求下列两点直线的斜率 并判断其倾斜角是锐角还是钝角 1 1 1 2 4 2 3 5 0 2 3 2 3 2 5 4 3 2 6 2 解析 1 所以倾斜角是锐角 4 1 30 2 1 k 2 所以倾斜角是钝角 25 10 0 3 k 3 由 x1 x2 2 得 k 不存在 倾斜角是 90 4 所以倾斜角为 0 2 2 0 63