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2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析（2003数一，填空5）【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可转化为二重积=进行计算.【详解】 由题设，有 = y 1 D O 1 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学一P.14第一大题第（5）小题.文档收集自网络，仅用于个人学习（2003数一，填空6）【分析】 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据，由确定临界值，进而确定相应的置信区间.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 由题设，可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据 ，有，即 ，故的置信度为0.95的置信区间是 .【评注】 本题属基本题型.(2003数一,选择6)【分析先由分布的定义知，其中，再将其代入，然后利用F分布的定义即可.【详解】 由题设知，其中，于是=，这里，根据F分布的定义知故应选(C).【评注】 本题综合考查了t分布、分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.(2003数一,分析11)【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 (1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 = =【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法： 设 则的概率分布为 0 1 P 因为，所以 (2003数一,分析12)【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量的分布函数，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验是否成立.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度为 因为 =，所以作为的估计量不具有无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.文档收集自网络，仅用于个人学习2003年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析(2003数三,填空5)【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为 = =E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有 cov(Y,Z)=【评注】 注意以下运算公式：，(2003数三,填空6)【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：文档收集自网络，仅用于个人学习 【详解】 这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有 依概率收敛于(2003数三,选择6)【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 因为，且 ，可见有，.故两两独立但不相互独立；不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 本题考查两两独立与相互独立的差异(2003数三，分析11)【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围，再对y分段讨论.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 易见，当x8 时，F(x)=1.对于，有 设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1. 对于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函数为 【评注】 事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y0时，G(y)=0;当 时，G(y)=1;当 0时， = =(2003数三，分析12)【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 = =.由于X和Y独立，可见 G(u)= =由此,得U的概率密度 =【评注】 本题属基本题型.2005年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析(2005数一,填空6) 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 =+ + =(2005数一,选择13)【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).(2005数一,选择14)【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项. 因为 ，且相互独立，于是 故应选(D).(2005数一,解答22)【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度= =关于Y的边缘概率密度= = （II） 令，1） 当时，；2） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密度为：(2005数一,解答23)【分析】 先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 由题设，知相互独立，且，（I） = =（II） = = = = =2005年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析(2005数学三,填空5)本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 =+ +(2005数学三,填空6)【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1(2005数学三,选择14)总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：【详解】 由正态总体抽样分布的性质知， 故的置信度为0.90的置信区间是，即故应选(C).（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) (2005数学三,解答22)【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度= =关于Y的边缘概率密度= = （II） 令，3） 当时，；4） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密度为：（III） (2005数学三,解答23)【分析】 先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计，利用其数学期望等于确定c即可.文档收集自网络，仅用于个人学习【详解】 由题设，知相互独立，且，（I） = =（II） = = = = =（III） = =，故 2006年硕士研究生入学考试（数学一）试题及答案解析（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则（13）设为随机事件，且，则必有(A) (B) (C) (D) B 【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可.【详解】 由题设，知 ，即.又.故应选().（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) D 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).（22）（本题满分9分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度().【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I）设的分布函数为，即，则1) 当时，；2) 当时， .3) 当时，.4) 当，.所以.（II） .（23）（本题满分9分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求的最大似然估计.【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算的最大似然估计.【详解】 记似然函数为，则.两边取对数得，令，解得为的最大似然估计.2006年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .【分析】 利用的独立性及分布计算.【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 .（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(B) (B) (C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；() ；().【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I） 设的分布函数为，即，则5) 当时，；6) 当时， .7) 当时，.8) 当，.所以.（II） ，而 ， ，所以 .() .（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计【分析】 利用矩估计法和最大似然估计法计算.【详解】（）因为，令 ，可得的矩估计为 . （）记似然函数为，则.两边取对数得，令，解得为的最大似然估计.2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为文档收集自网络，仅用于个人学习(A) (B) .(C) (D) C 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . 文档收集自网络，仅用于个人学习 (10) 设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的条件概率密度为文档收集自网络，仅用于个人学习(A) (B) (C ) . (D) A 【详解】 因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =. 因此选(A) .文档收集自网络，仅用于个人学习(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间, 记.故 ，其中分别表示A与W 的面积. (23) (本题满分11分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求；(II) 求Z+的概率密度.【详解】 (I) .( II) 先求Z的分布函数: 当Z0时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度为= (24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为 其中参数(01)未知, 是来自总体X的简单随机样本, 是样本均值(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量,并说明理由.【详解】 (I) 令 , 其中 ，解方程得的矩估计量为: =.(II) ,而 ，故,所以不是的无偏估计量.2007年硕士研究生入学考试数学三试题及答案解析(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)文档收集自网络，仅用于个人学习 (10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A)文档收集自网络，仅用于个人学习（A） (B)(C) (D)(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为. 23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（）求；（）求的概率密度.【详解】：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.（）求参数的矩估计量；（）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（）记，则 ， 解出，因此参数的矩估计量为；（）只须验证是否为即可，而 ，而 ，于是 因此不是为的无偏估计量.2008年考研数学一试题分析、详解和评注（7） 设随机变量独立同分布且的分布函数为，则的分布函数为【 】(A) . (B) . (C) . (D) .【答案】应选(A)【详解】故应选(A)（8）设随机变量, , 且相关系数，则【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】应选 (D)【详解】用排除法设由，知，正相关，得排除（A）和（C）由，得，从而排除(B).故应选 (D)(14) 设随机变量服从参数为1的泊松分布，则_【答案】应填.【详解】因为服从参数为1的泊松分布，所以从而由得故(22) (本题满分11分) 设随机变量与相互独立，的概率密度为，的概率密度为记（I） 求；（II）求的概率密度.（I）【详解】 解法1解法2 （II）解法1解法2（23）(本题满分11分) 设是来自总体的简单随机样本，记，（1）证明是的无偏估计量；（2）当时，求.【详解1】（1）首先是统计量其次对一切成立因此是的无偏估计量【详解2】（1）首先是统计量其次，对一切成立因此是的无偏估计量（2）解法2根据题意，有，于是，所以2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析（7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则. .【答案】【解析】因为，所以，所以而，所以。（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为文档收集自网络，仅用于个人学习0.1. 2.3.【答案】 B【解析】独立（1）若，则（2）当，则为间断点，故选（B）(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 【答案】 【解析】为的无偏估计 （22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。文档收集自网络，仅用于个人学习（）求；（）求二维随机变量的概率分布。【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球文档收集自网络，仅用于个人学习 （