高中数学 不等式小结（二）教案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心 课题课题 不等式不等式 复习小结复习小结 授课类型 授课类型 复习课 教学目标教学目标 1 会作二元一次不等式 组 表示的平面区域 会解简单的线性规划问题 2 明确均值不等式及其成立条件 会灵活应用均值不等式证明或求解最值 教学重点教学重点 1 用二元一次不等式 组 表示平面区域 2 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解 3 基本不等式的应用 教学难点教学难点 求目标函数的最优解 基本不等式的应用 教学过程教学过程 1 1 知识梳理知识梳理 一 线性规划线性规划 1 用二元一次不等式 组 表示平面区域 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组成的平面区 域 虚线表示区域不包括边界直线 2 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax By C 0 同一侧的所有点 yx 把它的坐标 yx 代入Ax By C 所得到实数 的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负即可判断 Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当C 0 时 常把原点原点作为此特殊点 3 线性规划的有关概念 线性约束条件线性约束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量x y的约束条件 这组约束条件都是关于 x y的一次不等式 故又称线性约束条件 线性目标函数线性目标函数 关于x y的一次式z 2x y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x y的解析式 叫线性目标函 数 线性规划问题线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 可行解 可行域和最优解可行解 可行域和最优解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 4 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 1 寻找线性约束条件 线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 3 在可行域内求目标函数的最优解 二 基本不等式 二 基本不等式 2 ab ab 1 如果 a b 是正数 那么 2 号时取当且仅当 baab ba 2 基本不等式 2 ab ab 几何意义是 半径不小于半弦半径不小于半弦 用心 爱心 专心 2 2 典型例题典型例题 1 二元一次方程 组 与平面区域 例 1 画出不等式组 5 3 0 06 x y yx yx 表示的平面区域 2 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解 例 2 已知x y满足不等式 0 0 12 22 yx yx yx 求z 3x y的最小值 思维拓展 已知x y满足不等式组 0 0 2502 3002 y x yx yx 试求z 300 x 900y的最大值时的整点的坐标 及相应的z的最大值 3 利用基本不等式证明不等式 例 3 求证 22222 abcdacbd 4 利用基本不等式求最值 例 4 求 9 4 5 f xx x x 5 的最小值 例 5 四边形ABCD的两条对角线相交于O 如果AOB 的面积为4 COD 的面积为16 求四边形ABCD的面积S的最小值 并指出S最小时四边形ABCD的形状 解 设 OAa OBb OCc ODd AOBCOD 则 1 sin4 2 AOB Sab 1 sin16 2 COD Scd 11 sin sin 22 BOC Sbcbc 11 sin sin 22 AOD Sadad S AOB S COD S BOC S 11 4 16sinsin 22 AOD Sbcad 11 202sinsin 22 bcad 11 202sinsin 22 abcd 202 4 1636 当且仅当bcad 时取 S的最小值为36 此时由bcad 得 ba dc 即 OBOA ODOC ABCD 即四边形ABCD是梯形 例 6 某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需要面粉 6 吨 每吨面粉的价格为 1800 元 面粉的保管 等其它费用为平均每吨每天 3 元 购面粉每次需支付运费 900 元 求该厂多少天购买一次面粉 才能 使平均每天所支付的总费用最少 用心 爱心 专心 解 设该厂x天购买一次面粉 平均每天所支付的总费用为y元 购买面粉的费用为6 180010800 xx 元 保管等其它费用为3 6 126 9 1 xx x 108009 1 900100 108099 xx x yx xx 100 108099 210989x x 当 100 x x 即10 x 时 y有最小值10989 答 该厂10天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 4 4 评价设计评价设计 1 解线性规划应用题的一般步骤 设出未知数 列出约束条件 建立目标函数 求最优解 2 解实际问题时 首先审清题意 然后将实际问题转