高中数学《数系的扩充和复数的概念》学案2 新人教A版选修1-2

用心 爱心 专心1 数系的扩充与复数的引入复习指导数系的扩充与复数的引入复习指导 重点 复数的相等 复数与实数以及虚数的关系 复数的几何意义 复数的加减 乘除运算法则 以及复数加法 减法的几何意义 体会数学 思想方法 类比法 难点 复数的几何意义 复数加法以及复数减法的几何意义 复数的除 法 复习过程指导 在复习本章时 我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系 1 复数与 实数 有理数的联系 2 复数的代数形式的加法 减法运算与平面向量的加法 减法运算的联系 3 复数的代数形式的加法 减法 乘法运算与多项式的加法 减法 乘法运算的联系 在知识上 在学法上 在思想方法上要使知识形成网络 以增强记忆 培养自 己的数学逻辑思维能力 其数学思想方法 类比法 化一般为特殊法 网络如下 多项式 运算 类比复数 运算 类比向量 运算 一 数学思想方法总结 1 数学思想方法之一 类比法 1 复数的运算 复数代数形式的加法 减法运算法则 abicdiacbd i 复数代数形式的乘法运算运算法则 abi cdiacbdadbc i 显然在运算法则上类似于多项式的加减法 合并同类项 以及多项式的乘法 这 就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便 2 复数的几何意义 我们知道 实数与数轴上的点一一对应的 有序实数对与直角坐标平面内的点 一一对应 类似的我们有 复数集 C abi a bR 与坐标系中的点集 a baR bR 一一对 应 于是 复数集z abi 复平面内的点 Z a b 复数集z abi 平面向量OZ 实数 运算 类比数轴上 向量运 算 有理数 运算 转 化 转化 用心 爱心 专心2 例 1 2005 高考浙江 4 在复平面内 复数 1 i i 1 3i 2对应的点 位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解答 复数 1 i i 1 3i 2 1 12 33 2 i i 31 2 3 22 i 因为复数 31 2 3 22 i 对应着直角坐标平面内的点 3 1 2 3 2 2 故在第二象限 答案为 B 此题一方面考查了复数的运算能力 另一方面考察了对复数的几何意义 的理解 例 2 非零复数 12 z z分别对应复平面内向量 OA OB 若 12 zz 12 zz 则向量OA 与OB 的关系必有 A OA OB B OAOB C OAOB D OAOB 共线 解答 由向量的加法及减法可知 OC OAOB AB OBOA 由复数加法以及减法的几何意义可知 12 zz 对应OC 的模 12 zz 对应AB 的模 又因为 12 zz 12 zz 且非零复数 12 z z分别对应复平面内向量 OA OB 所以四边形 OACB 是正方形 因此OAOB 故答案选 B 注 此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义 3 复数的化简 虚数除法运算的分母 实数化 类似的有实数运算的分母 有理化 例 2005 高考天津卷理 2 若复数 i ia 21 3 a R i 为虚数单位 是纯虚数 ox y 图 A B C 用心 爱心 专心3 则实数a的值为 A 2 B 4 C 6 D 6 解答 由 i ia 21 3 3 12 12 12 aii ii 22 6 32 12 aa i 632 55 aa i 因为复数 i ia 21 3 是纯虚数 所以 6 0 5 a 且 32 0 5 a 解得6a 故答案选 C 注 这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数 1 2 12 ii 一般地 abi abi 22 ab 这也是一个复数与实数转化的过程 即 632 55 aa i 是纯虚数可得 6 0 5 a 且 32 0 5 a 2 数学思想方法之二 转化法 我们知道在运算上 高次方程要转化为低次方程 多元方程要转化为一元方程 进行运算 实数的运算要转化为有理数的运算 类似地 有关虚数的运算要转化为 实数的运算 基础知识 复数abi 0 0 0 0 a b bi a abi b abi a 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 例 2005 高考北京卷 9 若 1 2zai 2 34zi 且 1 2 z z 为纯虚数 则 实数a的值为 解答 1 2 z z 22 2 2 34 3434 aiaii i 3864 2525 aa i 因为 1 2 z z 为纯虚数 所以 38 0 25 a 且 64 0 25 a 解得 8 3 a 例 2005 高考 吉林 黑龙江 广西 设a b c dR 若 abi cdi 为实数 则 A 0bcad B 0bcad 用心 爱心 专心4 C 0bcad D 0bcad 解答 由 2222 abiacbdbcad i cdicdcd 因为 abi cdi 为实数 所以其虚部 22 0 bcad cd 即0bcad 故答案选 C 这里先把分母 实数化 即分子以及分母同乘以分母的 实数化 因式 类似于以前所学的实数化简时的把分母 有理化 再把它转化为实数的运算 二 解题规律总结 有关虚数单位i的运算及拓展 虚数i的乘方及其规律 1 ii 2 i 3 ii 4 1i 5678 1 1ii iii i 4142434 1 1 nnnn ii iii i nN 拓展 1 任何相邻四个数的和为 2 指数成等差的四个数的和为 例如 23212123nnnn iiii 3 连续多个数相加的规律 例 6 求 101112 iii 2006 i的值 解答 共有 2006 10 997 项 由于 1997 4 499 1 由于连续 4 个的和等于 0 因此原式 10 i 1 2 有关复数的几个常用化简式 22 1 2 1 2iiii 1i i 11 11 ii ii ii 例 7 2005 高考重庆 2 2005 1 1 i i A i B i C 2005 2 D 2005 2 解答 200520054 501 1 1 i iiii i A 故答案选 A 3 有关复数的综合运算 例 2005 高考上海 18 本题满分 12 分 在复数范围内解方程 i i izzz 2 3 2 i为虚数单位 解法一 设 zabi a bR 则zabi 用心 爱心 专心5 由于 222 2zzz iabai 3 2 i i 22 3 2 21 ii 1 i 所以 22 2abai 1 i 根据复数的相等得 22 1 21 ab a 解得 13 22 ab 因此 13 22 z 即为所求 解题评注 1 设复数的代数形式 z abi a bR 以代入法解题 的一种基本而常用的方法 2 复数的相等 abi cdi ac bd a