高中数学 基本知识基本思想基本方法复习教案

1 高高 中中 数数 学学 基本知识基本知识 基本思想基本思想 基本方法基本方法 一 集合与简易逻辑 1 必须弄清集合的元素是什么 是函数关系中自变量的取值 还是因变量的取值 还是 曲线上的点 2 数形结合是解集合问题的常用方法 解题时要尽可能地借助数轴 直角坐标系或韦恩 图等工具 将抽象的代数问题具体化 形象化 直观化 然后利用数形结合的思想方法 解决 3 一个语句是否为命题 关键要看能否判断真假 陈述句 反诘问句都是命题 而祁使 句 疑问句 感叹句都不是命题 4 判断命题的真假要以真值表为依据 原命题与其逆否命题是等价命题 逆命题与其 否命题是等价命题 一真俱真 一假俱假 当一个命题的真假不易判断时 可考虑判 断其等价命题的真假 5 判断命题充要条件的三种方法 1 定义法 2 利用集合间的包含关系判断 若 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件 若 A B 则 A 是 B 的充要条件 BA 3 等价法 即利用等价关系判断 对于条件或结论是不等关系 或 ABBA 否定式 的命题 一般运用等价法 6 1 含 n 个元素的集合的子集个数为 2n 真子集 非空子集 个数为 2n 1 2 BBAABABA 3 BCACBACBCACBAC IIIIII 二 函数 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则 1 复合函数的有关问题 1 复合函数定义域求法 若已知 f x 的定义域为 a b 其复合函数 f g x 的定 义域由不等式 a g x b 解出即可 若已知 f g x 的定义域为 a b 求 f x 的定义 域 相当于 x a b 时 求 g x 的值域 即 f x 的定义域 2 复合函数的单调性由 同增异减 判定 2 函数的奇偶性 1 若 f x 是偶函数 那么 f x f x xf 2 定义域含零的奇函数必过原点 可用于求参数 3 判断函数奇偶性可用定义的等价形式 f x f x 0 或 f x 0 1 xf xf 4 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶性 5 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称的单调区间内有相反 的单调性 3 函数图像 或方程曲线的对称性 2 1 证明函数图像的对称性 即证明图像上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍 在图像上 2 证明图像 C1与 C2的对称性 即证明 C1上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点 仍在 C2上 反之亦然 3 曲线 C1 f x y 0 关于 y x a y x a 的对称曲线 C2的方程为 f y a x a 0 或 f y a x a 0 4 曲线 C1 f x y 0 关于点 a b 的对称曲线 C2方程为 f 2a x 2b y 0 5 若函数 y f x 对 x R 时 f a x f a x 恒成立 则 y f x 图像关于直线 x a 对称 6 函数 y f x a 与 y f b x 的图像关于直线 x 对称 2 ba 4 函数的周期性 1 y f x 对 x R 时 f x a f x a 或 f x 2a f x a 0 恒成立 则 y f x 是 周期为 2a 的周期函数 2 若 y f x 是偶函数 其图像又关于直线 x a 对称 则 f x 是周期为 2 a 的周 期函数 3 若 y f x 奇函数 其图像又关于直线 x a 对称 则 f x 是周期为 4 a 的周期 函数 4 若 y f x 关于点 a 0 b 0 对称 则 f x 是周期为 2的周期函数 ba 5 y f x 的图象关于直线 x a x b a b 对称 则函数 y f x 是周期为 2的周ba 期函数 6 y f x 对 x R 时 f x a f x 或 f x a 则 y f x 是周期为 2 1 xf 的周期函数 a 5 方程 k f x 有解k D D 为 f x 的值域 6 a f x a f x max a f x a f x min 7 1 a 0 a 1 b 0 n R n a a bb n loglog 2 l og a N a 0 a 1 b 0 b 1 a N b b log log 3 l og a b 的符号由口诀 同正异负 记忆 4 a log a N N a 0 a 1 N 0 8 能熟练地用定义证明函数的单调性 求反函数 判断函数的奇偶性 9 判断对应是否为映射时 抓住两点 1 A 中元素必须都有象且唯一 2 B 中元 素不一定都有原象 并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象 10 对于反函数 应掌握以下一些结论 1 定义域上的单调函数必有反函数 2 奇函数的反函数也是奇函数 3 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 4 周期函数不存在反函数 5 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 5 y f x 与 y f 1 x 互为反函数 设 f x 的定义域为 A 值域为 B 则有 f f 1 x x x B f 1 f x x x A 3 11 处理二次函数的问题勿忘数形结合 二次函数在闭区间上必有最值 求最值问题用 两看法 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 12 恒成立问题的处理方法 1 分离参数法 2 转化为一元二次方程的根的分布 列不等式 组 求解 13 依据单调性 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题 0f b 0f a 0f b 0f a b u a0 0 或 或xhuxguf 14 掌握函数的图象和性质 0 0 c x c xyacb cx acb a cx bax y 函 数 cx acb a cx bax y b ac 0 0 a x a xy 定 义 域 cc 0 0 值 域 aa 2 2 aa 奇 偶 性 非奇非偶函数奇函数 单 调 性 当 b ac 0 时 分别在 上单调递 cc 减 当 b ac0 b 0 时要符合 一正二定ab2 三相等 注意均值不等式的一些变形 如 22 22 2 2 2 ba ab baba 七 直线和圆的方程 1 设三角形的三个顶点是 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 则 ABC 的重心 G 为 3 3 321321 yyyxxx 2 直线 l1 A1x B1y C1 0 与 l2 A2x B2y C2 0 垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0 3 两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 的距离是 22 21 BA CC d 4 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件 A C 0 且 B 0 且 D2 E2 4AF 0 5 过圆 x2 y2 r2上的点 M x0 y0 的切线方程为 x0 x y0y r2 6 以 A x1 y2 B x2 y2 为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 7 求解线性规划问题的步骤是 1 根据实际问题的约束条件列出不等式 2 作出 可行域 写出目标函数 3 确定目标函数的最优位置 从而获得最优解 八 圆锥曲线方程 1 椭圆焦半径公式 设 P x0 y0 为椭圆 a b 0 上任一点 焦点为 F1 1 2 2 2 2 b y a x c 0 F2 c 0 则 e 为离心率 0201 exaPFexaPF 2 双曲线焦半径公式 设 P x0 y0 为双曲线 a 0 b 0 上任一点 焦点 1 2 2 2 2 b y a x 为 F1 c 0 F2 c 0 则 1 当 P 点在右支上时 0201 exaPFexaPF 6 2 当 P 点在左支上时 e 为离心率 0201 exaPFexaPF 另 双曲线 a 0 b 0 的渐进线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 3 抛物线焦半径公式 设 P x0 y0 为抛物线 y2 2px p 0 上任意一点 F 为焦点 则 y2 2px p 0 上任意一点 F 为焦点 则 2 0 p xPF 2 0 p xPF 4 涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题 5 共渐进线的双曲线标准方程为为参数 0 x a b y 2 2 2 2 b y a x 6 计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式 一般地 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB A B 两点分别为 A x1 y1 B x2 y2 则弦长 4 1 1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 这里体现了解析几何 设而不求 4 1 1 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k 的解题思想 7 椭圆 双曲线的通径 最短弦 为 焦准距为 p 抛物线的通径为 2p 焦准 a b22 c b2 距为 p 双曲线 a 0 b 0 的焦点到渐进线的距离为 b 1 2 2 2 2 b y a x 8 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 Ax2 Bx2 1 9 抛物线 y2 2px p 0 的焦点弦 过焦点的弦 为 AB A x1 y1 B x2 y2 则有如下结 论 1 x1 x2 p 2 y1y2 p2 x1x2 AB 4 2 p 10 过椭圆 a b 0 左焦点的焦点弦为 AB 则 过 1 2 2 2 2 b y a x 2 21 xxeaAB 右焦点的弦 2 21 xxeaAB 11 对于 y2 2px p 0 抛物线上的点的坐标可设为 y0 以简化计算 p y 2 2 0 12 处理椭圆 双曲线 抛物线的弦中点问题常用代点相减法 设 A x1 y1 B x2 y2 为椭圆 a b 0 上不同的两点 M x0 y0 是 AB 的中点 则 KABKOM 对 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 于双曲线 a 0 b 0 类似可得 KAB KOM 对于 y2 2px p 0 抛物线 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 a b 有 KAB 21 2 yy p 13 求轨迹的常用方法 1 直接法 直接通过建立 x y 之间的关系 构成 F x y 0 是求轨迹的最基本的 方法 2 待定系数法 所求曲线是所学过的曲线 如直线 圆锥曲线等 可先根据条件列 出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回所列的方程即可 7 3 代入法 相关点法或转移法 若动点 P x y 依赖于另一动点 Q x1 y1 的变化而 变化 并且 Q x1 y1 又在某已知曲线上 则可先用 x y 的代数式表示 x1 y1 再将 x1 y1带入已知曲线得要求的轨迹方程 4 定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义 则可由曲线的定义直 接写出方程 5 参数法 当动点 P x y 坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将 x y 均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 九 直线 平面 简单几何体 1 从一点 O 出发的三条射线 OA OB OC 若 AOB AOC 则点 A 在平面 BOC 上的射 影在 BOC 的平分线上 2 已知 直二面角 M AB N 中 AE M BF N EAB ABF 异面直线 AE 1 2 与 BF 所成的角为 则 coscoscos 21 3 立平斜公式 如图 AB 和平面所成的角是 AC 在平面内 AC 和 AB 的射影 AB 成 1 2 设 BAC 则 coscos cos 3 1 2 3 4 异面直线所成角的求法 1 平移法 在异面直线中的一条直线中选择一特殊点 作另一条的平行线 2 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长方 体等 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系 5 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角 它的三条边分别是平面的垂线段 斜线 段及斜线段在平面上的射影 通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 垂足和斜 足的连线 是产生线面角的关键 6 二面角的求法 1 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面内作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 2 三垂线法 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线 用三垂线定理或逆定 理作出二面角的平面角 3 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个半平面的 交线所成的角即为平面角 由此可知 二面角的平面角所在的平面与棱垂直 4 射影法 利用面积射影公式 S射 S原cos 其中为平面角的大小 此方法不必 在图形中画出平面角 特别 对于一类没有给出棱的二面角 应先延伸两个半平面 使之相交出现棱 然后 再选用上述方法 尤其要考虑射影法 7 空间距离的求法 1 两异面直线间的距离 高考要求是给出公垂线 所以一般先利用垂直作出公垂线 然后再进行计算 2 求点到直线的距离 一般用三垂线定理作出垂线再求解 3 求点到平面的距离 一是用垂面法 借助面面垂直的性质来作 因此 确定已知 面的垂面是关键 二是不作出公垂线 转化为求三棱锥的高 利用等体积法列方程求解 A 8 8 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等 记为 则 S侧cos S底 9 已知 长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有 cos2 cos2 cos2 1 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有 cos2 cos2 cos2 2 10 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长 11 欧拉公式 如果简单多面体的顶点数为 V 面数为 F 棱数为 E 那么 V F E 2 并且 棱数 E 各顶点连着的棱数和的一半 各面边数和的一半 12 球的体积公式 V 表面积公式 掌握球面上两点 A B 间的距离求 3 3 4 R 2 4 RS 法 1 计算线段 AB 的长 2 计算球心角 AOB 的弧度数 3 用弧长公式计算劣 弧 AB 的长 十 排列组合和概率 1 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 m n m n N 当 m n 时为全排 m n A mn n 列 n n 1 n 2 3 2 1 n n A 2 组合数公式 m n 123 2 1 1 1 mmm mnnn m A C m nm n 1 0 n nn CC 3 组合数性质 r n r n r n mn n m n CCCCC 1 1 4 常用性质 n n n 1 n 即 1 r n 1 1 n n n n n n AAnA 1 11 r r r n r r r r CCCC 5 二项式定理 1 掌握二项展开式的通项 2 1 0 1 nrbaCT rrnr nr 2 注意第 r 1 项二项式系数与第 r 1 系数的区别 6 二项式系数具有下列性质 1 与首末两端等距离的二项式系数相等 2 若 n 为偶数 中间一项 第 1 项 的二项式系数最大 若 n 为奇数 中间两项 2 n 第和 1 项 的二项式系数最大 2 1 n 2 1 n 3 2 2 13120210 n nnnn nn nnnn CCCCCCCC 7 F x ax b n展开式的各项系数和为 f 1 奇数项系数和为 偶数 1 1 2 1 ff 项的系数和为 1 1 2 1 ff 8 等可能事件的概率公式 1 P A 2 互斥事件分别发生的概率公式为 m n P A B P A P B 3 相互独立事件同时发生的概率公式为 P AB P A P B 9 4 独立重复试验概率公式 Pn k 5 如果事件 A B 互斥 那么事 1 knkk n ppC 件 A 与 与及事件与也都是互斥事件 6 如果事件 A B 相互独立 那BABAB 么事件 A B 至少有一个不发生的概率是 1 P AB 1 P A P B 6 如果事件 A B 相互独立 那么事件 A B 至少有一个发生的概率是 1 P 1 P A BA P B 理科选修内容基本知识理科选修内容基本知识 十 概率与统计 1 理解随机变量 离散型随机变量的定义 能够写出离散型随机变量的分布列 由概率 的性质可知 任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质 1 pi 0 i 1 2 2 p1 p2 1 2 二项分布 记作 B n p 其中 n p 为参数 并记 knkk n qpCkP pnkbqpC knkk n 3 记住以下重要公式和结论 x1X2 xn PP1P2 Pn 1 期望值 E x1p1 x2p2 xnpn 2 方差 D nn pExpExpEx 2 2 2 21 2 1 3 标准差 DabaDbaEbaED 2 4 若 B n p 则 E np D npq 这里 q 1 p 4 掌握抽样的三种方法 1 简单随机抽样 包括抽签法和随机数表法 2 系统 抽样 也叫等距离抽样 3 分层抽样 常用于某个总体由差异明显的几部分组成的 情形 5 总体分布的估计 用样本估计总体 是研究统计问题的一个基本思想方法 一般地 样本容量越大 这种估计就越精确 要求能画出频率分布表和频率分布直方图 6 正态总体的概率密度函数 式中是参数 分别表示 2 1 2 2 2 Rxexf x 总体的平均数与标准差 7 正态曲线的性质 1 曲线在 x 时处于最高点 由这一点向左 向右两边延伸 时 曲线逐渐降低 2 曲线的对称轴位置由确定 曲线的形状由确定 越大 曲线 越矮胖 反过来曲线越高瘦 3 曲线在 x 轴上方 并且关于直线 x 对称 8 利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的概率 2 N 10 P x1 x2 可由变换而得 于是有 P x1 x2 t x x xF 12 xx 9 假设检验的基本思想 1 提出统计假设 确定随机变量服从正态分布 2 N 2 确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 3 作出推断 如果 3 3 a 接受统计假设 如果 a 由于这是小概率事 3 3 3 3 件 就拒绝假设 十一 极限 1 与自然数有关的命题常用数学归纳法证明 其步骤是 1 验证命题对于第一个自 然数 n n0 k n0 时成立 2 假设 n k 时成立 从而证明当 n k 1 时命题也成立 3 得出结论 数学归纳法是一种完全归纳法 其中两步在推理中的作用是 第一步 是递推的基础 第二步是递推的依据 二者缺一不可 第二步证明时要一凑假设 二凑 结论 2 数列极限 1 掌握数列极限的直观描述性定义 2 掌握数列极限的四则运算法 则 注意其适用条件 一是数列 an bn 的极限都存在 二是仅适用于有限个数列的 和 差 积 商 对于无限个数列的和 或积 应先求和 或积 再求极限 3 常用的几个数列极限 C 为常数 1 q 为CC n lim 0 1 lim n n 0lim n n qa 常数 4 无穷递缩等比数列各项和公式 0 q a SS n n 1 lim 11 q 3 函数的极限 1 当 x 趋向于无穷大时 函数的极限为 a axfxf nn lim lim 2 当时函数的极限为 a 0 xx axfxf xxxx lim lim 00 3 掌握函数极限的四则运算法则 4 函数的连续性 1 如果对函数 f x 在点 x x0处及其附近有定义 而且还有 就说函数 f x 在点 x0处连续 2 若 f x 与 g x 都在点 x0处连 lim 0 0 xfxf xx 续 则 f x g x f x g x g x 0 也在点 x0处连续 3 若 u x 在点 x0 xg xf 处连续 且 f u 在 u0 u x0 处连续 则复合函数 f u x 在点 x0处也连续 5 初等函数的连续性 指数函数 对数函数 三角函数等都属于基初等函数 基本初等 函数在定义域内每一点处都连续 基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后 所得到的函数 都是初等函数 初等函数在定义域内每一点处都连续 连续函数的极限运 算 如果函数在点 x0处有极限 那么 lim 0 0 xfxf xx 十二 导数 11 1 导数的定义 f x 在点 x0处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根据导数的定义 求函数的导数步骤为 1 求 函数的增量 2 2 求平均变化率 xfxxfy x xfxxf x y 3 取极限 得导数 x y xf x 0 lim 3 可导与连续的关系 如果函数 y f x 在点 x0处可导 那么函数 y f x 在点 x0处连续 但是 y f x 在点 x0处连续却不一定可导 4 导数的几何意义 曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率是相应 0 x f 地 切线方程是 000 xxxfyy 5 导数的四则运算法则 2 v vuvu v u vuvuuvvuvu 6 常见函数的导数公式 cosx sinxQ mmx x C0 1 mm 为常数C log 1 log x 1 lnxlna a a e e sinx cosx e a x a xxxx x 7 复合函数的导数 xux uyy 8 导数的应用 1 利 用导数判断函数的单调性 设函数 y f x 在某个区间内可导 如果那么 0 x f f x 为增函数 如果那么 f x 为减函数 如果在某个区间内恒有 0 x f 那么 f x 为常数 0 x f 2 求可导函数极值的步骤 求导数 求方程的根 检验 x f 0 x f 在方程根的左右的符号 如果左正右负 那么函数 y f x 在这个根处 x f 0 x f 取得最大值 如果左负右正 那么函数 y f x 在这个根处取得最小值 3 求可导函数最大值与最小值的步骤 求 y f x 在 a b 内的极值 将 y f x 在各极值点的极值与 f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个是最 小值 十四 复数 1 理解复数 实数 虚数 纯虚数 模 辐角 辐角主值 共轭复数的概念和复数的几 何表示 2 熟练掌握 灵活运用以下结论 1 a bi c dia c 且 c d a b c d R 2 复数是 实数的条件 z a bi Rb 0 a b R z Rz z Rz2 0 z 3 复数是纯虚数的条件 z a bi 是纯虚数a 0 且 b 0 a b R z 是纯虚数 z 0 z 0 z 是纯虚数z2 0 z 12 4 解答复数问题 要学会从整体的角度出发去分析和求解 整体思想贯穿整个复数内容 如果遇到复数就设 z a bi a b R 则有时会给问题的解答带来不必要的运算上困难 若能把握住复数的整体性质 充分运用整体思想 则能事半功倍 5 复数的代数形式及其运算 1 复数的加 减 乘 除运算按以下法则进行 设 z1 a bi z2 c di a b c d R z 1 z2 a b c d i z1 z2 a bi c di ac bd ad bc I z1 z2 z2 0 i dc adbc dc bdac 2222 6 几个重要的结论 zzz 3 2 2 1 2 2222 2 2 1 2 21 2 21 为虚数 则若zzzzzzzzzz 6 运算律仍然成立 1 3 2 2121 Nnmzzzzzzzzz mm mmnnmnmnm 7 进行复数的运算时 常要注意或适当变形创造条件 从而转化为关于 的性质 i 计算问题 注意以下结论的灵活应用 的 i 1 1 1 1 2 2 1 1 2 i i i i i i ii 0 4 0 3 32121 NniiiiNn nnnnnnn 8 z zzzz 1 11 文科选修内容基本知识文科选修内容基本知识 十 抽样方法 总体分布的估计与总体的期望和方差 1 掌握抽样的二种方法 1 简单随机抽样 包括抽签符和随机数表法 2 分层 抽样 常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形 2 总体分布的估计 用样本估计总体 是研究统计问题的一个基本思想方法 一般地 样本容量越大 这种估计就越精确 要求能画出频率分布表和频率分布直方图 3 总体特征数的估计 1 学会用样本平均数去估计总 n i in x n xxx n x 1 21 1 1 体平均数 2 学会用样本方差 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 去估计总体方差及总体标准差 2 学会用修正的样 1 1 2 1 22 1 xnx n xx n n i i n i i 2 本方差去估计总体方差 会用 1 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 2 去估计 S 十一 导数及应用 1 导数的定义 f x 在点 x0处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 2 根据导数的定义 求函数的导数步骤为 1 求函数的增量 xfxxfy 2 求平均变化率 x xfxxf x y 13 3 取极限 得导数 x y xf x 0 lim 3 导数的几何意义 曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率是相应 0 x f 地 切线方程是 000 xxxfyy 4 常见函数的导数公式 Q mmx x C0 1 mm 为常数C 5 导数的应用 1 利用导数判断函数的单调性 设函数 y f x 在某个区间内可导 如果那么 f x 为增函数 如果那么 f x 为减函数 如果在某个区 0 x f 0 x f 间内恒有那么 f x 为常数 0 x f 2 求可导函数极值的步骤 求导数 求方程的根 检验 x f 0 x f 在方程根的左右的符号 如果左正右负 那么函数 y f x 在这个根处 x f 0 x f 取得最大值 如果左负右正 那么函数 y f x 在这个根处取得最小值 3 求可导函数最大值与最小值的步骤 求 y f x 在 a b 内的极值 将 y f x 在各极值点的极值与 f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个是最 小值 中学数学重要数学思想中学数学重要数学思想 一 函数方程思想函数方程思想 函数方程思想就是用函数 方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系 从而解决问题 的一种思维方式 是很重要的数学思想 1 函数思想 把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来 并研究这些量间 的相互制约关系 最后解决问题 这就是函数思想 2 应用函数思想解题 确立变量之间的函数关系是一关键步骤 大体可分为下面两个步骤 1 根据题意建立变量之间的函数关系式 把问题转化为相应的函数问题 2 根据需要 构造函数 利用函数的相关知识解决问题 3 方程思想 在某变化过程中 往往需要根 据一些要求 确定某些变量的值 这时常常列出这些变量的方程或 方程组 通过解方程 或方程组 求出它们 这就是方程思想 3 函数与方程是两个有着密切联系的数学概念 它们之间相互渗透 很多方程的问题需要用 函数的知识和方法解决 很多函数的问题也需要用方程的方法的支援 函数与方程之间的辩 证关系 形成了函数方程思想 二 数形结合思想数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一 对于所研究的代数问题 有时可研究其对应 几何的性质使问题得以解决 以形助数 或者对于所研究的几何问题 可借助于对应图形 的数量关系使问题得以解决 以数助形 这种解决问题的方法称之为数形结合 1 数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性 发挥数的思路的规范性与严 密性 两者相辅相成 扬长避短 2 恩格斯是这样来定义数学的 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学 这 就是说 数形结合是数学的本质特征 宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一 因此 数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂 14 3 数形结合的本质是 几何图形的性质反映了数量关系 数量关系决定了几何图形的性质 4 华罗庚先生曾指出 数缺性时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 隔裂分家万 事非 数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形 或借助于数的精确性来 阐明形的某些属性 或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 5 把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中 历年高考的解答题都有关于这个方面的 考查 即用代数方法研究几何问题 而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现 6 我们要抓住以下几点数形结合的解题要领 1 对于研究距离 角或面积的问题 可直接从几何图形入手进行求解即可 2 对于研究函数 方程或不等式 最值 的问题 可通过函数的图象求解 函数的零点 顶点是关键点 作好知识的迁移与综合运用 3 对于以下类型的问题需要注意 3 2 1 22 ByAx bx ay byax 可分别通过构造距离函数 斜率函数 截距函数 单位 5 sin cos 4 22 babaF 圆 x2 y2 1 上的点及余弦定理进行转化达到解题目的 sin cos 三 分类讨论的数学思想分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法 当问题的对象不能进行统一研究时 就需要对研究的 对象进行分类 然后对每一类分别研究 给出每一类的结果 最终综合各类结果得到整个问 题的解答 1 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决 引起分类讨论的原因大致可归纳 为如下几种 1 涉及的数学概念是分类讨论的 2 运用的数学定理 公式 或运算性质 法则是分类给出的 3 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性 4 数学问题中含有参变量 这些参变量的不同取值导致不同的结果的 5 较复杂或非常规的数学问题 需要采取分类讨论的解题策略来解决的 2 分类讨论是一种逻辑方法 在中学数学中有极广泛的应用 根据不同标准可以有不同的分 类方法 但分类必须从同一标准出发 做到不重复 不遗漏 包含各种情况 同时要有利 于问题研究 四 化归与转化思想化归与转化思想 所谓化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转 化 进而达到解决的一种方法 一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题 将难解 问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题转化为已解决的问题 立体几何中常用的转化手段有立体几何中常用的转化手段有 1 通过辅助平面转化为平面问题 把已知元素和未知元素聚集在一个平面内 实现点线 线 线 线面 面面位置关系的转化 2 平移和射影 通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题 化未知为已知的目的 3 等积与割补 4 类比和联想 5 曲与直的转化 6 体积比 面积比 长度比的转化 7 解析几何本身的创建过程就是 数 与 形 之间互相转化的过程 解析几何把数学的主 15 要研究对象数量关系与几何图形联系起来 把代数与几何融合为一体 中学数学常用解题方法中学数学常用解题方法 1 配方法配方法 配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式 其基本形式是 ax2 bx c 高考中常见的基本配方形式有 0 4 4 2 2 2 a a bac a b xa 1 a2 b2 a b 2 2a b a b 2 2 ab 2 2 a2 b2 ab 22 2 3 2 1 bba 3 3 a2 b2 c2 a b c 2 2 ab 2 a c 2 bc 4 4 a2 b2 c2 a b bc a c a b 2 b c 2 a c 2 2 1 5 2 1 1 2 2