2010高三数学高考二轮复习：专题五《立体几何》新人教版

用心 爱心 专心 专题五专题五 立体几何立体几何 考情分析 1 立体几何内容既承担着对逻辑思维能力的考查 又承担着对空间想象能力的考查 常 以选择题 填空题的形式全面考查线线 线面 面面等空间位置关系 难度适中 纵观历年 的高考题一定有一个立体几何的解答题 考查平行 垂直的证明及面积 体积的计算等 难 度中等 理科还可以以空间向量为工具证明位置关系或求空间中的角和距离等 高考的另一 个新趋势是以立体几何为载体 考查函数 解析几何等的知识交汇点的综合题 2 立体几何考查的重点有 空间几何体的结构特征 空间几何体的侧面积 表面积和体 积 直线与平面 平面与平面之间的位置关系 三视图是新教材的内容 已经成为了必考的 重点知识点 等体积转化法 割补思想是该部分考查的主要思想方法 知识交汇 1 1 充分 必要条件与点线面位置关系的综合 充分 必要条件与点线面位置关系的综合 高考对简单逻辑用语中的充分 必要条件的考查 主要通过与其它部分的综合问题出现 而与立体几何相综合的问题最为普遍 通过这种形式主要考查对充分 必要条件的理解和立 体几何部分的几何体 点线面的位置关系等严密性问题 例 1 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分 也不必要条件 答案 答案 B 解析 解析 由平面与平面垂直的判定定理知 如果 m 为平面 内的一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 例 2 设ba 是两条直线 是两个平面 则ba 的一个充分条件是 A ba B ba C ba D ba 答案 答案 C 解析 解析 由b 得b 又a 因此可知ba 故ab 的一个充分条件 是 C 选 C 用心 爱心 专心 点评 此类题目主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 解决此类问 题的关键是弄清楚点线面之间的位置关系的判定 此类小题是很容易出错的题目 解答时要 特别注意 2 2 三视图与几何体的面积 体积的综合 三视图与几何体的面积 体积的综合 空间几何体的结构与视图主要培养观察能力 归纳能力和空间想象能力 识别三视图所表 示的空间几何体 柱 锥 台 球体及其简单组合体的结构特征与新增内容三视图的综合会 重点考查 新课标地区的高考题来看 三视图是出题的热点 题型多以选择题 填空题为主 属中等偏易题 随着新课标的推广和深入 难度逐渐有所增加 例 3 右图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 俯视图 正 主 视图侧 左 视图 2 3 2 2 答案 答案 D 解析解析 从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体 其表面 及为 22 411221 312 S 故选 D 点评点评 本小题主要考查三视图与几何体的表面积 既要能识别简单几何体的结构特征 又 要掌握基本几何体的表面积的计算方法 例 4 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 3 cm 答案 答案 18 解析 解析 该几何体是由两个长方体组成 下面体积为1 3 39 上面 的长方体体积为3 3 19 因此其几何体的体积为 18 点评点评 此题主要是考查了几何体的三视图 通过三视图的考查充分体 现了几何体直观的考查要求 与表面积和体积结合的考查方法 3 3 几何体与线 面位置关系的综合 几何体与线 面位置关系的综合 以空间几何体为载体考查直线与平面平行或垂直 平面与平面平行或垂直的判定与性质定 理 能用判定定理和性质定理证明线线平行或垂直 线面平行或垂直 面面平行或垂直 多 以选择题和解答题形式出现 解答题中多以证明线线垂直 线面垂直 面面垂直为主 属中 用心 爱心 专心 档题 例 5 正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 为正方形 ABCD 的中心 M 为 BB1的中点 求证 1 D1O 平面 A1BC1 2 D1O 平面 MAC 证明证明 1 连结 11 BD B D分别交 11 AC AC于 1 O O 在正方体 1111 ABCDABC D 中 对角面 11 BB D D为矩形 1 O O 分别是 11 BD B D的中点 11 BODO 四边形 11 BO DO为平行四边形 11 BO DO 1 DO 平面 11 ABC 1 BO 平面 11 ABC 1 DO 平面 11 ABC 2 连结MO 设正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为a 在正方体 1111 ABCDABC D 中 对角面 11 BB D D为矩形且 1 2BBa BDa O M 分别是 1 BD BB的中点 2 22 a BMBOODa 1 2 2 BMBO ODDD 1 ODDRtMBORt 1 BOMDDO 在 1 ODDRt 中 11 90DDODOD 1 90BOMDOD 即 1 DOMO 在正方体 1111 ABCDABC D 中 1 DD 平面ABCD 1 DDAC 又ACBD 1 DDBDD AC 平面 11 BB D D 1 DO 平面 11 BB D D 1 ACDO 又ACMOO 1 DO 平面MAC 点评点评 证明线面垂直 关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直 由线线垂直 推出线面垂直 证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理 用心 爱心 专心 4 4 空间向量与空间角和距离的综合 空间向量与空间角和距离的综合 用空间向量解决立体几何问题的基本步骤 1 用空间向量表示问题中涉及的点 直 线 平面 建立立体图形与空间向量的联系 从而把立体几何问题转化为向量问题 几何问 题向量化 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间的距离 和夹我有等问题 进行向量运算 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 回 归几何问题 例例 6 6 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 w w w k s 5 u c o m 解析 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1 的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一个平 面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP w w w k s 5 u c o m 在 Rt OPF 中 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 用心 爱心 专心 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F 的法向量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所以 1 nEE 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设平面 BFC1的法向量为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC1 C 为锐角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 用心 爱心 专心 点评点评 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空间想象 能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 向量法求二面角是一种独特的方 法 因为它不但是传统方法的有力补充 而且还可以另辟溪径 解决传统方法难以解决的求 二面角问题 向量法求二面角通常有以下三种转化方式 先作 证二面角的平面角AOB 再求得二面角的大小为arccos OA OB OA OB 先求二面角两个半平面的法向量 12 nn 注意法向 量的方向要分布在二面角的内外 再求得二面角的大小为 12 12 arccos n n n n 或其补角 先分别 在二面角两个半平面内作棱的垂线 垂足不重合 又可转化为求两条异面直线的夹角 思想方法 例 1 在半径为 13 的球面上有 A B C 三点 AB 6 BC 8 CA 10 则球心到平面 ABC 的距离为 答案 12 解析 由ABC 的三边大小易知此三角形是直角三角形 所以过 A B C三点小 圆的直径即为 10 也即半径是 5 设球心到小圆的距离是d 则由 222 513d 可得 12d 分析 该题体现了方程函数思想的考查 构造方程求解立体几何中的几何量是考题中经常 性的问题 其解法一般要根据题意构造方程来求解 例 2 已知二面角 l 为60o 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小值为 A B 2 C 2 3 D 4 解析 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 PDlD 于 连 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP 即AP点与点重合时取最小值 故答案选 C 用心 爱心 专心 分析 该题考查了函数思想和数形结合思想 立体几何中的最值问题一般要用函数法或均 值不等式法 该题通过构造PQ关于AP的函数 借助图象看出当AP点与点重合时取最小 值 例 3 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AA 2AB E为 1 AA重点 则异面直线 BE与 1 CD所形成角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 解析 本题考查异面直线夹角求法 利用平移 CD BA 因此求 EBA 中 A BE 即可 易知 EB 2 A E 1 A B 5 故由余弦定理求 cos A BE 3 10 10 答案 C 分析 该题体现了转化与化归思想的考查 对与异面直线的夹角的求解 一种方法是通过 这种平移的方法将所求的夹角转化为三角形中的内角 通过解三角形即可 另一种是利用空 间向量这一工具来求解 专题演练 1 用与球心距离为1的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 A 3 8 B 3 28 C 28 D 3 32 2 给定空间中的直线l及平面 条件 直线l与平面 内无数条直线都垂直 是 直线 l与平面 垂直 的 条件 A 充要 B 充分非必要 C 必要非充分 D 既非充分又非必要 3 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 用心 爱心 专心 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 4 设 OA 是球 O 的半径 M 是 OA 的中点 过 M 且与 OA 成 45 角的平面截球 O 的表面得到 圆 C 若圆 C 的面积等于 4 7 则球 O 的表面积等于 5 一个棱锥的三视图如图 则该棱锥的全面积 单位 2 cm 为 A 48 12 2 B 4824 2 C 36 12 2 D 3624 2 6 如图 在三棱锥PABC 中 PAB是等边三角形 PAC PBC 90 证明 AB PC 若4PC 且平面PAC 平面PBC 用心 爱心 专心 求三棱锥PABC 体积 7 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以BD的中点O为球心 BD为直径的球 面交PD于点M 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线PC与平面ABM所成的角 3 求点O到平面ABM的距离 参考答案 1 答案 B 解析 截面面积为 截面圆半径为 1 又与球心距离为1 球的半径是2 所以根据球的体积公式知 3 48 2 33 R V 球 故 B 为正确答案 2 答案 C 解析 直线与平面 内的无数条平行直线垂直 但该直线未必与平面 垂直 即充分性不成 立 因此选 C 3 答案 C 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为 2 四棱锥的底面边长为2 高为3 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何 体的体积为 2 3 2 3 4 答案 8 解析 本题考查立体几何球面知识 注意结合平面几何知识进行运算 O A P B C M D 用心 爱心 专心 由 8 14 4 7 4 44 22 RS 5 答案 A 解析 棱锥的直观图如右 则有 PO 4 OD 3 由勾股定理 得 PD 5 AB 62 全面积 为 2 1 6 6 2 2 1 6 5 2 1 62 4 48 122 故选 A 6 解析 因为PAB 是等边三角形 90PACPBC 所以Rt PBCRt PAC 可得ACBC 如图 取AB中点D 连结PD CD 则PDAB CDAB 所以AB 平面PDC 所以ABPC 作BEPC 垂足为E 连结AE 因为Rt PBCRt PAC 所以AEPC AEBE 由已知 平面PAC 平面PBC 故90AEB 因为Rt