烟台市2014届高三上学期期末考试高三数学试题(理)

1 烟台市烟台市 2014 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 数 学 理 注意事项 1 本试题满分 150 分 考试时间为 120 分钟 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题给出四个选项 只有一个 选项符合题目要求 把正确选项的代号涂在答题卡上 1 设全集 则图中阴影部分表示的集合为 30 1UR Mx x xNx x A B 30 xx 1x x C D 3x x 10 xx 2 在递减等差数列中 若取最大值时 n a 15 0 n aaS 则 n 等于 A 2B 3C 4D 2 或 3 3 右图是一个几何体的三视图 其中正视图和侧视图都是一 个两底长分别为 2 和 4 腰长为 4 的等腰梯形 则该几何体 的侧面是 A B C 18D 24 9 12 4 设 则下列不等式成立的是01ab A B C D 33 ab 11 ab 1 b a 10g ba 5 设 m n 是不同的直线 是不同的平面 有以下四个命题 A B C D 2 6 在的对边长分别为ABCBC 中 若 4 3 452 2 3 bcBcb C 则 A 30 B 60 C 120 D 60 或 120 7 函数的图像可能是 lnxx y x 8 若点的弦 MN 的中点 则弦 MN 所在直线方程为 22 1 160Pxyx 为圆 A B 230 xy 210 xy C D 230 xy 210 xy 9 若点 P 是函数图象上任意一点 且在点 P 处切线的 11 3 22 xx yeexx 倾斜角为的最小值是 则 A B C D 5 6 3 4 4 6 10 已知直线 l 过抛物线的焦点 F 交抛物线于 A B 两点 且点 A B 到 y 轴 2 4yx 的距离分别为 m n 则 m n 2 的最小值为 A B C 4D 6 4 26 2 11 如图 O 为线段外一点 若 02013 A A 中任意相邻两点的距离 01232013 A A A AA 相等 用 a b 表示 02013 OAa OAb 3 其结果为 0232013 OAOAOAOA A 1006 a b B 1007 a b C 2012 a b D 2014 a b 12 定义在 R 上的函数 如果存在函数 k b 为常数 使得 f x g xkxb 对一切实数 x 都成立 则称为函数的一个承托函数 现有如下 f xg x g x f x 命题 对给定的函数 其承托函数可能不存在 也可能有无数个 f x 函数为函数的一个承托函数 2g xx 2xf x 定义域和值域都是 R 的函数不存在承托函数 f x 其中正确命题的序号是 A B C D 二 填空题 本大题共有 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 请将正确答案填在答题卡 相应位置 13 已知 4 0 cos tan2 25 且则 14 若 x y 满足约束条件则目标函数的最大值是 1 2 03 xy xy y 2zyx 15 对成立 则实数 a 的取值范围是 2 431xRaxx 不等式l og 16 已知函数的图 32 f xxaxbx a bR 象如图所示 它与 x 轴在原点处相切 且 x 轴与函 数图象所围成的区域 如图阴影部分 的面积为 则 a 1 12 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答时要 求写出必要的文字说明 证明过程或推理步骤 17 本小题满分 12 分 4 已知函数 2 3sincossin 2 44 f xxxx 1 求的最小正周期 f x 2 若将的图象向右平移个单位 得到函数的图象 求函数在区 f x 3 g x g x 间上的最大值和最小值 并求出相应的 x 的值 0 2 18 本小题满分 12 分 如图 菱形 ABCD 中 平面 ABCD 平面60 ABCAE CF ABCD AB AF 2 CF 3 1 求证 EF平面 BDE 2 求锐二面角 E BD F 的大小 19 本小题满分 12 分 已知数列的前 n 项和为 对一切正整数 n 点在函数 n a n S nn P n S 的图像上 且过点的切线的斜率为 2 2f xxx nn P n S n K 1 求数列的通项公式 n a 2 若的前 n 项和 2 n k nnn bab 求数列 n T 20 本小题满分 12 分 近日 国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动 大力增产市场适销对路产品的通 知 并发布了当前国内市场 185 种适销工业品和 42 种滞销产品的参考目录 为此 一公 司举行某产品的促销活动 经测算该产品的销售量 P 万件 生产量与销售量相等 与促 销费用 x 万元满足 已知生产该产品还需投入 2 30 1 Pxa a x 其中为正常数 成本 10 2P 万元 不含促销费用 产品的销售价格定为元 件 20 4 P 1 将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数 2 促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 21 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 212ln 2 f xaxaxx xR 5 1 若曲线处的切线互相平行 求 a 的值及函数的 13yf xxx 在和 yf x 单调区间 2 设 若对任意 均存在 使得 2 2 x g xxx e 1 0 2x 2 0 2x 求实数 a 的取值范围 12 f xg x 22 本小题满分 13 分 椭圆 与双曲线有公共的焦点 22 22 10 xy Eab ab 22 2 22 1 03 3 xy m mm 过椭圆 E 的右顶点作任意直线 l 设直线 l 交抛物线两点 且 2 2yxMN 于 OMON 1 求椭圆 E 的方程 2 设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点 点 P 关于原点 O 的对称点为 A 关于 x 轴的对 称点为 Q 线段 PQ 与 x 轴相交于点 C 点 D 为 CQ 的中点 若直线 AD 与椭圆 E 的另 一个交点为 B 试判断直线 PA PB 是否相互垂直 并证明你的结论 6 数学 理 答案数学 理 答案 一 选择题 DDBDC DBDBC BA 二 填空题 13 14 13 15 16 7 24 4 12 1 三 解答题 17 解 1 3sin 2 sin2 2 f xxx 3cos2sin2xx 2sin 2 3 x 所以的最小正周期为 6 分 xf 2 将的图象向右平移个单位 得到函数的图象 xf 3 xg 2sin 2 333 g xf xx 2sin 2 3 x 时 0 2 x 2 2 333 x 当 即时 取得最大值 2 9 分 2 32 x 5 12 x xg 当 即时 取得最小值 12 分2 33 x 0 x xg3 18 1 证明 连接 设 ACBDOBDAC 为菱形 以为原点 为 轴正向 轴过ABCDBDAC OOAOBxyz 且平行于 建立空间直角坐标系 图 1 2 分OCF 则 301 201 030 030 FEDB 231 231 BEDE 102 EF 4 分 0 DEEF 0 BEEF DEEF BEEF 又 平面 6 分EBEDE EFBDE 2 由知 1 102 EF是平面的一个法向量 BDE 设是平面的一个法向量 m zyx BDF 331 331 BFDF 由 m0 DFm0 BF 7 得 033 033 zyx zyx 8 分 取 得 于是 3 x0 1 yzm 1 0 3 10 分cosmEF 2 2 510 5 但二面角 为锐二面角 BBDF 故其大小为 12 分 45 19 解 1 点 nn SnP都在函数xxxf2 2 的图像上 2 2 n Snn nN 2 分 当n2 时 1 21 nnn aSSn 当时 11 3aS 满足上式 1 n 所以数列 n a的通项公式为21 n an 6 分 2 由xxxf2 2 求导可得 22fxx 因为过点 nn SnP的切线的斜率为 n k 22 n kn 24 21 4 n kn nn ban 123 43445447421 4nn n T 4 2341 443445447421 4nn n T 4 两式相减得 231 34 3424421 4 nn n n T 4 9 分 21 1 4 1 4 34221 4 14 n n n 4 2 6116 4 99 n n n T 12 分 20 解 1 由题意知 210 20 4 pxp p y 将代入化简得 1 2 3 x P 6 分x x y 1 4 160 xa 2 13 1 1 4 217 1 1 4 17 x x x x y 8 当且仅当时 上式取等号 9 分1 1 1 4 xx x 即 当时 促销费用投入 1 万元时 厂家的利润最大 1a 当时 在上单调递增 1a 1 1 4 17 x x y 0 a 所以时 函数有最大值 即促销费用投入万元时 厂家的利润最大 xa a 综上 当时 促销费用投入 1 万元 厂家的利润最大 1a 当时 促销费用投入万元 厂家的利润最大 12 分 1a a 21 解 1 21 21 1 1 3 3 fxaxafafa x 由 1 3 ff 得 2 3 a 272 23 2 333 xx fxx xx 3 分 所以 单调递增区间为 yf x 3 0 2 2 单调递减区间为 6 分 3 2 2 2 若要命题成立 只须当 0 2x 时 maxmax f xg x 由可知 当 0 2x 时 max 0 2 0g xgg 2 2 exgxx 所以只须 max 0f x 8 分 对 f x来说 2 1 2 21 axx fxaxa xx 当 1 2 a 时 max 11 2ln2 2 f xfa aa 当1a 时 显然 max 0f x 满足题意 当 1 1 2 a 时 令 11 2ln21 22 h xxx x 所以递减 所以 满足题意 2 21 0 2 h x xx h x 0h x 所以 1 2 a 满足题意 10 分 当 1 2 a 时 f x在 0 2x 上单调递增 所以 max 2 2ln222f xfa 0 得 1 ln2 1 2 a 12 分 综上所述 ln2 1a 13 分 22 解 1 设点 11 yxM 22 yxN 9 设直线 代入并整理得 laxty xy2 2 022 2 atyy 所以 2 分 ayy tyy 2 2 21 21 故有 21212121 yyatyatyyyxxONOM 2 2121 2 1 ayyatyyt 222 2 1 aatat 解得 5 分aa2 2 2 a 又椭圆与双曲线有公共的焦点 故有3 c 所以椭圆的方程为 7 分1 4 2 2 y x 2 PBPA 证明 设 则 且 00 yxP 00 yxA 2 1 00 yxD 44 2 0 2 0 yx 将直线的方程代入椭圆的方程并整理得AD 00 0 0 4 yxx x y y 9 分01696 4 2 0 2 0 2 0 2 00 2 2 0 2 0 xyxyxxy