第八章-傅里叶变换.ppt

1 第八章傅里叶变换 2 8 1傅里叶积分 8 1 1傅里叶积分的概念 在工程计算中 无论是电学还是力学 经常要和随时间而变的周期函数fT t 打交道 例如 3 具有性质fT t T fT t 其中T称作周期 而1 T代表单位时间振动的次数 单位时间通常取秒 即每秒重复多少次 单位是赫兹 Herz 或Hz 最常用的一种周期函数是三角函数fT t Asin wt j 其中w 2p T 4 而Asin wt j 又可以看作是两个周期函数 人们发现 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近 sinwt和coswt的线性组合Asin wt j asinwt bcoswt 5 6 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可 通常研究在闭区间 T 2 T 2 内函数变化的情况 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近 而是要满足狄利克雷 Dirichlet 条件 即在区间 T 2 T 2 上 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数 1 连续或只有有限个第一类间断点 2 只有有限个极值点 7 第一类间断点和第二类间断点的区别 8 不满足狄氏条件的例 而在工程上所应用的函数 尤其是物理量的变化函数 全部满足狄氏条件 实际上不连续函数严格上讲都是不存在的 但经常用不连续函数来近似一些函数 使得思维简单一些 9 在区间 T 2 T 2 上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间V 此空间的向量就是函数 线性空间的一切理论在此空间上仍然成立 更进一步地也可以在此线性空间V上定义内积运算 这样就可以建立元素 即函数 的长度 范数 及函数间角度 及正交的概念 两个函数f和g的内积定义为 10 一个函数f t 的长度为 11 而在区间 T 2 T 2 上的三角函数系1 coswt sinwt cos2wt sin2wt cosnwt sinnwt 是两两正交的 其中w 2p T 这是因为cosnwt和sinnwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线性组合 当n m时 12 这是因为 13 由此不难验证 14 而1 coswt sinwt cosnwt sinnwt 的函数的长度计算如下 15 因此 任何满足狄氏条件的周期函数fT t 可表示为三角级数的形式如下 16 为求an 计算 fT t cosnwt 即 17 同理 为求bn 计算 fT t sinnwt 即 18 最后可得 19 而利用三角函数的指数形式可将级数表示为 20 如令wn nw n 0 1 2 21 给定fT t cn的计算如下 22 23 如图所示 例定义方波函数为 24 现以f t 为基础构造一周期为T的周期函数fT t 令T 4 则 25 则 26 sinc函数介绍 27 sinc x x sinc函数的图形 28 w 前面计算出 29 1 1 7 T 8 f8 t t 现在将周期扩大一倍 令T 8 以f t 为基础构造一周期为8的周期函数f8 t 30 则 31 则在T 8时 32 如果再将周期增加一倍 令T 16 可计算出 33 一般地 对于周期T 34 当周期T越来越大时 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状 因此 如果将方波函数f t 看作是周期无穷大的周期函数 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f t 的各个频率成份上的分布 称作f t 的傅里叶变换 35 对任何一个非周期函数f t 都可以看成是由某个周期函数fT t 当T 时转化而来的 作周期为T的函数fT t 使其在 T 2 T 2 之内等于f t 在 T 2 T 2 之外按周期T延拓到整个数轴上 则T越大 fT t 与f t 相等的范围也越大 这就说明当T 时 周期函数fT t 便可转化为f t 即有 36 37 38 如图 39 40 此公式称为函数f t 的傅里叶积分公式 简称傅氏积分公式 41 定义8 1称广义积分 为傅里叶积分 其中积分变量t取实值且从 到 为实值参数 可看成复变函数的朗级数 加以推广得到 42 8 2 2傅里叶积分的物理意义 频谱 周期为T的函数fT t 的傅里叶级数展开式 其中傅里叶系数 1 非正弦周期的频谱序列 43 从物理的观点来看 式 1 2 说明fT t 可表示为频率2n T的诸振动的叠加 频率为2n T的第n次振动的振幅2rn和相位 n 44 所有出现的诸振动的振幅和相位的全体在物理上由fT t 所描写的自然现象的频谱 由于cn的下标n取离散值 所反映的诸振动振幅随频率变化的图形是不连续的状态 故称为离散谱 例8 3求周期性矩形脉冲函数 的频谱序列 45 解 经计算可得 故所反映频率为2n T的第n次振动的振幅2rn和相位 n分别为 46 2 非周期函数的频谱函数 对定义在区间 上的非周期函数f t 可看成周期为 将 1 3 代入 1 2 令T 得 47 若记 我们可以讲 由f t 通过公式 1 4 得到频谱函数F 反之借助频谱函数又将f t 作为角频率为 的诸振动F ei td 2 的迭加形式 1 5 给出 频谱函数F 的模 F 通常称作f t 的振幅频谱 这个频谱的图形是连续的 称为连续谱 48 49 50 3 傅里叶积分的物理意义 频谱函数F 恰好反映前述频谱序列的和 51 8 1若f t 在 上满足条件 1 f t 在任一有限区间上满足狄氏条件 2 f t 在无限区间 上绝对可积 则有 8 1 3傅里叶积分定理 52 例8 5求矩形脉冲函数 的傅里叶积分 傅里叶积公式 解 此函数显然满足傅里叶积分定理条件 故傅里叶积分为 53 故傅里叶积分公式为 由傅里叶积分定理可得到 54 8 2傅里叶变换 8 2 1傅氏变换的定义 我们知道 若函数f t 满足傅氏积分定理的条件 则在f t 的连续点处 有 55 8 6 式叫做f t 的傅氏变换式 8 8 式为F w 的傅式逆变换式 f t 与F w 可相互转换 可记为F w L f t 和f t L 1 F w 56 还可以将f t 放在左端 F w 放在右端 中间用双向箭头连接 f t F w 8 6 式右端的积分运算 叫做f t 的傅氏变换 同样 8 8 式右端的积分运算 叫做F w 的傅氏逆变换 F w 称作f t 的象函数 f t 称作F w 的象原函数 可以说象函数F w 和象原函数f t 构成了一个傅氏变换对 57 58 这就是指数衰减函数的傅氏变换 根据 8 6 式 有 59 根据 8 8 式 有 60 61 可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数 因此有 如果令b 1 2 就有 62 求钟形脉冲函数的积分表达式 根据 1 8 式 63 例3解积分方程 解 给函数f x 在区间 0 上补充定义 使f x 在区间 上成为偶函数 则 64 65 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质 为了叙述方便起见 假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件 在证明这些性质时 不再重述这些条件 8 2 2傅里叶变换的性质 66 这个性质的作用是很显然的 它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合 它的证明只需根据定义就可推出 设F1 w F f1 t F2 w F f2 t a b是常数 则 F af1 t bf2 t aF1 w bF2 w 1 12 1 线性性质 67 同样 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质 L 1 aF1 w bF2 w af1 t bf2 t 1 13 例1求函数 的傅氏逆变换 解 因为 68 69 证由傅氏变换的定义 可知 2 位移性质 70 例2求函数 的傅氏逆变换 解 因为 71 例3证明 证 因为 72 3 微分性质 如果f t 在 上连续或只有有限个可去间断点 且当 t 时 f t 0 则F f t iwF f t 1 16 证由傅氏变换的定义 并利用分部积分可得 73 推论L 1 f n t iw nL 1 f t 1 17 同样 我们还能得到象函数的导数公式 设F f t F w 则 74 例4求函数 的傅氏变换 解 设 则 75 76 4 积分性质 77 的解 其中 t a b c均为常数 例2求微分积分方程 根据傅氏变换的微分性质和积分性质 且记F x t X w F h t H w 解 在方程两边取傅氏变换 可得 78 运用傅氏变换的线性性质 微分性质以及积分性质 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程 通过解代数方程与求傅氏逆变换 就可以得到此微分方程的解 另外 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一 79 80 81 性质小结 若F f t F w F g t G w 82 83 实际上 只要记住下面四个傅里叶变换 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出 84 6 卷积与卷积定理 称为函数f1 t 与f2 t 的卷积 记为f1 t f2 t 若已知函数f1 t f2 t 则积分 定义8 3 85 卷积的图示 86 在积分 中 令u t t 则t t u du dt 则 即卷积满足交换律 87 下证卷积满足结合律 即 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t 为此 令 则 88 交换二重积分的次序 得 令v t u 则u t v 89 例1证明 证根据卷积的定义 f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t 90 例2若 求f1 t f2 t 91 由卷积的定义有 92 定理1 2 卷积定理 假定f1 t f2 t 都满足傅氏积分定理中的条件 则f1 t f2 t F1 w F2 w 如f1 t F1 w f2 t F2 w 以及 93 证 按傅氏变换的定义 有 94 在物理和工程技术中 常常会碰到单位脉冲函数 因为有许多物理现象具有脉冲性质 如在电学中 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流 在力学中 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数 8 3 函数及其傅氏变换 95 例8 21在原来电流为零的电路中 某时间为t 0时刻进入一单位电量的脉冲 现在要确定电路上的电流i t 8 3 函数的概念 解 设q t 表示电路中的电荷函数 则 1 概念的引入 96 此外 电路在t 0以后到任何时刻 的总电量为 97 例8 2对某静止的单位质量物体施以瞬时外力F t 使其速度v t 突然增加一个单位 现在对外力F t 给以表示 解 由牛顿第二运动定律知 98 而物体在t 0的瞬时动量的增量为 99 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电流强度 引进一称为狄拉克 Dirac 的函数 简单记成d 函数 有了这种函数 对于许多集中于一点或一瞬时的量 例如点电荷 点热源 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等 就能够象处理连续分布的量那样 以统一的方式加以解决 100 2 函数的定义 定义1 4满足以下两个条件 的函数称为 函数 101 的函数称为 t t0 函数 定义8 5满足以下两个条件 102 当 趋于0时的极限函数 t 称为 函数 定义8 6函数序列 103 当 趋于0时的极限函数 t t0 称为 t t0 函数 定义8 7函数序列 104 工程上将d函数称为单位脉冲函数 可将d函数用一个长度等于1的有向线段表示 这个线段的长度表示d 函数的积分值 称为d函数的强度 105 8 3 2d函数的性质 1 筛选性质 106 107 108 2 d函数为偶函数 将d函数的定义利用矩形脉冲形式 109 例8 25证明 证明 利用筛选性质 110 111 3 相似性质 设a为实常数 则 4 d函数是单位阶跃函数的导数 112 113 8 3 3d函数的傅氏变换 114 可见 单位脉冲函数d t 与常数1构成了一傅氏变换对 同理 d t t0 和亦构成了一个傅氏变换对 115 在物理学和工程技术中 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件 即不满足条件 例如常数 符号函数 单位阶跃函数以及正 余弦函数等 然而它们的广义傅氏变换也是存在的