初一至初三数学全部知识点!!

七上 第二章 有理数 整数和分数统称为有理数 任何一个有理数都可以写成分数m n m n 都是整数 且 n 0 的形式 任何一个有理数都可以在 数轴上表示 无限不循环小数 和开平方开不尽的数叫作 无理数 比如 3 14159265358979 32384626 而有理数恰恰与它相反 整数和分数统称为有理数 其中包括整数和通常所说的分数 此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数 有理数分为正数 0 负数 正数又分为正整数 正分数 负数又分为负整数 负分数 如 3 98 11 5 72727272 7 22 都是有理数 全体有理数构成一个 集合 即有理数集 用粗体字母 Q 表示 较现代的一些数 学书则用空心字母 Q 表示 加法的交换律 a b b a 加法的结合律 a b c a b c 存在数 0 使 0 a a 0 a 对任意有理数 a 存在一个加法逆元 记作 a 使 a a a a 0 乘法的交换律 ab ba 乘法的结合律 a bc ab c 分配律 a b c ab ac 存在乘法的单位元 1 0 使得对任意有理数 a 1a a 对于不为 0 的有理数 a 存在乘法逆元 1 a 使 a 1 a 1 a a 1 0a 0 文字解释 一个数乘 0 还等于 0 0 的绝对值还是 0 第第二二章章 有有理理数数加加减减混混合合运运算算 1 理数加减统一成加法的意义 对于加减混合运算中的减法 我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法 这 样就可将混合运算统一为加法运算 统一后的式子是几个正数或负数的和的形式 我们 把这样的式子叫做 代数和 2 有理数加减混合运算的方法和步骤 1 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法 2 运用加法法则 加法交换律 加法结合律简便运算 有理数范围内已有的 绝对值 相反数等概念 在实数范围内有同样的意义 一般情况下 有理数是这样分类的 整数 分数 正数 负数和零 负有理数 非负有理数 整数和分数统称有理数 有理数可以用 a b 的形式表达 其中 a b 都是整数 且 互质 我们日常经常使用有理数的 比如多少钱 多少斤等 凡是不能用 a b 形式表达的实数就是无理数 又叫无限不循环小数 第三章 用字母表示数 代数式 由数和表示数的字母经有限次加 减 乘 除 乘方和开方等代数运算所得的 式子 或含有字母的数学表达式称为代数式 例如 ax 2b 2 3 等 全部初等代数总起来有十条规则 这是学习初等代数需要理解并掌握的要点 这十条规则是 五条基本运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 分配律 两条等式基本性质 等式两边同时加上一个数 等式不变 等式两边同时乘以一个 非零的数 等式不变 三条指数律 同底数幂相乘 底数不变指数相加 指数的乘方等于底数不变指数想 乘 积的乘方等于乘方的积 1 代数式 代数式是由运算符号 加 减 乘 除 乘方 开方 把数或表示数的字母 连结而成的式子 单独的一个数或者一个字母也是代数式 带有 等 符号的不是代数式 2 代数式的值 用数值代替代数式里的字母 计算后所得的结果p 叫做代数式 的值 求代数式的值可以直接代入 计算 如果给出的代数式可以化简 要先化简再求值 3 代数式的分类 把多项式中 同类项合成一项 叫做合并同类项 如果两个单项式 它们所含的字母相同 并且各字母的指数也分别相同 那么就称 这两个单项式为同类项 如 2ab 与 3ab m2n 与 nm2 都是同类项 特别地 所有 的常数项也都是同类项 把多项式中的同类项合并成一项 叫做同类项的合并 或合并同类项 同类 项的合并应遵照法则进行 把同类项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母的指 数不变 第四章 一元一次方程 概述概述 只含有一个未知数 并且含有未知数的式子都是整式 未知数的次数是 1 这样的方程叫 做一元一次方程 一元一次方程属于整式方程 即方程两边都是整式 一元指方程仅含有一个未知数 一次指未知数的次数为 1 且未知数的系数不为 0 我们将 ax b 0 其中 x 是未 知数 a b 是已知数 并且 a 0 叫一元一次方程的标准形式 这里a 是未知数的 系数 b 是常数 a 的次数是 1 性性质质 一 等式的性质一 等式两边加一个数或减一个数 等式两边相等 二 等式的性质二 等式两边乘一个数或除以一个数 0 除外 等式两边相等 三 等式的性质二 两边都可以有未知数 一一元元一一次次方方程程的的解解 1 当 a 0 b 0 时 方程有唯一解 x 0 2 当 a 0 b 0 时 方程有唯一解 x b a 一一元元一一次次方方程程与与实实际际问问题题 一元一次方程牵涉到许多的实际问题 例如 工程问题 种植面积问题 比赛比分问题 路程问题 第五章 走进图形世界 有的面是平面 有的面是曲面 我们知道 面与面相交成线 在棱柱与棱锥中 面与面的交线叫做棱 edge 其中 相邻两个侧面的交线叫做侧棱 棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点 vertex 棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点 棱柱的侧棱长相等 棱柱的上下底面是相同的多边形 直棱柱的侧面都是长方形 棱锥的侧面都是三角形 图形都是由点 point 线 line 面 plane 构成 第六章 平面图形的认识 一 线段和直线的有关性质 线段和直线的有关性质 两点之间的所有连线中 线段最短 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 线段的中点 线段的中点 线段的中点把线段分成两条长度相等的线段 角的平分线 角的平分线 角的平分线把角分成两个度数相等的角 线段长度的比较 线段长度的比较 1 度量法 先量出长度 再比较长度大小 2 重合法 两同条线段放在一条直线上 一个端点重合 观察另一端点位置 角的比较 角的比较 1 用量角器度量角 2 重合法 把角的顶点和一条边分别重合 然后看另一边的位置 另一边在外面的角大 角的两种定义 角的两种定义 1 角是由两条具有公共端点的射线组成的 2 角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的 角的有关性质 角的有关性质 1 同角 或等角 的余角相等 同角 或等角 的补角相等 2 对顶角相等 两直线平行的有关知识 两直线平行的有关知识 1 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 2 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 3 如果两条直线都与第三条直线平行 那么这两条直线互相平行 两直线垂直的有关知识 两直线垂直的有关知识 1 如果两条直线相交成直角 那么这两条直线互相垂直垂直 两条直线的交点叫做垂足 垂足 其中 一条直线叫做另一条直线的垂线 垂线 2 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3 过直线外一点作这条直线的垂线 这一点到垂足之间的线段叫垂线段垂线段 垂线段的长度 叫做点到直线的距离点到直线的距离 4 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 七年级下册七年级下册 第七章 平面图形的认识 二 同位角 两条直线被第三条直线所截 在二条直线的同侧 且在第三条直线的同旁的二 个角叫同位角 内错角 两条直线被第三条直线所截 在二条直线的内侧 且在第三条直线的两旁的二 个角叫内错角 同旁内角 两条直线被第三条直线所截 在两条直线的你侧 且在第三条直线的同旁的 两个角叫同旁内角 同位角相等两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 平移由两个方面所决定 平移的方向与平移的距离 某图形平移后所得的图形称为此图形的对应图形 平移不改变图形的大小与形状 图形经过平移后 连结各组对应点的线段平行 或在同一直线上 并且相等 三角形的定义 由 3 条不在同一直线上的线段 首尾依次相接组成的图形称为三角 边 组成三角形的三条线段 如右所示 线段 AB AC BC 就是三角形 的三条边 顶点 三角形任意两边的交点 A B C 如右所示 点 A B C 均为三角形的顶点 通常情况下 我们用三角形的三个顶点加以一个 来表示一个 三角形 在表示三角形时 三个字母之间并无顺序关系 如上图中 此三角形可以表示为 ABC 或 ACB 或 BAC 等等 内角 三角形两边所夹的角 称为三角形的内角 简称角 例如 ABC 中 A B C 都是三角形的内角 边 BC 称为 A 所对的边 或顶点 A 所对的边 因此边 BC 也可以 表示为 a 三角形的分类 1 按角分 为钝角的三角形钝角三角形 有一个角 为直角的三角形直角三角形 有一个角 是锐角的三角形锐角三角形 三个角都 三角形 2 按边分 等的三角形等边三角形 三边均相 相等的三角形等腰三角形 有两个边 均不相等不等边三角形 三个边 三角形 三角形任意两边之和大于第三边 高的定义 在三角形中 从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线 顶点与垂 足之间的线段称为三角形的高 注 1 三角形的高必为线段 2 三角形的高必过顶点垂直于对边 3 三角形有三条高 在三角形中 一个内角的平分线与它的对边相交 这个角的顶点与交点间的线段称为 三角形的角平分线 注 1 三角形的角平分线必为线段 而一个角的角平分线为一条射线 2 三角形的角平分线必过顶点平分三角形的一内角 在三角形中 连结一个顶点与它对边中点的线段 叫做 三角形的中线 1 三角形的中线必为线段 2 三角形的中线必平分对边 直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 n 边形的内角和等于 n 2 180 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角 多边形的外角 多边形的一边与另一边的延长线所组成的角 多边形每一顶点处有两个外角 这两个角是对顶角 n 边形就有 2n 个外角 多边形的外角和 在每个顶点处取这个多边形的一个外角 它们的和叫做这个多边形的 外角和 注 多边形的外角和并不是所有外角的和 第八章 幂的运算 am an am n am an am n am n amn ab n anbn n n a n 特别 n n a0 1 a 0 如 a3 a2 a5 a6 a2 a4 a3 1 n a 2 a6 3a3 3 27a9 3 1 5 2 2 2 3 14 1 0 1 第九章 从面积到乘法公式 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 平方差公式 a b a b a2 b2 因因式式分分解解 定定义义 把把一一个个 多多项项式式化化为为几几个个整整式式的的积积的的形形式式 这这种种变变形形叫叫做做把把这这个个多多项项式式因因式式分分解解 也也叫叫作作分分解解因因式式 提提公公因因式式法法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公公因因式式 如果一个多项式的各项有公因式 可以把这个公因式提出来 从而将多项式化成两 个因式乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提提公公因因式式法法 具具体体方方法法 当各项系数都是整数时 公因式的系数应取各项系数的 最大公约数 字母取各项的相同的字母 而且各字母的指数取次数最低的 取相同的多项式 多项 式的次数取最低的 如果多项式的第一项是负的 一般要提出 号 使括号内的第一项的系数成为正 数 提提出出 号号时时 多多项项式式的的各各项项都都要要变变号号 口口诀诀 找找准准公公因因式式 一一次次要要提提净净 全全家家都都搬搬走走 留留1 把把家家守守 提提负负要要变变号号 变变形形 看看奇奇偶偶 例如 am bm cm m a b c a x y b y x a x y b x y x y a b 注意 把 2a 2 1 2 变成 2 a 2 1 4 不叫提公因式 公公式式法法 如果把乘法公式反过来 就可以把某些多项式分解因式 这种方法叫公公式式法法 平平方方差差公公式式 a 2 b 2 a b a b 完完全全平平方方公公式式 a 2 2ab b 2 a b 2 注意 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式 其中有两项能写成两 个数 或式 的平方和的形式 另一项是这两个数 或式 的积的 2 倍 立立方方和和公公式式 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 立立方方差差公公式式 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 完完全全立立方方公公式式 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 a b 3 公式 a 3 b 3 c 3 3abc a b c a 2 b 2 c 2 ab bc ca 例如 a 2 4ab 4b 2 a 2b 2 3 分解因式技巧 1 分解因式与整式乘法是互为逆变形 2 分解因式技巧掌握 等式左边必须是多项式 分解因式的结果必须是以乘积的形式表示 每个因式必须是整式 且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数 分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止 注 分解因式前先要找到公因式 在确定公因式前 应从系数和因式两个方面考虑 3 提公因式法基本步骤 1 找出公因式 2 提公因式并确定另一个因式 第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母 第二步提公因式并确定另一个因式 注意要确定另一个因式 可用原多项式除以 公因式 所得的商即是提公因式后剩下的一个因式 也可用公因式分别除去原多项式的 每一项 求的剩下的另一个因式 提完公因式后 另一因式的项数与原多项式的项数相同 第十章 二元一次方程组 含有两个未知数 并且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫做 二元一次方程 把 两个一次方程联立在一起 那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组 有几个方程组成的一组方程叫做 方程组 如果方程组中含有两个未知数 且含未 知数的项的次数都是一次 那么这样的方程组叫做二元一次方程组 二元一次方程定义 一个含有两个未知数 并且未知数的都指数是1 的整式方 程 叫二元一次方程 二元一次方程组定义 两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程 叫二元一 次方程组 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一 次方程的解 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个公共解 叫做二元一次方程组的解 一般解法 消元 将方程组中的未知数个数由多化少 逐一解决 消元的方法有两种 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组的解有三种情况 1 有一组解 2 有无数组解 3 无解 第十一章 图形的全等 全等三角形的对应边 对应角相等 边角边公理 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 推论 AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等 斜边 直角边公理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 第十二章 数据在我们周围 为了一定的目的而对考察对象进行全面调查 称为普查 其中所考察对象的全体称为总体 population 而组成总体的每一个考察对象称为个体 individual 人们从总体中抽取部分个体进行调查 这种调查称为抽样调查 sampling investigation 其中从总体中抽取一部分个体叫做总体的一个样本 sample 样本中所抽取的这一部分个 体的数量称为样本容量 第十三章 感受概率 在一定条件下 有些事情我们事先能肯定它一定不会发生 这样的事情是不可能事件 在 一定条件下 有些事情我们事先能肯定它一定会发生 这样的事情是必然事件 在一定条 件下 生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生 这样的事情是随机事件 随 机事件发生的可能性有大有小 一个时间发生可能性大小的数值 称为这个事件的概率 八年级上册八年级上册 第一章 轴对称图形 轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形 1 什么叫轴对称 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后 能够与另一个图形重合 那么这两个图形关 于这条直线成轴对称 这条直线叫做对称轴 两个图形中的对应点叫做对称点 2 什么叫轴对称图形 如果把一个图形沿着一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 那么这个图形叫 做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 3 轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别 轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合 而轴对称图形是指一个图形的两 个部分沿某直线对折能完全重合 轴对称是反映两个图形的特殊位置 大小关系 轴对称图形是反映一个图形的特性 联系 两部分都完全重合 都有对称轴 都有对称点 如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体 这个整体就是一个轴对称图形 如果 把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形 这两个部分图形就成轴对称 常见的轴对称图形有 圆 正方形 长方形 菱形 等腰梯形 等腰三角形 等边三 角形 角 线段 相交的两条直线等 4 线段的垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也称线段的中垂线 5 轴对称的性质 成轴对称的两个图形全等 如果两个图形成轴对称 那么对称轴是对称点连线的垂直平分线 6 怎样画轴对称图形 画轴对称图形时 应先确定对称轴 再找出对称点 线段 角的轴对称性线段 角的轴对称性 1 线段的轴对称性 线段是轴对称图形 对称轴有两条 一条是线段所在的直线 另一条是这条线段的垂直平分线 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 到线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 结论 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合 2 角的轴对称性 角是轴对称图形 对称轴是角平分线所在的直线 角平分线上的点到角的两边距离相等 到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 结论 角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性 1 等腰三角形的性质 等腰三角形是轴对称图形 顶角平分线所在直线是它的对称轴 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 三线合一 2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有 2 个角相等 那么这 2 个角所对的边也相等 简称 等角对等 边 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 3 等边三角形 等边三角形的定义 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 l AB B A C E D O P l AB M 等边三角形的性质 等边三角形是轴对称图形 并且有 3 条对称轴 等边三角形的每个角都等于 600 等边三角形的判定 3 个角相等的三角形是等边三角形 有两个角等于 600的三角形是等边三角形 有一个角等于 600的等腰三角形是等边三角形 4 三角形的分类 斜三角形 三边都不相等的三角形 三角形 只有两边相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 等腰梯形的轴对称性等腰梯形的轴对称性 1 等腰梯形的定义 梯形的定义 一组对边平行 另一组对边不平行为梯形 梯形中 平行的一组对边称为底 不平行的一组对边称为腰 等腰梯形的定义 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 2 等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形 是两底中点的连线所在的直线 等腰梯形同一底上两底角相等 等腰梯形的对角线相等 3 等腰梯形的判定 在同一底上的 2 个底角相等的梯形是等腰梯形 补充 对角线相等的梯形是等腰梯形 第二章 勾股定理与平方根 勾股定理 勾股定理的应用勾股定理 勾股定理的应用 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 数学式子 C 900 222 abc 2 神秘的数组 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 数学式子 C 900 222 abc 满足 a2 b2 c2三个数 a b c 叫做勾股数 3 一般的 如果一个数的平方等于 a 那么这个数叫做 a 的平方根 也叫做二次方根 一个正数的平方根有两个 他们互为相反数 0 只有一个平方根 它是 0 本身 负数没有平方根 一般的 如果一个数的立方等于 a 那么这个数就叫做 a 的立方根 也称为三次方根 AD CB C B A c b a 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0 的立方根是 0 无限不循环小数称为无理数 有理数和无理数统称为实数 常见的无理数有 无限不循环小数 如 0 010010001 开不尽的根号 如 等35 3 4 3 7 圆周率 如 3 14 等 3 4 近似数的认识 实际生产生活中的许多数据都是近似数 例如测量长度 时间 速度所得的结果都是 近似数 且由于测量工具不同 其测量的精确程度也不同 在实际计算中对于像 这样的 数 也常常需取它们的近似值 请说说生活中应用近似数的例子 取一个数的近似值有多种方法 四舍五入是最常用的一种方法 用四舍五入法取一个 数的近似数时 四舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一位 例如 圆周率 3 1415926 取 3 就是精确到个位 或精确到 1 取 3 1 就是精确到十分位 或精确到 0 1 取 3 14 就是精确到百分位 或精确到 0 01 取 3 142 就是精确到千分位 或精确到 0 001 5 有效数字 对一个近似数 从左面第一个不是 0 的数字起 到末位数字止 所有的数字都称为 这个近似数的有效数字 例如 上面圆周率 的近似值中 3 14 有 3 个有效数字 3 1 4 3 142 有 4 个有效数字 3 1 4 2 第三章 中心对称图形 一 中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形 1 图形的旋转 在平面内 将一个图形绕一个定点旋转一定的角度 这样的图形运动称为图形的旋转 这个定点称为旋转中心 旋转的角度称为旋转角 旋转前 后的图形全等 对应点到旋转 中心的距离相等 每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等 2 中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果它能够与另一个图形重合 那么称这两个图 形关于这一点对称 也称这两个图形成中心对称 这个点叫做对称中心 两个图形中的对 应点叫做对称点 注意 中心对称是旋转的一种特例 因此 成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质 成中心对称的 2 个图形 对称点的连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 3 中心对称图形 把一个平面图形绕着某一点旋转 180 如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重 合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对称中心 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 4 中心对称与中心对称图形之间的关系 区别 1 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种性质的图形 2 成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上 中心对称图形的对称点在一个图形上 联系 若把中心对称图形的两部分看成两个图形 则它们成中心对称 若把中心对称的两 个图形看成一个整体 则成为中心对称图形 5 对比轴对称图形与中心对称图形 轴对称图形中心对称图形 有一条对称轴 直线有一个对称中心 点 沿对称轴对折绕对称中心旋转 180O 对折后与原图形重合旋转后与原图形重合 平行四边形平行四边形 1 平行四边形的定义 2 组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 记作 ABCD 读作平行四边形 ABCD 平行四边形是中心对称图形 对角线的交点是它的对称中心 2 平行四边形的性质 平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 3 平行四边形的判定 2 组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 组对边分别相等的四边形是平行四边形 2 组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 矩形 菱形 正方形矩形 菱形 正方形 1 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 通常也叫长方形 2 矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形 它具有平行四边形的一切性质 矩形既是轴对称图形也是中心对称图形 对称轴是对边中点连线所在直线 有两 条 对称中心是对角线的交点 矩形的对角线相等 矩形的四个角都是直角 3 矩形的判定 O D CB A 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有 3 个角是直角的四边形是矩形 4 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 5 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形 它具有平行四边形的一切性质 菱形既是轴对称图形也是中心对称图形 对称轴是两条对角线所在直线 对称中 心是对角线的交点 菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 6 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 7 菱形的面积 S菱形 AC BD 1 2 8 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 9 正方形的性质 正方形具有矩形的性质 同时又具有菱形的性质 正方形既是轴对称图形也是中心对称图形 对称轴有四条 对称中心是对角线的交 点 10 正方形的判定 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 有一组邻边相等矩形形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 11 平行四边形 矩形 菱形 正方形之间的关系 三角形 梯形的中位线三角形 梯形的中位线 1 三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 区别三角形的中位线与三角形的中线 三角形中位线的性质 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 2 梯形的中位线 连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 注意 中位线是两腰中点的连线 而不是两底中点的连线 梯形中位线的性质 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 D CB A O 第四章 数量 位置的变化 数量 位置的变化 平面直角坐标系数量 位置的变化 平面直角坐标系 1 数量的变化 生活中处处有变化的数量关系 并且这些变化的数量之间往往有一定的联系 感受 用变化的观点分析数字信息的重要意义 实际问题中的数量常常会发生变化 表示这种变化通常有 3 种各具特色的表达方式 表格 图形 式子 可根据实际情况灵活选用 2 位置的变化 现实生活中 人们既关心事物的数量变化 也关心事物的位置变化 如行驶中的车辆 飞行中的火箭 航行中的船只 移动中的台风等位置的变化 3 平面直角坐标系 有关概念 平面上有公共原点且互相垂直的 2 条数轴构成平面直角坐标系 简称直角坐 标系 水平方向的数轴称为 x 轴或横轴 竖直方向的数轴称为 y 轴或纵 轴 它们统称坐标轴 公共原点 O 称为坐标原点 确定点的位置 点坐标 若平面内有一点 P 如图 我们应该如何确定它的位置 过点 P 分别作 x y 轴的垂线 将垂足对应的数组合起来形成一 对有序实数 这样的有序实数对叫做点的坐标点的坐标 可表示为 P a b 若已知点 Q 的坐标为 m n 该如何确定点 Q 的位置 分别过 x y 轴上表示 m n 的点作 x y 轴的垂线 两线的交点 即为点 Q 4 点坐标的特征 四个象限内点坐标的特征 两条坐标轴将平面分成 个区域称为象限 按逆时针顺序分别记作第一 二 三 四象限 数轴上点坐标的特征 x 轴上的点的纵坐标为 0 可表示为 a 0 y 轴上的点的横坐标为 0 可表示为 0 b 象限角平分线上点坐标的特征 第一 三象限角平分线上点的横 纵坐标相等 可表示为 a a 第二 四象限角 平分线上点的横 纵坐标互为相反数 可表示为 a a 对称点坐标的特征 P a b 关于 x 轴轴对称的点的坐标为 a b P a b 关于 y 轴轴对称的点的坐标为 a b P a b 关于原点原点对称的点的坐标为 a b Ox y 4231 4 3 2 1 2 3 1 4 3 2 1 4 P a b a b 函数函数 1 常量和变量 在数量和位置的变化过程中 数值保持不变的量叫做常量 可以取不同数值的量叫 做变量 2 函数 函数的定义 一般的 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y 如果对于变量 x 的每一个值 变量 y 都有唯一的值与它对应 我们称 y 是 x 的函数 其中 x 是自变量 y 是因变量 函数的表示方法 通常 表示 2 个变量之间的关系可用 3 种方法 表格 图形 式子 表示 2 个变量之间 关系的式子通常称为函数关系式 函数解析式 例如 s 100t 就是一个函数解析式 函数自变量的取值范围 自变量取使函数关系式有意义的值 叫做自变量的取值范围 例如式子中 能使它有意义的值是的一切实数 所以函数的 1 3 y x 3x 1 3 y x 取值范围是的一切实数 3x 常见的使函数解析式有意义的式子有 函数的解析式是整式时 自变量可以取全体实数 函数的解析式是分式时 自变量的取值要使分母不为 0 函数的解析式是二次根式时 自变量的取值要使被开方数是非负数 对实际问题中的函数关系 要使实际问题有意义 第五章 一次函数 一次函数一次函数 1 一次函数与正比例函数的定义 一般地 如果两个变量 x 与 y 之间的关系 可以表示为 y kx b k b 为常数 k 0 的形式 那么称 y 是 x 的一次函数 特别地 当 b 0 时 y 叫做 x 的正比例函数 2 如何求一次函数与正比例函数的解析式 因为正比例函数 y kx k 0 中的待定系数只有一个 k 因此确定正比例函数的解析 式只需 x y 一组条件 列出一个方程 从而求出 k 值 而一次函数 y kx b k 0 中的待定系数有两个 k 和 b 因此要确定一次函数的解析 式需 x y 的两组条件 列出一个方程组 从而求出 k 和 b 3 一次函数的图象 一般的 正比例函数 y kx 的图象是经过原点的一条直线 一次函数 y kx b 的图象是 由正比例函数 y kx 的图象沿 y 轴向上 b 0 或向下 b0 那么 y 的值随 x 的增大而增大 如果 k0 那么正比例函数的图象经过一 三象限 如果 k0 b 0 那么一次函数的图象经过一 二 三象限 如果 k 0 b 0 那么一次函数的图象经过一 三 四象限 如果 k0 那么一次函数的图象经过一 二 四象限 如果 k 0 bb 那么 a c b c 2 性质 2 如果 a b c 0 那么 ac bc 或 a c b c 3 性质 3 如果 a b c 0 那么 ac bc 或 a cb 的形式 1 若 a 0 则解集为 b a 2 若 a 0 则解集为 0 时 图象分别位于第一 三象限 当k0 时 在同一个象限内 y 随 x 的增大而减小 当 k0 时 函数在 x0 上同为减函数 k 0 时 函数在 x0 上同为增函数 定义域为 x 0 值域为 y 0 3 因为在 y k x k 0 中 x 不能为 0 y 也不能为 0 所以反比例函数的图象不可 能与 x 轴相交 也不可能与 y 轴相交 4 在一个反比例 函数图象上任取两点 P Q 过点 P Q 分别作 x 轴 y 轴的平 行线 与坐标轴围成的矩形面积为S1 S2 则 S1 S2 K 5 反比例函数的图象既是 轴对称图形 又是中心对称图形 它有两条 对称轴 y x y x 即第一三 二四象限角平分线 对称中心是坐标原点 6 若设正比例函数 y mx 与反比例函数 y n x 交于 A B 两点 m n 同号 那么 A B 两点关于原点对称 7 设在平面内有反比例函数 y k x 和一次函数 y mx n 要使它们有公共交点 则 b 4k m 不小于 0 8 反比例函数 y k x的渐近线 x轴与y轴 第十章第十章 图形的相似图形的相似 图图形形相相似似 如果两个图形形状相等 但大小不一定相等 那么这两个图形相似 相似的符号 如果两个多边形满足对应角相等 对应边的比相等 那么这两个多边形相似 相似多边形的对应边的比叫相似比 相似比为1 时 相似的两个图形 全等 相似多边形的对应角相等 对应边的比相等 相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形的面积比等于相似比的平方 三三角角形形相相似似 1 两个三角形的两个角对应相等 2 两边对应成比例 且夹角相等 3 三边对应成比例 4 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交 所构成的三角形与原三 角形相似 性性质质 1 相似三角形 的一切对应线段 对应高 对应中线 对应角平分线 外接圆半径 内切圆半径等 的比等于相似比 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 第十二章 认识概率 1 频率 各小组的频数之和等于总数 各小组的频率之和等于 1 频率分布直方 总数 频数 图中各个小长方形的面积为各组频率 2 概率 如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率 则 0 P A 1 P 必然事件 1 P 不可能事件 0 在具体情境中了解概率的意义 运用列举法 包括列表 画树状图 计算简单事件发生 的概率 大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值 九年级上册九年级上册 第二章 数据的离散程度 设有 n 个数x1 x2 xn 那么 平均数为 12 n xxx x n 极差 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围 用这种方法得到的 差称为极差 即 极差 最大值 最小值 方差 数据 的方差为 则 1 x 2 x n x 2 s 2 s 222 12 1 n xxxxxx n 标准差 方差的算术平方根 数据 的标准差 则 1 x 2 x n xss 222 12 1 n xxxxxx n 一组数据的方差越大 这组数据的波动越大 越不稳定 第三章 二次根式 I 二二次次根根式式的的定定义义和和概概念念 1 定义 一般地 形如 a 0 的代数式叫做二次根式 当a 0 时 表 示 a 的算数平方根 0 0 当 a 小于 0 时 非二次根式 在 一元二次方程 中 若根号 下为负数 则无实数根 2 概念 式子 a 0 叫二次根式 a 0 是一个非负数 II 二二次次根根式式 的的简简单单性性质质和和几几何何意意义义 1 a 0 0 双重非负性 2 2 a a 0 任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式 III 二二次次根根式式的的性性质质和和最最简简二二次次根根式式 1 二次根式 的化简 a a 0 a a a 0 2 积的平方根与商的平方根 ab a b a 0 b 0 a b a b a 0 b 0 3 最简二次根式 条件 1 被开方数的因数是整数或字母 因式是整式 2 被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式 如 不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 2 3 a a 0 x y 等 IV 二二次次根根式式的的乘乘法法和和除除法法 1 运算法则 a b ab a 0 b 0 a b a b a 0 b 0 二数二次根之积 等于二数之积的二次根 2 共轭因式 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式 那么这两个代数式叫做共轭因式 也称互为有理化根式 V 二二次次根根式式的的加加法法和和减减法法 1 同类二次根式 一般地 把几个二次根式化为最简二次根式后 如果它们的被开方数相同 就把这 几个二次根式叫做同类二次根式 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式 3 二次根式加减时 可以先将二次根式化为最简二次根式 再将被开方数相同的进 行合并 VII 分分母母有有理理化化 分母有理化有两种方法 I 分母是单项式 如 a b a b b b ab b 如图 II 分母是多项式 要利用平方差公式 如 1 a b a b a b a b a b a b 如图 根式中不能含有分母 分母中不能含有根式 第四章 一元二次方程 在一个等式中 只含有一个未知数 且未知数的最高项的次数的和是2 次的整式方 程叫做一元二次方程 一元二次方程有四个特点 1 只含有一个未知数 2 未知数的最高项的次数和 是 2 3 是整式方程 要判断一个方程是否为一元二次方程 先看它是否为整式方程 若是 再对它进行整理 如果能整理为 ax 2 bx c 0 a 0 的形式 则这个方程就为 一元二次方程 4 将方程化为一般形式 ax 2 bx c 0 时 应满足 a 0 ax 2 bx c 0 a b c 是实数 a 0 一一般般解解法法 1 配配方方法法 可解全部一元二次方程 如 解方程 x 2 2x 3 0 解 把常数项移项得 x 2 2x 3 等式两边同时加 1 构成完全平方式 得 x 2 2x 1 4 因式分解得 x 1 2 4 解得 x1 3 x2 1 用用配配方方法法解解一一元元二二次次方方程程小小口口诀诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 2 公公式式法法 可解全部一元二次方程 其公式为 x b b 2 4ac 2a 3 因因式式分分解解法法 可解部分一元二次方程 因式分解法又分 提公因式法 公式法 又分 平 方差公式 和 完全平方公式 两种 和 十字相乘法 如 解方程 x 2 2x 1 0 解 利用完全平方公式因式分解得 x 1 2 0 解得 x1 x2 1 4 开开方方法法 可解全部一元二次方程 5 代代数数法法 可解全部一元二次方程 ax 2 bx c 0 同时除以 a 可变为 x 2 bx c 0 设 x y b 2 方程就变成 y 2 b 2 4 by by b 2 2 c 0 再变成 y 2 b 2 3 4 c 0 y b 2 3 4 c 如如何何选选择择最最简简单单的的解解法法 1 看是否可以直接开方解 2 看是否能用因式分解法解 因式分解的解法中 先考虑提公因式法 再考虑平 方公式法 最后考虑十字相乘法 3 使用公式法求解 4 最后再考虑配方法 配方法虽然可以解全部一元二次方程 但是有时候解题太 麻烦 一一元元二二次次方方程程的的判判断断式式 b 2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根 b 2 4ac 0 方程有两个相等的实数根 b 2 4ac 0 方程有两个共轭的虚数根 初中可理解为无实数根 上述由左边可推出右边 反过来也可由右边推出左边 列列一一元元二二次次方方程程解解题题的的步步骤骤 1 分析题意 找到题中未知数和题给条件的相等关系 2 设未知数 并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数 3 找出相等关系 并用它列出方程 4 解方程求出题中未知数的值 5 检验所求的答案是否符合题意 并做答 韦达定理 X1 X2 b a X1 X2 c a 第五章 中心对称图形 二 圆 定义 圆的定义有 2 其一 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 其二 平面上一条线段 绕它的一端旋转360 留下的轨迹叫圆 概概括括 把一个圆按一条直线对折过去 并且完全重合 展开再换个方向对折 折出后 这些折 痕相交的一个点 叫做 圆心 用字母 O 表示 连接圆心和 圆上的任意一点的线段叫 做半径 用字母 r 表示 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径 用字母 d 表 示 圆心定圆的位置 半径和直径定圆的大小 在同一个圆或等圆中 半径都相等 直径也都相等 直径是半径的2 倍 半径是直径的 1 2 用字母表示是 d 2r 或 r d 2 圆圆的的相相关关量量 圆周率 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率 它是一个无限不循环的小数 通常用 表示 3 1415926535 在实际应用中我们只取它的近似值 即 3 14 在奥数中一般 只取 3 3 1416 或 3 14159 圆弧和弦 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为 劣弧 连接圆上任意两点的线段叫做弦 弦不能过圆心 过圆心 的为直径 圆心角和圆周角 顶点在圆心上的角叫做圆心角 顶点在圆周上 且它的两边分 别与圆有另一个交点的角叫做圆周角 内心和外心 过三角形的三个顶点的圆叫做 三角形的外接圆 其圆心叫做三角形 的外心 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 其圆心称为内心 扇形 在圆上 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形 圆锥侧面展开图是一个 扇形 这个扇形的半径称为 圆锥的母线 圆和圆的相关量字母表示方法 圆 半径 r 或 R 在环形圆中外环半径表示的字母 弧 直径 d 扇形弧长 圆锥母线 l 周长 C 面积 S 圆圆和和其其他他图图形形的的位位置置关关系系 圆和点的位置关系 以点 P 与圆 O 的为例 设 P 是一点 则 PO 是点到圆心的距离 P 在 O 外 PO r P 在 O 上 PO r P 在 O 内 PO r 直线与圆有 3 种位置关系 无公共点为相离 有两个公共点为相交 这条直线叫 做圆的割线 圆与直线有唯一公共点为相切 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共 点叫做切点 以直线 AB 与圆 O 为例 设 OP AB 于 P 则 PO 是 AB 到圆心的距离 AB 与 O 相离 PO r AB 与 O 相切 PO r AB 与 O 相交 PO r 两圆之间有 5 种位置关系 无公共点的 一圆在另一圆之外叫外离 在之内叫 内含 有唯一公共点的 一圆在另一圆之外叫 外切 在之内叫 内切 有两个公共点的 叫相交 两圆圆心之间的距离叫做 圆心距 两圆的半径分别为 R 和 r 且 R r 圆心 距为 P 外离 P R r 外切 P R r 相交 R r P R r 内切 P R r 内含 P R r 圆圆的的平平面面几几何何性性质质和和定定理理 一有关圆的基本性质与定理 圆的确定 画一条线段 以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360 度后得 到圆 圆与直线相切 圆的对称性质 圆是 轴对称图形 其对称轴是任意一条通过圆心的直线 圆也是 中 心对称图形 其对称中心是圆心 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平 分弦所对的 2 条弧 逆定理 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对 的 2 条弧 有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两个 圆周角 两组弧 两条弦 两条弦心距中有一组量相等 那么他们所对应的其余各组量 都分别相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 直径所对的圆周 角是直角 90 度的圆周角所对的弦是直径 如果一条弧的长是另一条弧的2 倍 那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2 倍 有关外接圆和内切圆的性质和定理 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆 外接圆圆心是三角形各边垂直平分线 的交点 到三角形三个顶点距离相等 内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点 到三角形三边距离相等 R 2S L R 内切圆半径 S 面积 L 周长 两相切圆的 连心线过切点 连心线 两个圆心相连的线段 圆 O 中的弦 PQ 的中点 M 过点 M 任作两弦 AB CD 弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X Y 则 M 为 XY 之中点 4 如果两圆相交 那么连接两圆圆心的线段 直线也可 垂直平分公共弦 5 圆心角的度数等于它所对的弧的度数 6 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半 7 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 8 圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半 9 圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半 有有关关切切线线的的性性质质和和定定理理 圆的切线垂直于过切点的半径 经过半径的一端 并且垂直于这条半径的直线 是这 个圆的切线 切线的判定方法 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的性质 1 经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线 2