不等式的综合应用.ppt

第六章 不等式 不等式的综合应用 第41讲 不等式与函数 例1 要使满足关于x的不等式2x2 9x a 0 解集非空 的每一个x的值至少满足不等式x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一个 求实数a的取值范围 点评 正确理解题意是解本题的关键 满足不等式2x2 9x a 0 解集非空 且设为C 的每一个x的值至少满足不等式x2 4x 3 0 设解集为A 和x2 6x 8 0 设解集为B 中的一个 意思是非空数集C是A B的子集 本题就变为 不等式2x2 9x a 0 解集非空 在区间 1 4 上有解 求参数a的取值范围问题 因此 可以构造函数 由于函数的零点在 1 4 内 可由数形结合 列出不等式组使问题得以解决 不等式与方程 例2 已知关于x的方程x2 ax 2 0的两根为x1 x2 试问是否存在实数m 使得不等式m2 lm 1 x1 x2 对任意实数a 1 1 及l 1 1 恒成立 若存在 求m的取值范围 若不存在 说明理由 点评 含参数的不等式在指定区间内恒成立 求参数的取值范围是不等式中常见的问题 解题过程充分体现了函数与方程的思想 通法是构造函数 利用函数的性质与图象来分析求解 巧法是分离参数 得出a f x 或a f x 在指定区间上恒成立 从而转化为求函数f x 的最值问题 变式练习2 若函数f x 4x a 2x a 1的图象与x轴有交点 求实数a的取值范围 实际问题的不等式解法 例3 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池 平面图形如图 如果池四周围墙建造单价为400元 米 中间两道隔墙建造单价为248元 米 池底建造单价为80元 米2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过16米 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出总造价 点评 本题考查函数 不等式等基础知识和基本方法 考查应用数学知识分析问题 解决问题的能力 最低造价 就是要求最小值 通过运算 变形后发现第 1 问可用基本不等式来求最值 第 2 问由于等号取不到 所以可以考虑用函数单调性的方法来求最小值 即先判明函数的单调性 再将区间端点代入即可 对于函数z x 324 x在 12 5 16 上的单调性可有两种方法判断 一是定义法 但较繁琐 二是导数法 此函数为二次函数 其图象是开口向下的抛物线 对称轴为直线x 230 所以z在 250 上是单调减函数 所以 当x 250时 z的最大值是1290 40 1250 即当年产量为250吨时 可获得最大利润 为1250万元 必要非充分 2 已知命题p x 1 2 x2 a 0 命题q x R 使x2 2ax 2 a 0 若命题 p q 是真命题 则实数a的取值范围是 a a 2 解析 当x 1 2 时 x2 1 4 x 1 2 x2 a 0 即a 1 x R 使x2 2ax 2 a 0 即 4a2 4 2 a 0 解得a 1或a 2 因为 p q 是真命题 所以a 2 6 4 已知f x 3x2 a 6 a x b 1 解关于a的不等式f 1 0 2 当f x 0的解集为 1 3 时 求实数a b的值 5 某建筑的金属支架如图所示 根据要求AB至少长2 8m C为AB的中点 B到D的距离比CD的长度小0 5m BCD 60 已知建筑支架的材料每米的价格一定 问怎样设计AB CD的长度 可使建造这个支架的成本最低 不等式的应用是利用不等式的基本性质和基本方法解决一些综合性问题和生活实际问题 大致有两种考查方式 一是利用基本不等式求函数的最大值和最小值 这首先要考虑适不适合 正 定 等 三个要素 二是将实际问题建立数学模型 转化为不等式 再用解不等式或利用基本不等式求变量的取值范围 进而求得问题所需要的结果 这里要提醒的是 利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件是一个非常好的习惯 尽管有时题目并没有要求这样做 因为它是检验转换是否有误的有力保障 特别是变量给出范围时 更要注意 2 应用不等式解决实际问题的一般步骤 1 阅读 理解材料 审清题意 尤其是带小括号说明的地方 领悟问题的实际背景 从中找出数学量 确定量与量之间的相等和不等关系 初步判明用怎样的数学模型才能够解决这一问题 2 建立数学模型 通过 1 的分析 将题目中的 文字语言 用 符号语言 表达 并将问题抽象成数学模型 判明是解不等式问题 还是基本不等式问题 或者是其他问题 列出数学式子 函数 等式 不等式等 3 用数学知识解得问题所需要的数值或范围 最后别忘了下结论 1 2010 南京期末卷 若不等式x2 2 x3 2x ax对x 0 4 恒成立 则实数a的取值范围是 选题感悟 不等式作为解决问题的重要工具 与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式恒成立问题是高考对不等式考查的热点 常用