固体物理题目与解答

1 1 理论证明由 10 种对称素只能组成 32 种不同的点群即晶体的宏观对称只 有 32 个不同类型 1 2 根据晶胞基矢之间的夹角 长度关系可将晶体分为 7 大晶系 对应的只有 14 种布拉伐格子 1 3 面心立方晶体在 100 方向上表面二维布拉伐格子是 正方格子 在 111 方向上表面二维布拉伐格子是 密排结构 1 4 晶体表面二维晶格的点群表示 由于晶格周期性在 Z 轴方向的限制 二维 晶格的对称素只有 6 个 即垂直于表面的 n 重转轴 1 2 3 4 6 5 个 垂直于 表面的镜面反演 m 1 个 由 6 种对称素可以组成 10 种二维点群 按照点群 对基矢的要求划分 二维格子有 4 个晶系 5 种布拉伐格子 1 5 在结晶学中 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的 周期性 又要考虑晶 体的 宏观对称性 1 6 六角密积属 六角晶系 一个晶胞 平行六面体 包含 两个 原子 1 7 对晶格常数为 a 的 SC 晶体 与正格矢 R ai 2aj 2ak 正交的倒格子晶面族的 面指数为 122 其面间距为 a3 2 1 8 典型离子晶体的体积为V 最近邻两离子的距离为R 晶体的格波数目为 长光学波的 纵 波会引起离子晶体宏观上的极化 3 4 3 R V 1 9 金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体 它有 6 支格波 1 10 在晶体衍射中 为什么不能用可见光 晶体中原子间距的数量级为 10 10 米 要使原子晶格成为光波的衍射光栅 光波 的波长应小于 10 10 米 但可见光的波长为 7 6 4 0 7 10 米 是晶体中原子间距 的 1000 倍 因此 在晶体衍射中 不能用可见光 2 1 离子晶体的特征 一种离子的最近邻离子为异性离子 离子晶体的配位数 最多只能是 8 2 2 离子晶体结合的稳定性 导电性能差 熔点高 硬度高和膨胀系数小 2 3 共价键结合的两个基本特征 饱和性和方向性 共价键的强弱取决于形 成共价键的两个电子轨道相互交叠的程度 2 4 共价晶体结合的一对平衡力是 外层未配对的自旋方向相反的电子电子云 重迭 和 内层相同电子态的电子之间的排斥 2 5 金属晶体结合的一对平衡力是 共有化电子云和离子实之间的相互作用 和 共有化电子云浓度增加伴随电子动能上升 2 6 共价结合 两原子电子云交迭产生吸引 而原子靠近时 电子云交迭会产生巨 大的排斥力 如何解释 共价结合 形成共价键的配对电子 它们的自旋方向相反 这两个电子的电子 云交迭使得体系的能量降低 结构稳定 但当原子靠得很近时 原子内部满壳层电 子的电子云交迭 量子态相同的电子产生巨大的排斥力 使得系统的能量急剧增 大 2 7 为什么许多金属为密积结构 金属结合中 受到最小能量原理的约束 要求原子实与共有电子电子云间的 库仑能要尽可能的低 绝对值尽可能的大 原子实越紧凑 原子实与共有电子电 子云靠得就越紧密 库仑能就越低 所以 许多金属的结构为密积结构 3 1 由一个原胞中原子的 3n 个位移分量方程得到对应 同一波矢的 3n 个不同格 波频率 而系统中的 波矢数等于系统原胞数 则格波数等于 晶体中总自 由度数 3 2 爱因斯坦模型 假定所有的原子以相同的频率振动 成功之处 通过选取合适的爱因斯坦温度值 在较大温度变化的范围内 理论 计算的结果和实验结果相当好地符合 且热容量随着温度降低而趋于零 不足之处 温度非常低时 热容量按温度的指数形式降低 而实验测得结果表 明 热容量按温度的 3 次方降低 原因 是爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别 3 3 德拜模型 以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性 的连续介质 成功之处 温度愈低时 德拜模型近似计算结果愈好 原因 这是因为温度很低时 主要的只有长波格波的激发 把格波看成连续介 质的弹性波是合适的 3 4 热膨胀的原因 如果振动是严格简谐的 则不存在热膨胀 实际的热膨胀是 原子之间非谐作用引起的 热传导的原因 不考虑电子对热传导的贡献 晶体中的热传导主要依靠声子来 完成 固体中存在温度梯度时 声子气体 的密度分布是不均匀的 平均声子数 随温度的关系是波色分布 简谐近似得到的结果是不同格波间是完全独立的 则不存在不同声子之间的相互作用 类似于理想气体的情形 实际上非谐作用 使不同格波之间存在一定的耦合 从而可以保证不同格波之间可以交换能量 达到统计平衡 3 5 什么叫简正振动模式 简正振动数目 格波数目或格波振动模式数目是否是 一回事 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾 在分析讨论晶格振动时 将原子间 互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似 在简谐近似下 由 N 个原子构成的晶体的晶格振动 可等效成 3N 个独立的谐振子的振动 每个谐 振子的振动模式称为简正振动模式 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振 动 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式 原子的振动 或者说格波振动 通常是这 3N 个简正振动模式的线形迭加 简正振动数目 格波数目或格波振动模式数目是一回事 这个数目等于晶体 中所有原子的自由度数之和 即等于 3N 3 6 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动 振动频率较高 它包含 了晶格振动频率最高的振动模式 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有 相对位移 原胞做整体运动 振动频率较低 它包含了晶格振动频率最低的振动模 式 波速是一常数 任何晶体都存在声学支格波 但简单晶格 非复式格子 晶体不存 在光学支格波 3 7 温度一定 一个光学波的声子数目多呢 还是声学波的声子数目多 频率为 的格波的 平均 声子数为 1 1 TkB e n 因为光学波的频率O 比声学波的频率A 高 1 TkB O e 大于 1 TkB A e 所以 在温度一定情况下 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目 3 8 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化 长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化 其根源是长光学格波使得原胞 内不同的原子 正负离子 产生了相对位移 长声学格波的特点是 原胞内所有的原 子没有相对位移 因此 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化 3 9 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗 实验已经证实 离子晶体能强烈吸收远红外光波 这种现象产生的根源是离子晶体 中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合 简单晶格中不存在光学波 所以 简单晶格不会吸收远红外光波 3 10 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么 按照爱因斯坦温度的定义 爱因斯坦模型的格波的频率大约为 Hz1013 属于光 学支频率 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小 低温下对热容贡献大的主要 是长声学格波 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在 低温下与实验存在偏差的根源 3 11 在甚低温下 德拜模型为什么与实验相符 在甚低温下 不仅光学波得不到激发 而且声子能量较大的短声学格波也未被 激发 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波 长声学格波即弹性波 德拜模 型只考虑弹性波对热容的贡献 因此 在甚低温下 德拜模型与事实相符 自然与实 验相符 4 1 布洛赫定理 在周期势场中运动的电子 其波函数满足 且本征函数为 振幅受到晶格周期调制的调幅平面波 4 2 近自由电子近似模型 金属中电子受到 原子实周期性势场的作用 并假定 势场的起伏较小 4 3 能量接近且具有相互作用的两个态 相互作用后的结果是原来能级较高的态 能量提高 原来能级较低的态 能量下降 4 4 禁带宽度和 能带的序号 以及 周期势场的起伏 有关 4 5 能带底部电子的有效质量 大于零 能带顶部电子的有效质量 小于零 4 6 赝势方法 4 7 紧束缚近似方法的思想 电子在一个原子 格点 附近时 主要受到该原子势场的作用 而将其它原子势 场的作用看作是微扰 将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性 组合 LCAO 理论 LinearCombinationofAtomicOrbitals 得到原子能级和晶体中 电子能带之间的关系 紧束缚讨论中 只考虑了不同原子 相同原子态之间的相互作用 4 8 波矢空间与倒格空间有何关系 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的 解答 波矢空间与倒格空间处于同一空间 倒格空间的基矢分别为321 bbb 而波矢空 间的基矢分别为32 NN 321 bbb 1 N N1 N2 N3分别是沿正格子基矢 321 aaa 方向晶体的原胞数目 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 321 bbb 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 reRr m Rki m NN b N b N b 3 3 2 2 1 1 即波矢空间中一个波矢点对应的体积 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1 N 由于 N 是晶体的原胞数目 数目巨大 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格 点对应的体积相比是极其微小的 也就是说 波矢点在倒格空间看是极其稠密的 因此 在波矢空间内作求和处理时 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的 4 9 在布里渊区边界上电子的能带有何特点 解答 电子的能带依赖于波矢的方向 在任一方向上 在布里渊区边界上 近自由电子 的能带一般会出现禁带 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交 则禁带的宽度 2 n KVEg n KV 是周期势场的付里叶级数的系数 不论何种电子 在布里渊区边界上 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜 率为零 即电子的等能面与布里渊区边界正交 4 10 当电子的波矢落在布里渊区边界上时 其有效质量何以与真实质量有显著差 别 解答 晶体中的电子除受外场力的作用外 还和晶格相互作用 设外场力为 F 晶格对 电子的作用力为 Fl 电子的加速度为 1 l m FFa 但 Fl的具体形式是难以得知的 要使上式中不显含 Fl 又要保持上式左右恒等 则 只有 Fa 1 m 显然 晶格对电子的作用越弱 有效质量 m 与真实质量 m 的差别就越小 相反 晶 格对电子的作用越强 有效质量 m 与真实质量 m 的差别就越大 当电子的波矢落 在布里渊区边界上时 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈 在 晶面族的反射方向上 各格点的散射波相位相同 迭加形成很强的反射波 正因为 在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强 所以其有效质量与真实质量有显著 差别 4 11 电子的有效质量 m变为 的物理意义是什么 解答 仍然从能量的角度讨论之 电子能量的变化 m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功 d d d 电子对晶格作的功外场力对电子作的功 d d 1 EE m 从上式可以看出 当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时 电子的有效 质量 m变为 此时电子的加速度 0 1 Fa m 即电子的平均速度是一常量 或者说 此时外场力与晶格作用力大小相等 方向相 反 4 12 紧束缚模型下 内层电子的能带与外层电子的能带相比较 哪一个宽 为什么 解答 以 s 态电子为例 由图 5 9 可知 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的 大小 而积分 rRrRrrrd n at sn at N at ss VVJ 的大小又取决于 r at s 与相邻格点的 n at s Rr 的交迭程度 紧束缚模型下 内层 电子的 r at s 与 n at s Rr 交叠程度小 外层电子的 r at s 与 n at s Rr 交迭程度 大 因此 紧束缚模型下 内层电子的能带与外层电子的能带相比较 外层电子的能 带宽 4 13 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么 解答 将电子的波矢 k 分成平行于布里渊区边界的分量 k 和垂直于布里渊区边界 的分量 k 则由电子的平均速度 1 kE k 得到 1 k E k E 1 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交 则在布里渊区边界上恒有 kE 0 即垂直于界面的速度分量 为零 垂直于界面的速度分量为零 是晶格对电子产 生布拉格反射的结果 在垂直于界面的方向上 电子的入射分波与晶格的反射分波 干涉形成了驻波 5 1 一维简单晶格中一个能级包含几个电子 解答 设晶格是由 N 个格点组成 则一个能带有 N 个不同的波矢状态 能容纳 2N 个 电子 由于电子的能带是波矢的偶函数 所以能级有 N 2 个 可见一个能级上包含 4 个电子 5 2 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同 解答 在低温下 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同 但本征半导体的禁带较窄 禁 带宽度通常在 2 个电子伏特以下 由于禁带窄 本征半导体禁带下满带顶的电子可 以借助热激发 跃迁到禁带上面空带的底部 使得满带不满 空带不空 二者都对导 电有贡献 5 3 两种不同金属接触后 费米能级高的带 正 电 对导电有贡献的是 费米面附 近 的电子 5 4 费米面 根据能量最小原理 电子填充尽可能低能级 因此能量最高的电子 处在一个等能面上 所有电子处于该等能