高考数学难点突破_难点04__三个“二次”及关系

难点 4 三个“二次”及关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 次”问题有关 握函数、方程及不等式的思想和方法 . 难点磁场 已知对于 x 的所有实数值，二次函数 f(x)=4a+12(a R)的值都是非负的，求关于 x 的方程2a 1|+2 的根的取值范围 . 案例探究 例 1已知二次函数 f(x)=bx+c 和一次函数 g(x)= 中 a、 b、 c 满足abc,a+b+c=0,(a,b,c R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点 A、 B； (2)求线段 x 轴上的射影 命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 题目 . 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合 . 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问 题的突破口，而忽略了“数” . 技巧与方法：利用方程思想巧妙转化 . (1)证明：由 消去 y 得 bx+c=0 =44( a c)2 4(a2+ac+4 (a+43)2 2 a+b+c=0,abc, a0, 0,即两函数的图象交于不同的两点 . (2)解：设方程 bx+c=0 的两根为 x1+|=(=(x1+ 443)21(41)(44)(4444)2(2222222abc,a+b+c=0,a0,c a cc,解得( 2,21) 1)(4)( 2 ( 2,21)时，为减函数 | (3,12),故 | ( 32,3 ). 例 2已知关于 x 的二次方程 m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间 ( 1， 0)内，另一根在区间 (1， 2)内，求 m 的范围 . (2)若方程两根均在区间 (0， 1)内，求 m 的范围 . 命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属级题目 . 知识依托：解答本题的闪光点是熟 知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 . 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点 . 技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 . 解： (1)条件说明抛物线 f(x)=m+1与 x 轴的交点分别在区间 ( 1， 0)和 (1， 2)内，画出示意图，得 65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(165 m. (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0， 1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(121,21,21里 00,f(x)在区间 p,q上的最大值 M，最小值 m,令 1(p+q). 若， f( ) | + (3) 当 a0 时 ， 二 次 不 等 式 f(x)0 在 p,q 恒 成 立,0)(,2;0)(;2,0)2(,2(4)f(x)0 恒成立 ,0 ,00)(;0 ,0,0 ,0 c 恒成立或 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )若不等式 (a 2)(a 2)x 40),若 f(m)0,则实数 p 的取值范围是 _. 4.( )二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2 x),若f(1 2 且 a 1) (1)令 t= y=f(x)的表达式； (2)若 x (0,2 时， y 有最小值 8，求 a 和 x 的值 . 6.( )如果二次函数 y=m 3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围 . 7.( )二次函数 f(x)=qx+r 中实数 p、 q、 r 满足qm p 12=0,其中m0,求证： (1),则 f(0)0,而 f(m) 0, m (0,1), m 1 0, f(m 1)0. 答案： A 二、 需 f(1)= 23p+90 或 f( 1)= 2p2+p+10 即 3 p23或21 p 1. p ( 3, 23). 答案： ( 3，23） f(2+x)=f(2 x)知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， |1 22| |1+2x 2|, 2 x 0. 答案： 2 x 0 三、 (1）由 t得 3=3 t=x=入上式得 x 3=xx , 3x+3，即 y=a 332 (x 0). (2)令 u=3x+3=(x23)2+43(x 0),则 y=若 0 a 1,要使 y=， 则 u=(x23)2+43在 (0， 2 上应有最大值，但 u 在 (0， 2 上不存在最大值 . 若 a1,要使 y=，则 u=(x23)2+43,x (0,2 应有最小值 当 x=23时， n=43,n= 43a 由 43a =8 得 a=16.所求 a=16,x=23. f(0)=10 (1)当 m 0 时，二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意 . (2）当 m0 时，则030 m 1 综上所述， m 的取值范围是 m|m 1 且 m 0. (1) )1()1()1( 2 rm )2()1()1()2(2)1(1)1(22222()1( 122 于 f(x)是二次函数，故 p 0,又 m0,所以， 0. (2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r 当 p 0 时，由 (1）知 f(1 0 若 r0,则 f(0)0,又 f(1 0,所以 f(x)=0 在 (0，1有解 ; 若 r 0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(2)+r=20, 又 f(1 0,所以 f(x)=0 在 (1)内有解 . 当 p 0 时同理可证 . (1）设该厂的月获利为 y, y=(160 2x)x (500+30x)= 230x 500 由 y 1300 知 230x 500 1300 65x+900 0， (x 20)(x 45) 0，解得 20 x 45 当月产量在 20