等比数列教案——经典

等比数列等比数列 教学设计教学设计 共 2 课时 第一课时第一课时 1 创设情境 提出问题创设情境 提出问题 阅读本章引言并打出幻灯片 情境 1 本章引言内容 提出问题 同学们 国王有能力满足发明者的要求吗 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为 1 2 2 2 2 43263 2 1 于是发明者要求的麦粒总数是 情境 2 某人从银行贷款 10000 元人民币 年利率为 r 若此人一年后还款 二年后还款 三年后还款 还款数额依次满足什么规律 10000 1 r 10000 10000 2 1 r 3 1 r 2 情境 3 将长度为 1 米的木棒取其一半 将所得的一半再取其一半 再将所 得的木棒继续取其一半 各次取得的木棒长度依次为多少 3 8 1 4 1 2 1 问 你能算出第 7 次取一半后的长度是多少吗 观察 归纳 猜想得 7 2 1 2 自主探究 找出规律 自主探究 找出规律 学生对数列 1 2 3 分析讨论 发现共同特点 从第二项起 每一项与前一项的比都等于同一常数 也就是说这些数列从第二项起 每一项 与前一项的比都具有 相等 的特点 于是得到等比数列的定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个 常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比常用 字母表示 即 q 0 q 1 2 0 nn aaq nN nq 如数列 1 2 3 都是等比数列 它们的公比依次是 2 1 r 2 1 点评 等比数列与等差数列仅一字之差 对比知从第二项起第二项起 每一项与前 2363 1 2 2 2 2 一项之 差差 为常数常数 则为等差数列 之 比比 为常数常数 则为等比数列 此常 数称为 公差 或 公比 3 观察判断 分析总结 观察判断 分析总结 观察以下数列 判断它是否为等比数列 若是 找出公比 若不是 说出 理由 然后回答下面问题 1 1 3 3 9 9 2727 8 1 4 1 2 1 1 1 1 2 2 4 4 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 思考思考 公比能为 0 吗 为什么 首项能为 0 吗 q 公比是什么数列 1 q 数列递增吗 数列递减吗 0 q0 q 等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式 这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具 选题分析 因为等差数列公差可以取任意实数 所以学生对公比往往忘dq 却它不能取 0 和能取 1 的特殊情况 以致于在不为具体数字 即为字母运算 时不会讨论以上两种情况 故给出问题以揭示学生对公比有防患意识 问题q 是让学生明白时等比数列的单调性不定 而时数列为摆动数列 0 q0 q 要注意与等差数列的区别 备选题 已知则 成等比数列的从要条件是什么 Rx 32 xxx n x 4 观察猜想 求通项 观察猜想 求通项 方法 1 由定义知道 归纳得 等 3 134 2 12312 qaqaaqaqaaqaa 比数列的通项公式为 1 1 n n qaa Nn 说明 推得结论的这一方法称为归纳法归纳法 不是公式的证明 要想对 这一方式的结论给出严格的证明 需在学习数学归纳法后完成 现 阶段我们只承认它是正确的就可以了 方法 2 迭代法 根据等比数列的定义有 23 123nnnn aaqaqaq 21 21 nn aqa q 方法 3 由递推关系式或定义写出 通过 3 4 2 3 1 2 q a a q a a q a a q a a n n 1 观察发现 3 4 2 3 1 2 a a a a a a qqq a a n n 1 1 n qq 即 1 1 nn q a a 1 1 n n qaa Nn 此证明方法称为 累商法累商法 在以后的数列证明中有重要应用 公式的特征及结构分析 1 1 n n qaa Nn 1 公式中有四个基本量 可 知三求一 体现方程思想 n aqna 1 2 的下标与的上标之和 恰是的下标 即的指数比 1 a 1 n qnn 1 1 n aq 项数少 1 5 问题探究 通项公式的应用问题探究 通项公式的应用 例 已知数列是等比数列 求的值 n a64 2 83 aa 14 a 备选题 已知数列满足条件 且 求的值 n a n n pa 5 4 25 4 4 a 8 a 6 课堂演练 教材 138 页 1 2 题 备选题 1 已知数列为等比数列 求的值 n a 4 5 10 6431 aaaa 4 a 备选题 2 公差不为 0 的等差数列中 依次成等比数列 n a 632 aaa 则公比等于 7 归纳总结 归纳总结 1 等比数列的定义 即 1 1 n n a q a 0 q 2 等比数列的通项公式及推导过程 1 1 n n qaa Nn 选作 1 已知数列为等比数列 且 求 n a 123123 7 8aaaa a a n a 2 已知数列满足 n a 11 1 21 nn aaa 1 求证 是等比数列 1 n a 2 求的通项 n a n a 第二课时 1 复习回顾复习回顾 上节课 我们学习了 打出幻灯片 1 等比数列定义 1 2 0 nn aaq nN nq 2 通项公式 1 1 n n qaa 0 nNq 3 若 数列是等比数列吗 对不对 1 1 n n an an n a 1 1 1 n n n aa n 注意 考虑公比为常数 q 2 尝试练习尝试练习 在等比数列中 n a 1 求 24 18 8aa 1 a q 2 求 5142 15 6 aaaa n a 3 在 2 与 8 之间插入一个数 A 使 2 A 8 成等比数列 求 A 鼓励学生尝试用不同的方法求解 相互讨论分析不同的解法 然后归纳出等比 数列的性质 3 性质探究性质探究 1 若 a G b 成等比数列 则有 称 G 为 a b 的等比中项 2 Gab 即 Gab ab与同号 思考 是谁的等比中项 呢 呢 2 a 3 a n a 总结归纳得到性质 2 2 2 11 2 nnn aaan 逆向思考 若数列满足 它一定是等比数列吗 n a 2 11 2 nnn aaan 3 若 则mnpq mnpq aaaa m n p q 为正整数 4 n m nm aaqnm n mN 4 灵活运用灵活运用 下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题 例 1 在等比数列中 求 n a 35 100aa 4 a 变式 1 等比数列中 若 则 n a 26 2 162aa 10 a 变式 2 等比数列中 若 则 n a 712 5aa 891011 aaaa 变式 3 等比数列中 若 则 n a 123123 7 8aaaa aa n a 例 2 已知数列是项数相同的等比数列 求证 是等比数列 nn ab nn ab 变式 1 已知数列是项数相同的等比数列 问数列是等比数列吗 nn ab nn ab 变式 2 已知数列是等比数列 若取出所有偶数项组成一个新数列 此数列还 n a 是等比数列吗 若是 它的首项和公比分别为多少 变式 3 已知数列是等比数列 若取出 组成一个新数列 此数 n a 102030 aaa 列还是等比数列吗 若是 它的首项和公比分别为多少 变式 4 已知数列是等比数列 若每一项乘以非零常数 C 组成一个新数列 此 n a 数列还是等比数列吗 若是 它的首项和公比分别为多少 通过上述问题的讨论求解 归纳 总结 推广得出等比数列的一些性质 例 3 三个数成等比数列 它们的和为 14 它们的积为 64 求这三个数 备选题 有四个数 前三个数成等比数列 其和为 19 后三个数成等差数列 其 和为 12 求这四个数 5 课堂演练 课堂演练 教材 138 页 3 4 5 备选题 已知数列为等比数列 且则 n a 243546 0 225 n aa aa aa a 35 aa 备选题 有四个数 前三个数成等比数列 后三个数成等差数列 首末两项和为 21 中间两项的和为 18 求这四个数 6 归纳总结归纳总结 1 等比中项的概念