福建省2016年“大梦杯”初中数学竞赛试题含参考答案

1 2016 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016 年 3 月 13 日 9 00 11 00 满分 150 分 一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分 ）。 每道小题均给出了代号为 A， B， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 。 请将正确选项的代号填入题后的括号里 ，不填、多填或错填都得 0 分） 1在 平面 直角坐标系 ，已知点 (0 2)B ， ，点 A 在 x 轴正半轴上且 30 。将沿直线 叠得 ，则点 C 的坐标为 （ ） A (1 3)， B ( 3 3)， C (3 3)， D ( 3 1)， 【答案】 B 【解答】 如图，设 CD x 轴于 点 D 。 依题意， 23C A O A， 2 6 0C A O B A O 。 所以， 3， 3， 3。 因此，点 C 的坐标为 ( 3 3)， 。 2若实数 a ， b 满足 2 32， 2 32，且 ，则 22(1 )(1 ) （ ） A 18 B 12 C 9 D 6 【答案】 A 【解答】 依题意， a ， b 为方程 2 3 2 0 的两个不同实根。 因此，由韦达定理得， 3 ， 2 。 22(1 ) (1 ) (1 2 3 ) (1 2 3 ) 9 (1 ) (1 ) 9 1 ( ) 9 (1 3 2 ) 1 8a b a b a b a b a b 。 或解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( ) 2 1 9 4 4 1 8a b a b a b a b a b a b 。 3若关于 x 的方程22 2 4 02 2 4x x x ax x x 只有一个实数根，则符合条件的所有实数 a 的值的总和为 （ ） A 6 B 30 C 32 D 38 【答案】 D 【解答】 方程22 2 4 02 2 4x x x ax x x 化为 22 4 8 0x x a 若方程有两个相等实根，则 1 6 8 ( 8 ) 0a ， 6a 。 6a 时，方程的根 121 ， 符合要求。 若 2x 是方程的根，则 8 8 8 0a ， 24a ，此时，方程的另一个根为 4x ，符合要求。 若 2x 是方程的根，则 8 8 8 0a ， 8a ，此时，方程的另一个根为 0x ，符合要求。 2 所以，符合条件的 a 有 6 ， 24 ， 8 ，其总和为 38 。 4如图，在 中， 6， 3， 7， I 为 的内心，连接 延长交 点 D 。 记 的面积为 m ， 的面积为 n ，则 ） A 32B 43C 53D 74【答案】 C 【解答】 依题意， m D。 由 I 为 的内心知， C B D B D。 所以，由等比定理知， 7 3 563m I C A C B C A C B D A D B D A D D B 。 5已知 x ， y 为实数，且满足 2244x xy y ，记 224u x xy y 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 （ ） A 403B 6415C 13615D 315【答案】 C 【解答】 由 2244x xy y ，得 2244x y ， 224 2 4u x x y y x y 。 2 2 25 4 ( 4 4 ) ( 2 ) 4 4x y x y x y x y ，当且仅当 2 ，即 2 105x，105y ，或 2 105x ， 105y 时等号成立。 最小值为 45， 224 2 4u x x y y x y 的最小值为 125，即 125m。 2 2 23 4 ( 4 4 ) 4 ( 2 ) 4x y x y x y x y ，当且仅当 2，即 263x， 63y或263x ， 63y 时等号成立。 最大值为 43， 224 2 4u x x y y x y 的最大值为 203，即 203M。 2 0 1 2 1 3 63 5 1 5 。 或解： 由 2244x xy y ，得 2244x y ， 224 2 4u x x y y x y 。 （第 4 题） A 设 xy t ，若 0x ，则 4 ； 0x 时， 将 入 2244x xy y ， 得 2224 4 ，即 4 2 2( 4 ) 4 0x t x t ， 由 22( 4 ) 1 6 0 ，解得 4453t 。 将 43t代入方程，解得 2 83x ， 263x ； 45t代入方程，解得 2 85x ， 2 105x 。 最大值为 43，最小值为 45。 因此， 8 2 0433M ， 8 1 2455m ， 2 0 1 2 1 3 63 5 1 5 。 二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6在平面直角坐标系内有两点 (1 1)A ， ， (2 3)B ， ，若一次函数 2y 的图像与线段 则 k 的取值范围为 。 【答案】 112k 【解答】 易得直线 应的一次函数的解析式为 21。 由 212，得 ( 2) 3 依题意，方程有 12x的解。 20k ，且 3122k，解得 112k 。 故 k 的取值范围为 112k 。 或通过作图求解 。 7如图， 在 中 ， D 为 上一点， E 为线段 一点，延长 点 F 。若 25 12则 【答案】 27【解答】 如图，过点 C 作 F 交 延长线于点 G ，则 G。 又由 E ， 知 D G C D E B 。 7 题） 4 32D G D D B。 37222A G A D D G D E D E D E 。 27A F A E D A G A G。 8设1x，2x，3x，n 个互不相同的正整数，且1 2 3 2017nx x x x L，则 。 【答案】 63 【解答】 依题意，1 1x，2 2x ，3 3x ， 1 2 3 ( 1 )2 0 1 7 1 2 3 2n x x x n 于是， ( 1)20172， 63n 。 又当1 1x，2 2x ，3 3x ，62 62x ，63 64x 时， 1 2 3 6 2 6 3 6 3 6 41 2 3 6 2 6 4 1 2 0 1 72x x x x x 所求 n 的最大值为 63。 9如图， O 的直径， O 的切线， O 于 E 点，若 5则 。 【答案】 55【解答】 由 O 的直径知， C 。 设 CE m ，则5OA m ， 25AB m 。 由条件易得 A C E B A E ， E， 2 E ，即 2AE 。 结合 2 2 2A B A E E B，得 22( 2 5 )m m E B E B。 （或由射影定理得 2E ，即 2( 2 5 ) ( )m B E B E m ） 222 0 0E B m E B m ，解得 4EB m 或 5EB m （舍去）。 2AE m ， 25525A E m。 9 题） 5 10 若正整数 x ， y ， z 满足方程组 3 3 3237 ( )x y z x y zx y z ，则 最大值为 。 【答案】 84 【解答】 由 3 3 3 3x y z ，得 3 3 3 2 2 213 ( ) ( ) ( ) ( ) 02x y z x y z x y z x y x z z y 。 结合 x ， y ， z 为正整数得， 2 2 2( ) ( ) ( ) 0x y x z z y ， 于是 0x y z 。 2 7， 7x ， 7 。 当 7x ， 3y ， 4z 或 7x ， 4y ， 3z 时， 最大值 84。 6 三、解答题（共 4 题，每 小 题 20 分，共 80 分） 11若关于 x 的方程 2 ( 3 ) 2 0x a x a 有两个不相等的整数根，求 a 的值。 【解答】 设1x，2数 根，则12 3x x a ，12 2x x a。 3a ， 2a 均为整数。因此， a 为整数。 5 分 2 2 2( 3 ) 4 ( 2 ) 1 0 1 7 ( 5 ) 8a a a a a 为完全平方数。 设 22( 5 ) 8 （ t 为 整数，且 0t ）。 则 22( 5 ) 8 。于是， ( 5 ) ( 5 ) 8a t a t 。 10 分 由于 5 ， 5 奇偶性相同，且 55a t a t 。 5452 或 5254 。 解得 21或 81。 15 分 经检验 2a ， 8a 符合要求。 2a 或 8a 。 20 分 另解： 设 m ， n （ ）是方程两个不相等的整数根。 则 22( 3 ) 2 0( 3 ) 2 0m a m an a n a 。 两式相减，得 ( ) ( ) ( 3 ) ( ) 0m n m n a m n 。 由 ，得 3m n a， 3a m n 。 5 分 将 3a m n 代入，得 10m n m n 。 ( 1) ( 1) 2 。 10 分 由于 m ， n 为整数，且 ，因此， 1211 或 1112。 10或 23。 15 分 当 10时， 32a m n ； 23时， 38a m n 。 2a 或 8a 。 20 分 7 12 如图， H 为 的垂心，圆 O 为 的外接圆。点 E 、 F 为以 C 为圆心、 的交点， D 为线段 垂直平分线与圆 O 的交点。 求证：（ 1） 直平分线段 （ 2） B 。 【解答】 （ 1） 解法一： 如图， 连结 由 H 为 的垂心知， 180A H C A B C 。 由 A 、 B 、 C 、 E 四点共圆，得 180A E C A B C 。 A E C A H C 。 5 分 又 E ， C E H C H E ， A E H A H E ， H 。 直平分线段 10 分 解法二： 作点 H 关于直线 对称点 G 。 连结 则 H ，点 G 在以 C 为 圆 心 、 为 半 径 的 圆上。 5 分 又 A G C A H C ， H 为 的垂心， 180A G C A H C A B C ， A 、 G 、 C 、 B 四点共圆。 因此， 点 G 也在圆 O 上。 E 、 G 两点重合。 因此， E 、 H 关于直线 称，即 直平分线段 10 分 （ 2） 连结 依题意有 C E C H C F。结合 D 为线段 垂直平分线与圆 圆 O 的直径。 C 。 又由（ 1） ，以及 H 为 的垂心 知， C ，C 。因此， B 、 H 、 E 三点共线。 C 。 15 分 9 0 9 0D C E C D E C B E A C B 。 。 B 。 20 分 或： 通过 D A E A D B ，证明 B 。 或通过证明四边形 腰梯形，证明B 。 G )A（第 12题） 8 13对于整数 3n ，用 ()n 表示所有小于 n 的素数的乘积。求满足条件 ( ) 2 2 3 2的所有正整数 n 。 【解答】 解法一： 若 11n ，则 11整除 ()n ，但 11不能整除 22 32n 。 因此， 11n 不符合要求。故， 11n 。 10 分 若 7 11n ，则 ( ) 2 3 5 7 2 1 0n ，由 2 1 0 2 2 3 2n，得 11n 。 15 分 若 5 6 7 ，则 ( ) 2 3 5 3 0n ，由 3 0 2 2 3 2n，得 正整数 n 不存在。 若 35n，则 ( ) 2 3 6n ，由 6 22 32n，得 正整数 n 不存在。 若 3n ，则 ( ) 2n ，由 2 22 32n，得 正整数 n 不存在。 满足条件的正整数 n 只有 1 个， 11n 。 20 分 解法二： 由 ( ) 2 2 3 2，得 ( ) 1 0 2 4 2 2 ( 4 8 ) 。 由于 ()n 是偶数，但不是 4 的倍数，因此， 48n 是奇数。 5 分 若 48 3n，则 48n 含有奇数的素数因子 p ，即 p 为奇素数，且 p 整除 48n 。 由 48知， p 整除 ()n 。由此 p 整除 1024，矛盾。 故， 48 3n，即 49n ，且 n 为奇数。 10 分 49n 时， 2 2 3 2 2 2 4 9 3 2 1 0 4 6n ， ( ) 1046n 。 又 2 3 5 7 2 1 0 ， 2 3 5 7 1 1 2 1 0 1 1 1 0 4 6 。 11n 。即 3n ， 5， 7， 9， 11。 15 分 将 3n ， 5， 7， 9， 11 分别代入 ( ) 2 2 3 2验证， 3n 时， (3) 2 ， 2 2 3 2 3 4n ，不符合要求。 5n 时， (5 ) 2 3 6 ， 2 2 3 2 7 8n ，不符合要求。 7n 时， ( 7 ) 2 3 5 3 0 ， 2 2 3 2 1 2 2n ，不符合要求。 9n 时， ( 9 ) 2 3 5 7 2 1 0 ， 2 2 3 2 1 6 6n ，不符合要求。 11n 时， ( 1 1 ) 2 3 5 7 2 1 0 ， 2 2 3 2 2 1 0n ，符合要求。 满足条件的正整数 n 只有 1 个， 11n 。 20 分 9 14在一个 （ m 行， n 列， 1m ）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得 ： （ 1）每一列所填的数都是 1， 2， 3， m 的一个排列；（即在每一列中， 1， 2， 3，m 这 m 个数出现且仅出现 1 次） （ 2）每一行 n 个的数和都是 34。 当上述的填 数方式存在时，求 ()的所有可能取值。 【解答】 依题意，每列 m 个数的和为 ( 1 )1 2 32 L，共 n 列。又每行 m 个数的和为 34。 所以， (