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1 1二进制代码 1 2二值逻辑变量与基本逻辑运算 1 3逻辑函数及其表现方法 1 4逻辑代数 1 5卡诺图化简法 第一章数电基础知识 二进制代码的位数 n 与需要编码的事件 或信息 的个数 N 之间应满足以下关系 N 2n 概念 用4位二进制数来表示一位十进制数中的0 9十个数码 简称BCD码 从4位二进制数16种代码中 选择10种来表示0 9个数码的方案有很多种 每种方案产生一种BCD码 码制 编制代码所要遵循的规则 1 1 1二 十进制码 1 1二进制代码 1 几种常用的BCD代码 2 各种编码的特点 余 码的特点 当两个十进制的和是10时 相应的二进制正好是16 于是可自动产生进位信号 而不需修正 0和9 1和8 6和4的余 码互为反码 这对在求对于10的补码很方便 余3码循环码 相邻的两个代码之间仅一位的状态不同 按余3码循环码组成计数器时 每次转换过程只有一个触发器翻转 译码时不会发生竞争 冒险现象 有权码 编码与所表示的十进制数之间的转算容易如 10010000 8421BCD 90 对于一个多位的十进制数 需要有与十进制位数相同的几组BCD代码来表示 例如 3 用BCD代码表示十进制数 对于有权BCD码 可以根据位权展开求得所代表的十进制数 例如 4 求BCD代码表示的十进制数 格雷码是一种无权码 编码特点是 任何两个相邻代码之间仅有一位不同 该特点常用于模拟量的转换 当模拟量发生微小变化 格雷码仅仅改变一位 这与其它码同时改变2位或更多的情况相比 更加可靠 且容易检错 1 1 2格雷码 1 2二值逻辑变量与基本逻辑运算 逻辑运算 当0和1表示逻辑状态时 两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算 逻辑运算使用的数学工具是逻辑代数 逻辑运算的描述方式 逻辑代数表达式 真值表 逻辑图 卡诺图 波形图和硬件描述语言 HDL 等 逻辑代数与普通代数 与普通代数不同 逻辑代数中的变量只有0和1两个可取值 它们分别用来表示完全两个对立的逻辑状态 在逻辑代数中 有与 或 非三种基本的逻辑运算 1 与逻辑 与运算 与逻辑的定义 仅当决定事件 Y 发生的所有条件 A B C 均满足时 事件 Y 才能发生 表达式为 开关A B串联控制灯泡L 两个开关必须同时接通 灯才亮 逻辑表达式为 L A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯不亮 A接通 B断开 灯不亮 A B都接通 灯亮 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表 将开关接通记作1 断开记作0 灯亮记作1 灯灭记作0 可以作出如下表格来描述与逻辑关系 功能表 实现与逻辑的电路称为与门 与门的逻辑符号 L 真值表 逻辑符号 2 或逻辑 或运算 或逻辑的定义 当决定事件 Y 发生的各种条件 A B C 中 只要有一个或多个条件具备 事件 Y 就发生 表达式为 开关A B并联控制灯泡L 两个开关必须同时接通 灯才亮 逻辑表达式为 L A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯不亮 A接通 B断开 灯不亮 A B都接通 灯亮 这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表 将开关接通记作1 断开记作0 灯亮记作1 灯灭记作0 可以作出如下表格来描述与逻辑关系 功能表 实现与逻辑的电路称为与门 与门的逻辑符号 L 真值表 逻辑符号 2 或逻辑 或运算 或逻辑的定义 当决定事件 Y 发生的各种条件 A B C 中 只要有一个或多个条件具备 事件 Y 就发生 表达式为 开关A B并联控制灯泡L 两个开关只要有一个接通 灯就会亮 逻辑表达式为 L A B都断开 灯不亮 A断开 B接通 灯亮 A接通 B断开 灯亮 A B都接通 灯亮 实现或逻辑的电路称为或门 或门的逻辑符号 L A B 真值表 功能表 逻辑符号 3 非逻辑 非运算 非逻辑指的是逻辑的否定 当决定事件 Y 发生的条件 A 满足时 事件不发生 条件不满足 事件反而发生 表达式为 开关A控制灯泡L 实现非逻辑的电路称为非门 非门的逻辑符号 A断开 灯亮 A接通 灯灭 真值表 功能表 逻辑符号 4 几种常用的逻辑运算 1 与非运算 逻辑表达式为 2 或非运算 逻辑表达式为 3 异或运算 逻辑表达式为 4 同或运算 逻辑表达式为 5 与或非运算 逻辑表达式为 楼道灯开关示意图 逻辑抽象 列出真值表 1 3逻辑函数及其表示方法 1 真值表表示方法 逻辑表达式是用与 或 非等运算组合起来 表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式 例 已知某逻辑函数的真值表 试写出对应的逻辑函数表达式 2 逻辑表达式表示方法 用与 或 非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻辑关系所得到的图形称为逻辑图 将逻辑函数式中所有的与 或 非运算符号用相应的逻辑符号代替 并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来 就得到图电路所对应的逻辑图 3 逻辑图表示方法 用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图 表示电路的逻辑关系 4 波形图表示方法 1 4 1逻辑代数的基本定律和恒等式 1 常量之间的关系 2 基本公式 分别令A 0及A 1代入这些公式 即可证明它们的正确性 1 4逻辑代数 3 基本定理 利用真值表很容易证明这些公式的正确性 如证明A B B A A B A C AA AB AC BC 分配率A B C AB AC A AB AC BC 等幂率AA A A 1 B C BC 分配率A B C AB AC A BC 0 1率A 1 1 证明分配率 A BC A B A C 证明 4 常用公式 分配率A BC A B A C 0 1率A 1 1 分配率A B C AB AC 0 1率A 1 1 注意 本节所列出的基本公式反映的是逻辑关系而不是数量之间的关系 在运算中不能简单套用初等代数的运算规则 1 4 2逻辑代数的基本规则 1 代入规则 任何一个含有变量A的等式 如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替 则等式仍然成立 这个规则称为代入规则 例如 已知等式 用函数Y AC代替等式中的A 根据代入规则 等式仍然成立 即有 2 反演规则 对于任何一个逻辑表达式Y 如果将表达式中的所有 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y 或称补函数 这个规则称为反演规则 例如 注意 运用反演规则应注意以下两个原则 1 保持原来的运算优先级 即先进行与运算 后进行或运算 并注意优先考虑括号内的运算 2 对于反变量以外的非号应保留不变 3 对偶规则 对于任何一个逻辑表达式Y 如果将表达式中的所有 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 而变量保持不变 则可得到的一个新的函数表达式Y Y 称为函Y的对偶函数 这个规则称为对偶规则 例如 对偶规则的意义在于 如果两个函数相等 则它们的对偶函数也相等 利用对偶规则 可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半 例如 注意 在运用反演规则和对偶规则时 必须按照逻辑运算的优先顺序进行 先算括号 接着与运算 然后或运算 最后非运算 否则容易出错 1 4 3逻辑函数的代数化简法 1 逻辑函数的最简与 或表达式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式 或与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与或非表达式5种表示形式 一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路 尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同 但逻辑功能是相同的 逻辑函数化简的意义 逻辑表达式越简单 实现它的电路越简单 电路工作越稳定可靠 1 最简与或表达式 乘积项最少 并且每个乘积项中的变量也最少的表达式称为最简与或表达式 最简与或表达式 2 最简与非 与非表达式 非号最少 并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非 与非表达式 在最简与或表达式的基础上两次取反 用摩根定律去掉下面的非号 3 最简或与表达式 括号最少 并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式 求出反函数的最简与或表达式 利用反演规则写出函数的最简或与表达式 4 最简或非 或非表达式 非号最少 并且每个非号下面相加的变量也最少的或非 或非表达式 求最简或非 或非表达式 两次取反 最简与或非表达式 非号下面相加的乘积项最少 并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式 求最简或非 或非表达式 用摩根定律去掉下面的非号 用摩根定律去掉大非号下面的非号 1 并项法 2 逻辑函数的化简方法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式 定理和规则来化简逻辑函数 若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量 而其他因子都相同时 则这两项可以合并成一项 并消去互为反变量的因子 运用摩根定律 运用分配律 运用分配律 2 吸收法 如果乘积项是另外一个乘积项的因子 则这另外一个乘积项是多余的 运用摩根定律 利用公式 消去多余的项 如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子 则这个因子是多余的 配项法 利用公式 为某项配上其所能合并的项 消去冗余项法 由逻辑函数画出逻辑图 补充 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式 或与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与或非表达式5种表示形式 每个表达式对应一个逻辑图 步骤 根据文字要求将逻辑函数化成所需形式 根据所得逻辑函数选择逻辑门 然后逐级画出逻辑图 例 已知逻辑函数表达式为要求 最简的与或逻辑函数表达式 并画出相应的逻辑图 仅用与非门画出最简表达式的逻辑图 解 根据最简与或表达式画逻辑图 根据最简与非 与非表达式画逻辑图 1 5 1最小项的定义及其性质 1 最小项的定义N个变量 1 2 Xn的最小项是n个因子的乘积 每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现 且仅出现一次 一般来说n个变量的最小项应有2n个 例如 A B C3个逻辑变量的最小项有23 8个 分别为 3个变量A B C的8个最小项可以分别表示为 2 最小项的表示方法 通常用符号mi来表示最小项 下标i的确定 把最小项中的原变量记为1 反变量记为0 当变量顺序确定后 可以按顺序排列成一个二进制数 则与这个二进制数相对应的十进制数 就是这个最小项的下标i 1 5逻辑函数的卡诺图化简法 3 最小项的性质 任意一个最小项 只有一组输入变量取值使其值为1 全部最小项的和必为1 任意两个不同的最小项的乘积必为0 不同的最小项使它的值为 的那组输入变量的取值也不同 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和 称为标准与或表达式 也称为最小项表达式 1 5 2逻辑函数的最小项表达式 如果列出了函数的真值表 则只要将函数值为1的那些最小项相加 便是函数的最小项表达式 将真值表中函数值为0的那些最小项相加 便可得到反函数的最小项表达式 1 5 3用卡诺图表示逻辑函数 1 卡诺图的构成 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示 利用卡诺图来化简逻辑函数 一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应的填入一个特定的方格图内 此方格图称为卡诺图 卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的 相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量 其余因子均相同 又称为逻辑相邻项 每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻 每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻 每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻 最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的 最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的 两个相邻最小项可以合并消去一个变量 逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并 2 逻辑函数在卡诺图中的表示 1 逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出 在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 m1 m3 m4 m7 m6 m11 m15 m14 2 逻辑函数以一般的逻辑表达式给出 先将函数变换为与或表达式 不必变换为最小项之和的形式 然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项 该乘积项就是这些最小项的公因子 相对应的方格内填入1 其余的方格内填入0 变换为与或表达式 3 卡诺图的性质 1 任何两个 21个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去一个变量 消去互为反变量的因子 保留公因子 2 任何4个 22个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去2个变量 3 任何8个 23个 标1的相邻最小项 可以合并为一项 并消去3个变量 小结 相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项 并消去N个变量 包含的最小项数目越多 即由这些最小项所形成的圈越大 消去的变量也就越多 从而所得到的逻辑表达式就越简单 这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理 1 化简的基本步骤 逻辑表达式或真值表 卡诺图 1 1 1 5 4用卡诺图化简逻辑函数 合并最小项 圈越大越好 但每个圈中标 的方格数目必须为个 同一个方格可同时画在几个圈内 但每个圈都要有新的方格 否则它就是多余的 不能漏掉任何一个标 的方格 最简与或表达式 冗余项 2 2 3 3 将代表每个圈的乘积项相加 两点说明 在有些情况下 最小项的圈法不只一种 得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同 哪个是最简的 要经过比较 检查才能确定 不是最简 最简 在有些情况下 不同圈法得到的与或表达式都是最简形式 即一个函数的最简与或表达式不是唯一的 卡诺图化简法的总结 1 化简步骤 填图 圈图 写最简式 2 圈图原则 矩 指 成圈 能大勿小 能少勿多 对边相临 每圈包含2N个方格 且形状呈矩形才能画圈 矩 指 成圈 每个圈含的方格尽量多 即圈越大越好 能大勿小 圈数尽量少 能少勿多 注意卡诺图上下及左右的对边方格的相临性 对边相临 为满足以上几点 有些方格可重复利用 但每圈至少含一个新方格 可只圈填1的方格 也可只圈填0的方格 后者得到的结果为反函数 即与或非式 3 写最简式原则 与项多少看圈数 因子如何看位置 互补因子被消去 例 用卡诺图法化简逻辑函式L A B C 解 1 将原式变成最小项表达式 填图和圈图根据上面总结的规则对三变量的卡诺图填 或填 再画圈 对卡诺图圈 对卡诺图圈 写最简式圈 时 圈 时 随意项 函数可以随意取值 可以为0 也可以为1 或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项 也叫做约束项或无关项 2 含随意项的逻辑函数 例如 判断一位十进制数是否为