暑期培优：第一章集合(必记知识点+必明易错点+必会方法)教师版

1 专题一 集合专题一 集合 1 元素与集合 1 集合中元素的三个特性 确定性 互异性 无序性 2 集合中元素与集合的关系 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种 表示符号为 和 3 集合的表示法 列举法 描述法 Venn 图 2 集合间的基本关系 描述 关系 文字语言符号语言 子集A 中任意一元素均为 B 中的元素 A B 或 B A 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 且 B 中至少有 一个元素 A 中没有 A B 或 B A 集合 间的 基本 关系相等集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同A B 3 集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号表示 A BA B 若全集为 U 则集合 A 的补集为 UA 图形 表示 意义 x x A 或 x B x x A 且 x B x x U 且 x A 1 认清集合元素的属性 是点集 数集或其他情形 和化简集合是正确求解的两个先决 条件 2 要注意区分元素与集合的从属关系 以及集合与集合的包含关系 3 易忘空集的特殊性 在写集合的子集时不要忘了空集和它本身 4 运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心 5 在解决含参数的集合问题时 要注意检验集合中元素的互异性 否则很可能会因为 不满足 互异性 而导致解题错误 试一试 2 1 2013 南通二模 设全集 U R A B 则 x x 2 x 1 0 xsin x 3 2 A B 解析 由题意知 A 1 2 B k Z 则 A B 2k 3 2k 2 3 3 2 答案 3 2 2 已知集合 M 1 m 2 m2 4 且 5 M 则 m 的值为 解析 由题意知 m 2 5 或 m2 4 5 解得 m 3 或 m 1 经检验 m 3 或 m 1 符合 题意 答案 1 或 3 3 已知集合 A x y x2 B x y y x 则 A B 答案 1 判断集合关系的方法有三种 1 一一列举观察 2 集合元素特征法 首先确定集合的元素是什么 弄清集合元素的特征 再利用集合 元素的特征判断集合关系 3 数形结合法 利用数轴或 Venn 图 2 解决集合的综合运算的方法 解决集合的综合运算时 一般先运算括号内的部分 当集合是用列举法表示的数集时 可以通过列举集合的元素进行运算 当集合是用不等式形式表示时 可运用数轴求解 3 数形结合思想 数轴和 Venn 图是进行交 并 补集运算的有力工具 数形结合是解集合问题的常用方 法 解题时要先把集合中各种形 式的元素化简 使之明确化 尽可能地借助数轴 直角坐标系或 Venn 图等工具 将抽 象的代数问题具体化 形象化 直观化 然后利用数形结合的思想方法解题 练一练 1 2014 南京学情调研 已知集合 A x x2 3x 4 x R 则 A Z 中元素的个数为 解析 由 x2 3x 4 得 1 x 4 所以 A x 1 x 4 故 A Z 0 1 2 3 答案 4 2 2013 南通期末 已知 A B 均为集合 U 2 4 6 8 10 的子集 且 A B 4 UB A 10 则 A 3 解析 因为 UB B U 故 A A B UB A B A UB 4 10 答案 4 10 1 2013 江苏高考 集合 1 0 1 共有 个子集 解析 由题意知 所给集合的子集个数为 23 8 答案 8 2 已知集合 M 1 m N n log2n 若 M N 则 m n 2 013 解析 由 M N 知 Error 或Error Error 或Error 答案 1 或 0 3 已知集合 A m 2 2m2 m 若 3 A 则 m 的值为 解析 因为 3 A 所以 m 2 3 或 2m2 m 3 当 m 2 3 即 m 1 时 2m2 m 3 此时集合 A 中有重复元素 3 所以 m 1 不符合题意 舍去 当 2m2 m 3 时 解得 m 或 m 1 舍去 3 2 此时当 m 时 m 2 3 符合题意 3 2 1 2 所以 m 3 2 答案 3 2 备课札记 类题通法 1 研究集合问题 一定要抓住元素 看元素应满足的属性 对于含有字母的集合 在 求出字母的值后 要注意检验集合的元素是否满足互异性 2 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等 分几种情况列 考点一集合的基本概念 4 出方程 组 进行求解 要注意检验是否满足互异性 考点二集合间的基本关系 典例 1 2013 南京二模 已知集合 A x x2 2x 0 x R B x x a 若 A B B 则实数 a 的取值范围是 2 已知集合 A x log2x 2 B a 若 A B 则实数 a 的取值范围是 c 其中 c 解析 1 由 A B B 可知 A B 又 A 0 2 所以实数 a 的取值范围是 0 2 由 log2x 2 得 0 x 4 即 A x 04 即 c 4 答案 1 0 2 4 备课札记 类题通法 1 已知两集合的关系求参数时 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 进而转 化为参数满足的关系 解决这类问题常常要合理利用数轴 Venn 图帮助分析 2 当题目中有条件 B A 时 不要忽略 B 的情况 针对训练 1 2014 苏锡常镇一模 已知集合 A x x2 x 0 x R 设函数 f x 2 x a x A 的值域为 B 若 B A 则实数 a 的取值范围是 解析 A 0 1 B f x f x 2 x a x A 又因为 B A 即 1 2 a 1 a 0 1 则有Error 解得 a 0 1 2 a 1 a 1 2 答案 1 2 0 2 已知集合 A x 3 x 4 B x 2m 1 x m 1 且 B A 则实数 m 的取值范 围为 解析 B A 1 当 B 时 m 1 2m 1 解得 m 2 2 当 B 时 有Error 5 解得 1 m 2 综上得 m 1 答案 1 考点三集合的基本运算 典例 1 2013 南京三模 如图 已知集合 A 2 3 4 5 6 8 B 1 3 4 5 7 C 2 4 5 7 8 9 用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 2 2014 无锡期末 已知集合 A B x log2 x 1 1 4 A B 解析 1 A C 2 4 5 8 又 4 5 在集合 B 中 2 8 不在集合 B 中 故阴影部分表示 的集合为 2 8 2 由 x 得x 2 解得 x 2 即 A 2 又由 log2 x 1 2 得 1 2 1 4 1 2 1 2 0 x 1 4 解得 1 x0 则 2x x2 A B 为 解析 因为 A x 0 x 2 B y y 1 A B x x 0 A B x 12 答案 0 1 2 7 角度三 创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题 通过创新性质 结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题 3 对于复数 a b c d 若集合 S a b c d 具有性质 对任意 x y S 必有 xy S 则当Error 时 b c d 等于 解析 S a b c d 由集合中元素的互异性可知当 a 1 时 b 1 c2 1 c i 由 对任意 x y S 必有 xy S 知 i S c i d i 或 c i d i b c d 1 0 1 答案 1 备课札记 类题通法 解决新定义问题应注意的问题 1 遇到新定义问题 应耐心读题 分析新定义的特点 弄清新定义的性质 2 按新定义的要求 照章办事 逐步分析 验证 运算 使问题得以解决 3 对于选择题 可以结合选项通过验证 排除 对比 特值等方法解决 课堂练通考点 1 2013 苏北四市二模 已知集合 A 0 2 a2 B 1 a 若 A B 0 1 2 4 则 实数 a 的值为 解析 由题意得 a2 a 4 或Error 或Error 或Error 解得 a 2 答案 2 2 2013 新课标全国卷 改编 已知集合 A 1 2 3 4 B x x n2 n A 则 A B 解析 n 1 2 3 4 时 x 1 4 9 16 集合 B 1 4 9 16 A B 1 4 答案 1 4 3 设集合 A 1 2 则满足 A B 1 2 3 的集合 B 的个数是 解析 根据已知 满足条件的集合 B 为 3 1 3 2 3 1 2 3 答案 4 8 4 设 S 为复数集 C 的非空子集 若对任意 x y S 都有 x y x y xy S 创新题 则称 S 为封闭集 下列命题 集合 S a bi a b 为整数 i 为虚数单位 为封闭集 若 S 为封闭集 则一定有 0 S 封闭集一定是无限集 若 S 为封闭集 则满足 S T C 的任意集合 T 也是封闭集 其中的真命题是 写出所有真命题的序号 解析 对 当 a b 为整数时 对任意 x y S x y x y xy 的实部与虚部均为 整数 对 当 x y 时 0 S 错 当 S 0 时 是封闭集 但不是无限集 错 设 S 0 T T 0 1 显然 T 不是封闭集 因此 真命题为 答案 5 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q z z a b a P b Q 创新题 若 P 1 0 1 Q 2 2 则集合 P Q 中元素的个数是 解析 当 a 0 时 无论 b 取何值 z a b 0 当 a 1 b 2 时 z 1 2 1 2 当 a 1 b 2 时 z 1 2 1 2 当 a 1 b 2 时 z 1 2 1 2 当 a 1 b 2 时 z 1 2 1 2 故 P Q 该集合中共有 3 个元素 0 1 2 1 2 答案 3 6 已知全集 U R 集合 A x x2 2x 0 B x y lg x 1 则 UA B 解析 解不等式 x2 2x 0 即 x x 2 0 得 x2 故 A x x2 集合 B 是函数 y lg x 1 的定义域 由 x 1 0 解得 x 1 所以 B x x 1 如图所示 在数轴上分别表示出集合 A B 则 UA x 0 x 2 所以 UA B x 0 x 2 x x 1 x 1 x 2 答案 1 2 9 课下提升考能 第 组 全员必做题 1 2013 苏州暑假调查 已知集合 U 0 1 2 3 4 M 0 4 N 2 4 则 U M N 解析 由题意得 M N 0 2 4 所以 U M N 1 3 答案 1 3 2 设全集 U x N x 6 集合 A 1 3 B 3 5 则 U A B 等于 解析 由题意易得 U 1 2 3 4 5 A B 1 3 5 所以 U A B 2 4 答案 2 4 3 2013 新课标卷 改编 已知集合 A x x2 2x 0 B x x 则 55 A B 解析 选 B 集合 A x x 2 或 x 0 所以 A B x x 2 或 x 0 x x 55 R 答案 R 4 2013 南通一模 集合 A 1 0 1 B y y ex x A 则 A B 解析 B 中 x A B A B 1 1 e 1 e 答案 1 5 2014 无锡期末 已知集合 A 1 2 2m 1 B 2 m2 若 B A 则实数 m 解析 因为 B A 且 m2 1 所以 m2 2m 1 即 m 1 答案 1 6 已知 M a a 2 A a a 2 a2 3 0 a M 则集合 A 的子集共有 个 解析 a 2 a 2 或 a 2 又 a M a 2 a2 3 0 a 2 或 a 舍 即 A 3 中只有一个元素 2 故 A 的子集只有 2 个 答案 2 7 2014 江西七校联考 若集合 P x 3 x 22 非空集合 Q x 2a 1 x 3a 5 则能使 Q P Q 成立的所有实数 a 的取值范围为 解析 依题意 P Q Q Q P 于是Error 解得 6 a 9 即实数 a 的取值范围是 6 9 答案 6 9 8 设 P 和 Q 是两个集合 定义集合 P Q x x P 且 x Q 如果 P x log2x 1 10 Q x x 2 1 那么 P Q 解析 由 log2x 1 得 0 x 2 所以 P x 0 x 2 由 x 2 1 得 1 x 3 所以 Q x 1 x 3 由题意 得 P Q x 00 且 1 A 则实数 a 的取值范围是 解析 1 x x2 2x a 0 1 x x2 2x a 0 即 1 2 a 0 a 1 答案 1 11 已知 U R 集合 A x x2 x 2 0 B x mx 1 0 B UA 则 m 解析 A 1 2 B 时 m 0 B 1 时 m 1 B 2 时 m 1 2 答案 0 1 1 2 12 设集合 Sn 1 2 3 n 若 X Sn 把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量 若 X 中只有一个元素 则该元素的数值即为它的容量 规定空集的容量为 0 若 X 的容量为奇 偶 数 则称 X 为 Sn的奇 偶 子集 则 S4的所有奇子集的容量之和为 解析 S4 1 2 3 4 X 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4 其中是奇子集的为 X 1 3 1 3 其容量分别为 1 3 3 所以 S4的所有奇子集的容量之和为 7 答案 7 第 组 重点选做题 1 设集合 A x x2 2x 3 0 B x x2 2ax 1 0 a 0 若 A B 中恰含有一个 整数 求实数 a 的取值范围 解 A x x2 2x 3 0 x x 1 或 x 3 函数 y f x x2 2ax 1