三角形中的最值问题

1 第第 42 课课 三角形中的最值问题三角形中的最值问题 考点提要考点提要 1 掌握三角形的概念与基本性质 2 能运用正弦定理 余弦定理建立目标函数 解决三角形中的最值问题 基础自测基础自测 1 1 ABC 中 则 A 的值为 30 或 90 cos33sinAA 2 ABC 中 当 A 时 取得最大值 3 cos2cos 2 BC A 3 2 2 在 ABC 中 则的取值范围是 mmmCBA2 1 sin sin sin m 2 1 m 解解 由 mmmcbaCBA2 1 sin sin sin 令 由 得 mkckmbmka2 1 bcacba 2 1 m 3 锐角三角形 ABC 中 若 A 2B 则 B 的取值范围是 30 B 45 4 设 R r 分别为直角三角形的外接圆半径和内切圆半径 则的最大值 r R 为 21 5 在 ABC 中 内角 A B C 所对边的边长分别是 若 则 B 的 a b c 2 3bac 取值范围是 0 B 120 6 在 ABC 中 若 A B 则下列不等式中 正确的为 B 故 正确 abARsin2 BRsin2 AsinBsin B 故 正确 或由余弦函AcosBcos 2 sin A 2 sin B 数在上的单调性知 正确 0 由 A B 故A2cosB2cos 2 1 2sin A 2 1 2sin B AsinBsin 正确 知识梳理知识梳理 1 直角 ABC 中 内角 A B C 所对边的边长分别是 C 90 若内切圆的 a b c 半径为 r 则 2 abc r 2 2 在三角形中 勾股定理 正弦定理 余弦定理是基础 起到工具性的作用 它们在 处 理三角形中的三角函数的求值 化简 证明 判定三角形的形状及解三角形等问 题中 有着广泛的应用 例题解析例题解析 例例 1 已知直角三角形的周长为 1 求其面积的最大值 点评点评 例例 2 已知 ABC 中 1 2ab 3 1 求最小内角的最大值 2 若 ABC 是锐角三角形 求第三边c 的取值范围 解解 1 由三角形三边关系得第三边c 满足解得 故最小内角为 12 21 12 c c c 13c A 又 当且仅当 2222 313133 cos2 24442 bcac Acc bcccc 时等号成立 所以A 30 即最小内角的最大值为30 3c 2 因为 ABC 是锐角三角形 即 A B C 三个角均为锐角 又因为 a b 所以 A B 故只需说明 B C 为锐角即可 由 B C 为锐角得 即解得 0 cos1 0 cos1 B C 2 2 14 01 2 14 01 4 c c c 35c 点评点评 在锐角三角形中研究问题的时候 一定要注意其三个角都为锐角这个条件 另 外要注意变形的等价性 如 内角 A 为锐角 0 1cos A 例例 3 2008 江苏 求满足条件的 ABC 的面积的最大值 BCACAB2 2 解解 设 BC 则 AC x2x 根据面积公式得 ABC S 2 1 sin1 cos 2 ABBCBxB 根据余弦定理得 22222 42 cos 24 ABBCACxx B ABBCx 2 4 4 x x 代入上式得 ABC S 222 2 4128 12 1 416 xx x x 由三角形三边关系有 解得 22 22 xx xx 2 222 22x 故当时取最大值 2 12 2 3xx ABC S 128 2 2 16 点评点评 4 例例 4 如图 已知 A 30 P Q 分别在 A 的两边上 PQ 2 当 P Q 处于什么位 置时 APQ 的面积最大 并求出 APQ 的最大面积 点评点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法 本题解法一运用了余弦定理和 基本不等式 解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数 例例 5 已知 ABC 的周长为 6 成等比数列 求 BCCAAB 1 ABC 的面积 S 的最大值 2 的取值范围 BCBA 解解 设依次为 a b c 则 a b c 6 b 2 ac BCCAAB 由得 当且仅当 a c 时 等号成立 6 22 acb bac 02b 又由余弦定理得 当且仅当 22222 21 cos 2222 acbacacacac B acacac a c 时 等号成立 故有 0 3 B 1 即 当且仅当 22 111 sinsin2sin3 2223 SacBbB max 3S a b c 时 等号成立 2 2 2 2 cos 22222 baccabca BacBCBA 22 2 6 3 3 27 2 bb b 02 218bBA BC 5 点点评评 本题运用均值定理进行放缩 再运用不等式的性质求解 1 为不等式问题 2 为函数问题 方法总结方法总结 1 三角形中角的最值 范围 问题 一般运用余弦定理 通过求该角余弦的范围 根据 余弦函数的单调性处理 要注意三角形三边关系和内角范围的隐含条件 尤其要注 意锐角三角形的角的关系 2 三角形中边的最值 范围 问题 主要由有三角形三边关系决定 3 三角形中面积的最值 范围 问题 可以角为自变量 也可以边为自变量建立目标 函数 要注意自变量的范围 练习练习 42 三角形的最值问题三角形的最值问题 班级 姓名 学号 1 若直角三角形斜边的长 m 定值 则它的周长的最大值是 2 1 m 2 在锐角 ABC 中 若 则的取值范围是 2CB AC AB 23 解解 而 B B B C AC AB sin 2sin sin sin Bcos2 46 B32 AC AB 3 在 ABC 中 若 则 A 的取值范围是 0 B 45 21b a 4 若 2 3 x 分别是锐角三角形的三边长 则 x 的取值范围是 13 5 5 若三角形两边之和为 16 cm 其夹角为 60 则该三角形面积的最大值是 16 3 周长的最小值是 24 6 已知 ABC 中 A 60 BC 4 则 AB AC 的最大值为 8 3 7 钝角三角形的三边为 其中最大角不超过 120 则的取值范围是2 1 aaaa 3 3 2 a 解解 由题意钝角三角形中 为最大边且最大角不超过 120 因此得2 a 2 1 aaa 222 2 1 aaa 6 222 121 cos 212 a a a A a a 由 得 得 得 或 故 1 a31 aa1 a 2 3 2 3 3 a 8 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O 若 S AOB 9 S COD 16 则 四边形面积的最小值是 49 9 2006 全国 用长度分别为 2 3 4 5 6 单位 cm 的 5 根细木棒围成一个三 角形 允许连接 但不允许折断 能够得到的三角形的最大面积为 6 10 cm2 解解 由题意可围成以下几种三角形 图 1 中 115 cossin 44 4 15S 图 2 中 2 10 2 10 sin 7 AD 6 10S 图 3 中 比较 13 cossin 22 10 3S 7 上述几种情况可知 能够得到三角形的最大面积为cm2 6 10 点评点评 当周长一定时 三边越是接近 其面积越大 这是等周问题中的一个基本 结论 可见 面积最大的三角形应该这样构成 2 5 3 4 6 10 在 ABC 中 已知 22 3 coscos 222 CA acb 1 求证 a b c 成等差数列 2 求角 B 的取值范围 解解 11 如图 正方形 ABCD 的边长为 a E F 分别是边 BC CD 上的动点 EAF 30 求 AEF 面积的最小值 解解 设 AEF 的面积为 S BAE 15 45 则由 EAF 30 得 DAF 60 正方形 ABCD 的边长为 a 在 Rt BAE 中 coscos ABa AE 在 Rt DAF 中 cos 60 cos 60 ADa AF 8 1 sin 2 SAE AFEAF 2 1 sin30 2 coscos 60 4cos cos 60 aaa 22 2 132cos2 3sin cos 4cos cossin 22 aa 22 cos23sin2113 2 cos2sin2 1 22 aa 22 cos23sin2113 2 cos2sin2 1 22 aa 222 2sin 230 12sin 2 3030 13 aaa 12 2008 四川延考 在 ABC 中 内角 A B C 对边的边长分别是 已知 a b c 222 2acb 1 若 且 A 为钝角 求内角 A 与 C 的大小 4 B 2 若 求 ABC 面积的最大值 2b 解解 1 由题设及正弦定理 有 222 sinsin2sin1ACB 故 因 A 为钝角 所以 22 sincosCA sincosCA 由 可得 C A coscos 4 AC sinsin 4 CC 8 5 8 2 由余弦定理及条件 有 故 222 1 2 bac 22 cos 4 ac B ac cosB 1 2 由于 ABC 面积 又 1 sin 2 acB ac 22 1 4 2 ac sin B 3 2 9 当时 两个不等式中等号同时成立 所以 ABC 面积的最大值为ac 13 43 22 备用题备用题 1 直角 ABC 的斜边 AB 2 内切圆的半径为 r 则 r 的最大值为 21 2 在 ABC 中 已知 sin2A sin2B 5sin2C 求证 3 sin 5 C 解解 等式 sin2A sin2B 5sin2C 立即联想正弦定理 有 a2 b2 5c2 而 a2 b2 5c2与余弦定理连起来也无可非议 c2 a2 b2 2abcosC 5c2 c2 2abcosC 4c2 2abcosC 于是可知 cosC 0 C 为锐角 而 5c2 a2 b2 2ab 故 4c2 2abcosC 5c2cosC cosC sinC 4 5 3 5 点评点评 从外形的联想 到方法的选择 这样的直觉思维随时随地都会出现在解题 过程中 3 已知 ABC 的内角满足 co