2008高考数学概念方法题型易误点技巧总结(六)(不等式)

1 2008 高考数学概念方法题型易误点技巧总结高考数学概念方法题型易误点技巧总结 不等式不等式 1 不等式的性质 不等式的性质 1 同向不等式可以相加 异向不等式可以相减同向不等式可以相加 异向不等式可以相减 若 则 若 ab cd acbd 则 但异向不等式不可以相加 同向不等式不可以相减 ab cd acbd 2 左右同正不等式 同向的不等式可以相乘左右同正不等式 同向的不等式可以相乘 但不能相除 异向不等式可以相除异向不等式可以相除 但不能相乘 若 则 若 则 0 0abcd acbd 0 0abcd ab cd 3 左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方左右同正不等式 两边可以同时乘方或开方 若 则或 4 若0ab nn ab nn ab 则 若 则 0ab ab 11 ab 0ab ab 11 ab 如 如 1 对于实数中 给出下列命题 cba 22 bcacba 则若 babcac 则若 22 22 0bababa 则若 ba ba 11 0 则若 b a a b ba 则若 0 baba 则若 0 bc b ac a bac 则若 0 则 其中正确的命题是 答 11 ab ab 若0 0ab 2 已知 则的取值范围是 答 11xy 13xy 3xy 137xy 3 已知 且则的取值范围是 答 cba 0 cba a c1 2 2 2 不等式大小比较的常用方法不等式大小比较的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量或放缩法 2 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最基本的方法 如如 1 设 比较的大小 答 当时 0 10 taa且 2 1 loglog 2 1 t t aa 和1a 时取等号 当时 时取等号 11 loglog 22 aa t t 1t 01a 11 loglog 22 aa t t 1t 2 设 试比较的大小 答 2a 1 2 pa a 24 2 2 aa qqp pq 3 比较 1 与的大小 答 当或时 1 3logx 10 2log2 xx x 且01x 4 3 x 3logx 当时 1 当时 1 2log 2 x 4 1 3 x 3logx2log 2 x 4 3 x 3logx2log 2 x 3 利用重要不等式求函数最值利用重要不等式求函数最值时 你是否注意到 一正二定三相等 和定积最大 积定和最小一正二定三相等 和定积最大 积定和最小 这 17 字方针 如 如 1 下列命题中正确的是 A 的最小值是 2 B 的最小值是 2 C 1 yx x 2 2 3 2 x y x 的最大值是 D 的最小值是 答 C 4 23 0 yxx x 24 3 4 23 0 yxx x 24 3 2 若 则的最小值是 答 21xy 24 xy 2 2 3 正数满足 则的最小值为 答 x y21xy yx 11 32 2 4 常用不等式常用不等式有 1 根据目标不等式左右的运算结构选用 22 2 2211 abab ab ab 2 a b cR 当且仅当时 取等号 222 abcabbcca abc 3 若 则 糖水的浓度问题 0 0abm bbm aam 如如如果正数 满足 则的取值范围是 答 ab3 baabab 9 5 证明不等式的方法 证明不等式的方法 比较法 分析法 综合法和放缩法 比较法的步骤是 作差 商 后通过分解 因式 配方 通分等手段变形判断符号或与 1 的大小 然后作出结论 常用的放缩技巧有 2 1111111 1 1 1 1nnn nnn nnn 111 11 121 kkkk kkkkk 如 如 1 已知 求证 cba 222222 cabcabaccbba 2 已知 求证 Rcba 222222 cbaabcaccbba 3 已知 且 a b x yR 11 xy ab 求证 xy xayb 3 4 若 a b c 是不全相等的正数 求证 lglglglglglg 222 abbcca abc 5 已知 求证 Rcba 2222 a bb c 22 c aabc abc 6 若 求证 nN 2 1 1 1 nn 2 1nn 7 已知 求证 ab abab abab 8 求证 222 111 12 23n 6 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次因式的积 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 2 将每一个一次因式的根标在数轴上 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线 并注意奇穿过奇穿过 偶弹回偶弹回 3 根据曲线显现的符号变化规律 写出不等式的解集 f x 如 如 1 解不等式 答 或 2 1 2 0 xx 1x x 2 x 2 不等式的解集是 答 或 2 2 230 xxx 3x x 1 x 3 设函数 的定义域都是 R 且的解集为 的解 f x g x 0f x 12 xx 0g x 集为 则不等式的解集为 答 0f x g x A 1 2 4 要使满足关于的不等式 解集非空 的每一个的值至少满足不等式x092 2 axxx 中的一个 则实数的取值范围是 答 086034 22 xxxx和a 81 7 8 7 分式不等式的解法分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0 再通分并将分子分母分解因 式 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 最后用标根法求解 解分式不等式时 一般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时可去分母 如 如 1 解不等式 答 2 5 1 23 x xx 1 1 2 3 2 关于的不等式的解集为 则关于的不等式的解集为x0 bax 1 x0 2 x bax 答 2 1 8 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 分段讨论法 最后结果应取各段的并集最后结果应取各段的并集 如如解不等式 答 2 1 2 4 3 2 xxxR 2 利用绝对值的定义 3 数形结合 如如解不等式 答 1 3xx 1 2 4 4 两边平方 如如若不等式对恒成立 则实数的取值范围为 32 2 xxa xR a 答 4 3 9 含参不等式的解法 含参不等式的解法 求解的通法是 定义域为前提 函数增减性为基础 分类讨论是关键 注 意解完之后要写上 综上 原不等式的解集是 注意注意 按参数讨论 最后应按参数取值分别说明其解集 但若按未知数讨论 最后应求并集 如 如 1 若 则的取值范围是 答 或 2 log1 3 a a1a 2 0 3 a 2 解不等式 答 时 时 或 2 1 ax x aR ax 0a x0 x 0a 1 x x a 0 x 时 或 0a 1 0 xx a 0 x 提醒 提醒 1 解不等式是求不等式的解集 最后务必有集合的形式表示 2 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值 如如关于的不等式 的解集为 则不等式的解集为 答 x0 bax 1 0 2 bax x 1 2 10 含绝对值不等式的性质含绝对值不等式的性质 同号或有同号或有 ab 0 abab abab 异号或有异号或有 ab 0 abab abab 如如设 实数满足 求证 2 13f xxx a 1xa 2 1 f xf aa 11 不等式的恒成立不等式的恒成立 能成立能成立 恰成立等问题恰成立等问题 不等式恒成立问题的常规处理方式 常应用函数方程 思想和 分离变量法 转化为最值问题 也可抓住所给不等式的结构特征 利用数形结合法 1 恒成立问题恒成立问题 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Axf DD minf xA 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Bxf DD maxf xB 如 如 1 设实数满足 当时 的取值范围是 答 x y 22 1 1xy 0 xyc c 21 2 不等式对一切实数恒成立 求实数的取值范围 答 axx 34xa1a 3 若不等式对满足的所有都成立 则的取值范围 答 1 12 2 xmx2 mmx 71 2 31 2 4 若不等式对于任意正整数恒成立 则实数的取值范围是 答 n a n n 1 1 2 1 na 5 3 2 2 5 若不等式对的所有实数都成立 求的取值范围 答 2 2210 xmxm 01x xm 1 2 m 2 能成立问题能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立 则等价于在区间上 D