立体几何轨迹与截面问题

实用文档 标准文案 轨迹与截面 二 轨迹与截面 二 1 如图 在正方体中 是的中点 为底面内一动点 设 ABCD A1B1C1D1 E AA1 PABCD 与底面所成的角分别为均不为 若 则动点 的 PD1 PE ABCD 1 2 1 2 0 1 2 P 轨迹为 A 直线的一部分 B 圆的一部分 C 椭圆的一部分 D 抛物线的一部分 2 正方体棱长为 4 分别是棱 的中点 则过 ABCD A1B1C1D1 M N P A1D1 A1A D1C1 三点的平面截正方体所得截面的面积为 M N P A B C D 234363123 3 已知球的半径为 2 圆和圆是球的互相垂直的两个截面 圆和圆的OMNMN 面积分别为和 则 2 MN A 1 B C 2 D 35 4 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 为正三角形 底面 ABCD 为正方形 侧面 PAD 底面 ABCD M 为底面 ABCD 内的一个动点 且满足 MP MC 则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 实用文档 标准文案 A B C D 5 如图 记长方体被平行于棱的平面截去右上部分 1111 ABCDABC D 11C BEFGH 后剩下的几何体为 则下列结论中不正确的是 A B 四边形是平行四边形 EHFGEFGH C 是棱柱 D 是棱台 6 如图 在正方体中 是侧面内一动点 若到直线 1111 ABCDABC D P 11 BBC CP 与直线的距离相等 则动点的轨迹所在的曲线是 BC 11 C DP D1 C1 A1 B1 P D C A B A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线 7 如图 在棱长为 1 的正方体中 为棱中点 点在侧面 1111 ABCDABC D P 11 ABQ 实用文档 标准文案 内运动 若 则动点的轨迹所在曲线为 11 DCC D 1 PBQPBD Q A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线 8 如图所示 最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面 下底面 圆心为顶点的圆锥而得 现用一个竖直的平面去截这个几何体 则截面图形可能是 A B C D 9 如图 正方体的棱长为 以顶点为球心 2 为半径作一个 1111 ABCDABC D 3A 球 则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 A B C D 5 6 2 3 7 6 10 2015 秋 河南期末 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 底面是边长为 2 的 正方形 若 A1AB A1AD 60 且 A1A 3 则 A1C 的长为 实用文档 标准文案 A B C D 11 2015 西城区二模 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC AA1 1 点 M 为 AB1 的中点 点 P 为对角线 AC1上的动点 点 Q 为底面 ABCD 上的动点 点 P Q 可以重合 则 MP PQ 的最小值为 A B C D 1 12 如图 在长方形 ABCD 中 AB BC 1 E 为线段 DC 上一动点 现将AED 沿3 AE 折起 使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上 当 E 从 D 运动到 C 则 K 所形成轨 迹的长度为 B D C A E B C D A D E K A B C D 2 3 3 32 2 3 13 如图 一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为 一只小虫从圆锥的底m4 面圆上的点出发 绕圆锥表面爬行一周后回到点处 则该小虫爬行的最短路程为PP 则圆锥底面圆的半径等于 m34 A B C D m1m 2 3 m 3 4 m2 实用文档 标准文案 参考答案参考答案 1 B 解析 由线面角的定义及题意可得 即 以线段为 轴 sin 1 sin 2 DD1 PD1 1 2AA1 PE PD1 2PED1E x 其中垂线为 轴 如图 建立平面直角坐标系 设 则 yxOy AA1 2 P x y 所以 即 D1E 5 E 5 2 0 D1 5 2 0 x 5 2 2 y2 4 x 5 2 2 4y2 则动点 的轨迹是圆 故应选答案 B 3x2 3y2 55x 3 5 2 2 0 P 点睛 解答本题时 先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题 再运用平面解析几何 的有关知识分析探求 最后使得问题获解 体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用 2 D 解析 过三点的平面截正方体所得截面为一个正六边形 其余三个顶点分别为的 M N P AB BC CC1 中点 边长为 所以面积为 选 D 22 6 3 4 22 2 123 3 D 解析 试题分析 因由球心距与截面圆的半径之间的关系得 故 应选 D 538 2 1 2 2 2 1 22 2 22 1 dd Rd Rd 5 2 2 2 1 ddMN 实用文档 标准文案 考点 球的几何性质及运算 4 A 解析 试题分析 根据题意可知 PD DC 则点 D 符合 M 为底面 ABCD 内的一个动点 且满足 MP MC 设 AB 的中点为 N 根据题目条件可知 PAN CBN PN CN 点 N 也符合 M 为底面 ABCD 内的一个动点 且满足 MP MC 故动点 M 的轨迹肯定过点 D 和点 N 而到点 P 与到点 N 的距离相等的点为线段 PC 的垂直平分面 线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线 考点 直线与平面垂直的性质 平面与平面之间的位置关系 5 D 解析 试题分析 因为 EH 所以 EH 又 EH 平面 平面 11 AD 11 AD 11 BC 11 BC 11 BCC B EFGH 平面 FG 所以 EH 平面 又 EH 平面 EFGH 平面 EFGH 平面 11 BCC B 11 BCC B FG 所以 EH FG 故 EH FG 所以选项 A C 正确 因为 平面 11 BCC B 11 BC 11 AD EH 所以 EH 平面 11 ABB A 11 AD 11 ABB A 又 EF 平面 故 EH EF 所以选项 B 也正确 11 ABB A 考点 线面垂直的判定 线面平行的判定 6 D 解析 如下图所示 连结 过作于 面 1 PCPPHBC H 11 C D 11 BBC C 面 1 PC 11 BBC C 故点的轨迹为以为焦点 所在直线为准线的抛 111 PCC D 1 PCPH P 1 CBC 实用文档 标准文案 物线 故选 D 命题意图 本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识 意在考查空间想象能力 7 C 解析 易得平面 所有满足的所有点在以为轴 BP 11 CC D D 1 PBDPBX XBP 线 以所在直线为母线的圆锥面上 点的轨迹为该圆锥面与平面的交线 1 BDQ 11 CC D D 而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线 点的轨迹是双曲线 Q 故选 C 命题意图 本题考查立体几何中的动态问题等基础知识 意在考查空间想象能力 8 D 解析 试题分析 根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征 分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴 时两种情况 分析截面图形的形状 最后综合讨论结果 可得答案 解 当截面过旋转轴时 圆锥的轴截面为等腰三角形 此时 1 符合条件 当截面不过旋转轴时 圆锥的轴截面为双曲线的一支 此时 5 符合条件 故截面图形可能是 1 5 故选 D 考点 平面的基本性质及推论 9 A 实用文档 标准文案 解析 试题分析 图中弧为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧 因为EF 所以 由弧长公式知弧的长为 弧 1 6 A AEBAF 6 EAF EF2 63 为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧 其圆心为 因为球心到平面的距离FGB 球半径 所以小圆半径 又 所以弧3d 2R 22 1rRd 2 GBF 的长为 两段弧长之和为 故选 A FG1 22 5 6 考点 1 球的截面性质 2 弧长公式 10 A 解析 试题分析 点 A1在底面的投影 O 在底面正方形对角线 AC 上 过 A1作 A1E AB 于 E 求出 AE 连结 OE 则 OE AB EAO 45 在 Rt AEO 求出 OC 然后求解 A1O 即可求解 A1C 解 由已知可得点 A1在底面的投影 O 在底面正方形对角线 AC 上 过 A1作 A1E AB 于 E 在 Rt AEA1 AA1 3 A1AE 60 连结 OE 则 OE AB EAO 45 在 Rt AEO 中 在 在 故选 A 考点 空间两点间的距离公式 11 C 解析 试题分析 画出图形 利用折叠与展开法则同一个平面 转化折线段为直线段距离最小 实用文档 标准文案 转化求解 MP PQ 的最小值 解 由题意 要求 MP PQ 的最小值 就是 P 到底面 ABCD 的距离的最小值与 MP 的最小值之 和 Q 是 P 在底面上的射影距离最小 展开三角形 ACC1与三角形 AB1C1 在同一个平面上 如图 易知 B1AC1 C1AC 30 AM 可知 MQ AC 时 MP PQ 的最小 最小值为 故选 C 考点 点 线 面间的距离计算 多面体和旋转体表面上的最短距离问题 12 D 解析 试题分析 由题意得 所以的轨迹是以为直径的一段圆弧 设D KAE K AD D K 的中点为 因为长方形中 所以 所以 AD OABCD 3 1ABBC 60D AC 所以所形成的轨迹的长度为 故选 D 2 120 3 D OK K 21 323 考点 轨迹方程的求解 方法点晴 本题以平面图形的翻折为载体 考查了立体几何中的轨迹问题的求解 同时 考查了弧长公式的运用 解题的关键是根据沿翻折 使得在平面上的AED AEDABC 射影为在直线上 利用 从而可得所形成的轨迹是以为直径的KAED KAE K AD 一段圆弧 求出圆心角 利用弧长公式求解弧长 D K D OK 实用文档 标准文案 13 C 解析 试题分析 作出该圆锥的侧面展开图 如下图所示 该小虫爬行的最短路程为 由余P P 弦定理可得 设底面圆的半径 2 1 2 cos 222 POOP PPPOOP OPP 3 2 OPP 为 则有 故 C 项正确 r4 3 2 2 r