幂函数的性质、常考题型及对应练习

1 幂函数幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是 且 m nm n aa 0a mnN 1n 负分数指数幂的意义是 且 1 m n nm a a 0a mnN 1n 一 幂函数的定义一 幂函数的定义 一般地 形如 R 的函数称为幂孙函数 其中是自变量 是常数 如 yx x x 等都是幂函数 幂函数与指数函数 对数函数一样 都是基本初等函数 11 2 34 yxyxyx 二 幂函数的图像二 幂函数的图像 幂函数随着的不同 定义域 值域都会发生变化 可以采取按性质和图像分类 n yx n 记忆的方法 熟练掌握 当的图像和性质 列表如下 n yx 1 1 2 1 3 2 3 n 从中可以归纳出以下结论 它们都过点 除原点外 任何幂函数图像与坐标轴都不相交 任何幂函数图像都不 1 1 过第四象限 时 幂函数图像过原点且在上是增函数 1 1 1 2 3 3 2 a 0 时 幂函数图像不过原点且在上是减函数 1 1 2 2 a 0 任何两个幂函数最多有三个公共点 2 n yx 奇函数偶函数非奇非偶函数 1n O x y O x y O x y 01n O x y O x y O x y 0n O x y O x y O x y 三 幂函数基本性质三 幂函数基本性质 1 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都过点 1 1 2 0 时 幂函数的图象都通过原点 并且在 0 上 是增函数 3 0 时 幂函数的图象在区间 0 上是减函数 规律总结 1 在研究幂函数的性质时 通常将分式指数幂化为根式形式 负整指数幂化为分式形 式再去进行讨论 2 对于幂函数y 我们首先应该分析函数的定义域 值域和奇偶性 由此确定图 x 象的位置 即所在象限 其次确定曲线的类型 即 0 0 1 和 1 三种情况下曲 线的基本形状 还要注意 0 1 三个曲线的形状 对于幂函数在第一象限的图象的大 致情况可以用口诀来记忆 正抛负双 大竖小横 即 0 1 时图象是抛物线型 0 时图象是双曲线型 1 时图象是竖直抛物线型 0 1 时图象是横卧抛物线 型 四 幂函数的应用四 幂函数的应用 题型一题型一 幂函数的判断幂函数的判断 例 1 在函数中 幂函数的个数为 220 3 1 3 yyxyxx yx x A 0 B 1 C 2 D 3 练 1 下列所给出的函数中 是幂函数的是 3 x O y A B C D 3 xy 3 xy 3 2xy 1 3 xy 题型二题型二 幂函数图像问题幂函数图像问题 例 2 幂函数 且 互质 的图象在第一 二象限 且不经过原点 n m yx mnN mn 则有 为奇数且 Amn1 m n 为偶数 为奇数 且 Bmn1 m n 为偶数 为奇数 且 Cmn1 m n 奇数 为偶数 且 Dmn1 m n 练 2 右图为幂函数在第一象限的图像 则的大小关系是 yx a b c d Aabcd Bbadc Cabdc Dadcb 解 取 1 2 x 由图像可知 1111 2222 cdba 应选 abdc C 题型三题型三 幂函数比较大小的问题幂函数比较大小的问题 例 3 比较下列各组数的大小 1 2 1 3 1 5 1 3 1 71 3 7 2 3 7 3 3 7 5 3 2 3 2 2 2 3 10 7 4 3 1 1 解 1 底数不同 指数相同的数比大小 可以转化为同一幂函数 不同函数值的大小问题 在上单调递增 且 1 3 yx 0 1 71 51 11 33 1 71 51 2 底数均为负数 可以将其转化为 33 77 22 33 77 33 33 77 55 在上单调递增 且 3 7 yx 0 532 xO y a yx b yx c yx 4 即 333 777 532 333 777 532 333 777 532 3 先将指数统一 底数化成正数 22 33 22 22 22 33 1010 77 42 33 1 11 21 在上单调递减 且 2 3 yx 0 72 1 21 102 即 2 2 32 3 3 72 1 21 102 2 2 34 3 3 72 1 1 102 点评 比较幂形式的两个数的大小 一般的思路是 1 若能化为同指数 则用幂函数的单调性 2 若能化为同底数 则用指数函数的单调性 3 若既不能化为同指数 也不能化为同底数 则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大 小 题型四题型四 幂函数含参数问题幂函数含参数问题 例 4 若 求实数的取值范围 11 33 132aa a 分析 若 11 33 xy 则有三种情况 或 0 xy 0yx 0yx 解 根据幂函数的性质 有三种可能 或或 10 320 a a 10 320 132 a a aa 10 320 132 a a aa 解得 23 1 32 a 练 4 已知幂函数 2 23mm yx mZ 的图象与x轴 y轴都无交点 且关于原点对称 求 m的值 解 幂函数 2 23mm yx mZ 的图象与x轴 y轴都无交点 2 230mm 13m mZ 2 23 mmZ 又函数图象关于原点对称 2 23mm 是奇数 0m 或2m 练 5 幂函数 当 352 1 m xmmy x 0 时为减函数 则实数 m 的值为 5 A m 2 B m 1 C m 1 或 m 2 D 2 51 m 题型五 幂函数与函数的性质综合题题型五 幂函数与函数的性质综合题 例 5 求函数y 2x 4 x 32 值域 5 2 x 5 1 解析 设t x x 32 t 2 则y t2 2t 4 t 1 2 3 5 1 当t 1 时 ymin 3 函数y 2x 4 x 32 的值域为 3 5 2 x 5 1 点评 这是复合函数求值域的问题 应用换元法 练 6 已知 f x 1 判断 f x 在 0 上的单调性并证明 2 当 x 1 时 求 f x 的最 2 x2 大值 解解 函数 f x 在 0 上是减函数 证明如下 任取 x1 x2 0 且 x1 x2 f x1 f x2 2 x12 2 x22 2 x22 x12 x12x22 2 x2 x1 x2 x1 x12x22 0 x10 x2 x1 0 x12x22 0 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 函数 f x 在 0 上是减函数 2 由 1 知 f x 的单调减区间为 0 函数 f x 在 1 上是减函数 函数 f x 在 1 上的最大值为 f 1 2 同步练习 1 下列函数中不是幂函数的是 yx 3 yx 2yx 1 yx 答案 2 下列函数在上为减函数的是 0 1 3 yx 2 yx 3 yx 2 yx 答案 3 下列幂函数中定义域为的是 0 x x 2 3 yx 3 2 yx 2 3 yx 3 2 yx 6 答案 4 函数y x2 2x 的定义域是 2 1 A x x 0 或x 2 B 0 2 C 0 2 D 0 2 解析 函数可化为根式形式 即可得定义域 答案 B 5 函数y 1 x2 的值域是 2 1 A 0 B 0 1 C 0 1 D 0 1 解析 这是复合函数求值域问题 利用换元法 令t 1 x2 则y t 1 x 1 0 t 1 0 y 1 答案 D 6 函数y 的单调递减区间为 5 2 x A 1 B 0 C 0 D 解析 函数y 是偶函数 且在 0 上单调递增 由对称性可知选 B 5 2 x 答案 B 7 若a a 则a的取值范围是 2 1 2 1 A a 1 B a 0 C 1 a 0 D 1 a 0 解析 运用指数函数的性质 选 C 答案 C 8 函数y 的定义域是 32 215 xx 解析 由 15 2x x2 3 0 15 2x x 20 3 x 5 答案 A 9 函数y 在第二象限内单调递增 则m的最大负整数是 2 2 1 mm x 解析 m的取值应该使函数为偶函数 故m 1 答案 m 1 10 讨论函数y 的定义域 值域 奇偶性 单调性 并画出图象的示意图 5 2 x 思路 函数y 是幂函数 5 2 x 1 要使y 有意义 x可以取任意实数 故函数定义域为 R 5 2 x 52 x 2 xR x2 0 y 0 3 f x f x 5 2 x 52 x 7 函数y 是偶函数 5 2 x 4 n 0 5 2 幂函数y 在 0 上单调递增 5 2 x 由于幂函数y 是偶函数 5 2 x 幂函数y 在 0 上单调递减 5 2 x 5 其图象如下图所示 12 已知函数y 42 215xx 1 求函数的定义域 值域 2 判断函数的奇偶性 3 求函数的单调区间 解析 这是复合函数问题 利用换元法令t 15 2x x2 则y 4 t 1 由 15 2x x2 0 得函数的定义域为 5 3 t 16 x 1 2 0 16 函数的值域为 0 2 2 函数的定义域为 5 3 且关