平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案)

1 平面向量平面向量 1 一 向量的基本概念 思考 生活中有哪些量是既有大小又有方向的 哪些量只有大小没有方向 向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 回答下列问题 1 数量与向量有何区别 2 如何表示向量 3 有向线段和线段有何区别和联系 分别可以表示向量的什么 4 长度为零的向量叫什么向量 长度为 1 的向量叫什么向量 1 数量和向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较大小 向量有方向 大小 不能比较大 小 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 a b 黑体 等表示 用有向线段的起点与终点字母表示 向量AB 的大小 长度称为向量的模 记作 ABAB 3 有向线段 具有方向的线段叫做有向线段 三要素 起点 方向 长度 向量与有向线段的区别 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 这两个向量就是相同的向量 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向 也是不同的有向线段 4 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 记作 0 长度为 1 个单位长度的向量 叫做单位向量 说明 零向量 单位向量的定义都只是限制了大小 5 满足什么条件的两个向量是相等向量 单位向量是相等向量 相等向量的定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 向量与相等 记作 abab 零向量与零向量相等 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段表示 并且与有向线段的起点无关 6 平行向量的定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定与任一向量平行 0 说明 综合 才是平行向量的完整定义 向量平行 记作 cba cba 2 向量的运算法则 1 向量的加法 问题 数可进行加法运算 1 2 3 那么向量的加法是怎样定义的 长度是 1 的向量与长度是 2 的向 2 量相加是一定是长度为 3 的向量呢 某人从 A 到 B 再从 B 按原方向到 C 则两次的位移和 ACBCAB 若上题改为从 A 到 B 再从 B 按反方向到 C 则两次的位移和 某人从 A 到 B 再从 B 改变方向到 C 则两次的位移和 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 三角形法则 四边形法则 练习 化简CDBCAB 2 向量的减法 探究 1 向量是否有减法 2 向量的减法是否与数的减法有类似的法则 相反向量 与长度相等 方向相反的向量 叫做的相反向量 记作 aaa aa 任一向量与其相反向量的和是零向量 即 0 aaaa 如果是互为相反的向量 则 ba 0 baabba 向量的减法 向量加上的相反向量 叫做和的差 即abab baba 向量减法法则 两向量起点相同 则差向量就是连结两向量终点 指向被减向量终点的向量 注意 起点相同 指向被减向量的终点 例 1 平行四边形 ABCD 中 用 表示向量 bABaAD abDBAC 例 2 已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A B C 的向量分别为 试用向量 abca 表示 bcOD 3 向量的数乘运算 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如下 a a aa 当 0 时 的方向与的方向相同 当 0 时 的方向与的方向相反 特别的 当 0 aa aa 或 时 a0 a0 注意 实数与向量 可以做积 但不可以做加减法 即 是无意义的 a a a 3 实数与向量的积的运算律 设 为任意向量 为任意实数 则有 ab aa aaa baba 例 1 计算 a4 3 1 ababa 2 3 2 23 32 3 cbacba 例 2 计算 1 2 2 3baba 2 243 3 362 2cbacba 结论 向量与非零向量共线 当且仅当有唯一一个实数 是的 ba b a 例 3 向量是否共线 2121 22 eebeea 例 4 平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M 且 你能用表示bADaAB ba 吗 MDMCMBMA 4 2 向量运算法则的应用 向量的加法 减法 数乘运算统称为响亮的线性运算 对任意实数 恒有 21 baba 2121 1 有关向量共线问题 例 1 已知向量满足 求证 向量共线 ba 23 5 1 25 3 ba baba ba和 例 2 已知 试判断是否共线 BCDEABAD3 3 AEAC与 定理的应用 1 有关向量共线问题 2 证明三点共线 三点共线 CBABCBCAB 0 3 证明两直线平行问题 例 3 已知任意两个非零向量 试作 你能判断三点ba baOCbaOBbaOA3 2 CBA 间的位置关系吗 为什么 例 4 在四边形中 求证 四边形为梯形 ABCDbaCDbaBCbaAB35 4 2 ABCD 5 同步练习 一 1 下列命题中 正确的是 A 若 则 B 对于任意向量 有cbba ca ba baba C 若 则或 D 对于任意向量 有ba ba ba ba baba 2 2007 北京理 已知是所在平面内一点 为边中点 且 OABC DBC2OAOBOC 0 那么 AOOD 2AOOD 3AOOD 2AOOD 3 2008 广东理 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O E 是线段 OD 的中点 AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 则 aAC bBD AF A B C D 11 42 ab 21 33 ab 11 24 ab 12 33 ab 二 二 1 2006 上海理 如图 在平行四边形 ABCD 中 下列结论中错误的是 A B AB DC AD AB AC C D AB AD BD AD CB 0 2 2007 湖南文 若 O E F 是不共线的任意三点 则以下各式中成立的是 A B EFOFOE EFOFOE C D EFOFOE EFOFOE 3 2003 辽宁 已知四边形 ABCD 是菱形 点 P 在对角线 AC 上 不包括端点 A C 则 AP A B 1 0 ADAB 2 2 0 BCAB C D 1 0 ADAB 2 2 0 BCAB 4 2008 辽宁理 已知 O A B 是平面上的三个点 直线 AB 上有一点 C 满足 则 20ACCB OC A B C D 2OAOB 2OAOB 21 33 OAOB 12 33 OAOB 5 2003 江苏 天津文 理 是平面上一定点 是平面上不共线的三个点 动点满足OABC P 的轨迹一定通过的 0 ABAC OPOAP ABAC 则ABCA A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 6 2005 全国卷 理 文 已知点 设的平分线与相交于 3 1 A 0 0 B 3 0 CBAC AEBC 那么有 其中等于 EBCCE A B C D 1 2 1 3 AB CD 6 7 设是两个不共线的非零向量 若向量与的方向相反 则 k ba bak2 bka 8 8 2007 江西理 如图 在 ABC 中 点 O 是 BC 的中点 过点 O 的直线分别 交直线 AB AC 于不同的两点 M N 若 m n ABAMACAN 则 m n 的值为 9 2005 全国卷 理 的外接圆的圆心为 O 两条边上的高的交ABC 点为 H 则实数 m OCOBOAmOH 10 2007 陕西文 理 如图 平面内有三个向量 其OAOBOC中与OA 的夹角为 120 与的夹角为 30 且OBOAOC OAOB 1 若 的值OC22OC 则R OBOA 为 三 三 11 2006 全国 卷理 设平面向量 的和 1 a 2 a 3 a 123 0aaa 如果向量 满足 且顺时针旋转后与同向 其中 则 1 b 2 b 3 b2 ii ba i a30o i b1 2 3i A B C D 123 0bbb 123 0bbb 123 0bbb 123 0bbb 12 2006 湖南理 如图 2 OM AB 点 P 在由射线 O