1.2.1充要条件

1 1 2 1 充要条件充要条件 教学目标 1 复习充分条件 必要条件的概念和应用 2 学习充要条件的概念和应用 2 会求 某些简单问题成立的充分条件 必要条件 充要条件 3 能够利用命题之间的关系判定充要 关系或进行充要条件的证明 教学重点 1 充分条件 必要条件的两种常用判断方法复习巩固 2 充要条件的概念 3 充分条件 必要条件及充要条件的简单应用 教学难点 充分条件 必要条件及充要条件的简单应用 教学过程 一 复习充分条件 必要条件的两种常用判断方法 1 概念 1 一般地 若 p 则 q 为真命题 是指由 p 通过推理可以得出 q 这时 我们就 说 由 p 可推出 q 记作 p q 并且说 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 2 若 p q 但 q p 称 p 是 q 的充分而不必要条件 若 q p 但 p q 称 p 是 q 的必要 而不充分条件 2 两种常用判断方法 1 命题真假判断法 即根据充分条件 必要条件概念中所涉及的原命题及其逆命题的真 假来判断 2 集合大小判断法 若 A B 则 p 是 q 的充分条件 若 A B 则 p 是 q 的充分不必要条 件 若 B A 则 p 是 q 的必要条件 若 B A 则 p 是 q 的必要不充分条件 二 新课 充要条件 1 概念 1 一般地 如果既有 p q 又有 q p 就记作 p q 此时 我们说 p 是 q 的 充分必要条件 简称充要条件 2 充要条件的实质是原命题 若 p 则 q 和其逆命题 若 q 则 p 均为真命题 如果 p 是 q 的充要条件 那么 q 也是 p 的充要条件 即如果 p q 那么 p 与 q 互为充要条件 3 若既有 p q 又有 q p 称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2 两种常用判断方法 1 命题真假判断法 即根据充要条件概念中所涉及的原命题及其逆命题的真假来判断 2 集合大小判断法 若 A B 则 p q 互为充要条件 若 A B 且 B A 则 p 既不是 q 的 充分条件 也不是 q 的必要条件 3 例题选讲 例 1 在 ABC 中 角 A B C 为它的三个内角 则 A B C 成等差数列 是 B 60 的什么条件 答案 因为 A B C 成等差数列 故 2B A C 又因为 A B C 180 故 B 60 反 之 亦成立 故 A B C 成等差数列 是 B 60 的充分必要条件 例 2 指出下列各题中 p 是 q 的什么条件 1 p ax2 ax 1 0 的解集是 R q 0 a 4 2 2 p x 1 x 5 0 q 0 满足题意 当 a 0 时 由Error 可得 0 a 4 故 p 是 q 的必要不充分条件 2 易知 p 1 x 5 q 1 x 5 所以 p 是 q 的充要条件 3 因为 A B A A B B 所以 p 是 q 的充要条件 4 由Error 根据同向不等式相加 相乘的性质 有Error 即 p q 但Error Error 比如 当 1 5 时 Error 而 2 所以 q p 所以 p 是 q 的充分不必要条件 例 3 求 ax2 2ax 1 0 有实根的充要条件 解 1 当 a 0 时 原方程变为 1 0 即 x 不符合要求 1 2 2 当 a 0 时 ax2 2ax 1 0 为一元二次方程 它有实根的充要条件是 0 即 4a2 4a 0 a 0 或 a 1 综上所述 ax2 2ax 1 0 有实根的充要条件是 a 0 或 a 1 例 4 已知函数 f x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a x a0 即 x a 1 x 2a 0 又 a2a B x 2a x a 1 p 是 q 的必要不充分条件 B A 3 2a 1 或 a 1 1 解得 a 1 或 a 2 1 2 a 的取值范围为 2 1 1 2 反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中 要注意将条件 p 和 q 转化为集合 从而转 化为两集合之间的子集关系 再转化为不等式 或方程 从而求得参数的取值范围 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 1 记集合 M x p x N x q x 2 若 p 是 q 的充分不必要条件 则 M N 若 p 是 q 的必要不充分条件 则 N M 若 p 是 q 的充要条件 则 M N 3 根据集合的关系列不等式 组 4 求出参数的范围 三 小结 两种常用判断方法 1 命题真假判断法 1 1 若 p q 则 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 2 若 p q 但 q p 称 p 是 q 的充分而不必要条件 若 q p 但 p q 称 p 是 q 的必要 而不充分条件 3 如果 p q 那么 p 与 q 互为充要条件 4 若 p q 且 q p 称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2 集合大小判断法 若 A B 则 p 是 q 的充分条件 若 A B 则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B A 则 p 是 q 的必要条件 若