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井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 1 页 共 82 页 2012 年全国初中数学竞赛预赛试题年全国初中数学竞赛预赛试题 江西省吉安市江西省吉安市 一 一 选择题 每题选择题 每题 7 分 共分 共 42 分 分 1 化简的结果是 38194233122172 A 2 B 2 C D 3333 2 一次考试共有 5 道题 考后统计如下 有 81 的同学做对第 1 题 91 的同学做对第 2 题 85 的同学做对第 3 题 79 的同学做对第 4 题 74 的同学做对第 5 题 如果做对 3 题以上的 含 3 题 题目的同学考试合格 那么这次考试合格率的同学至少 A 70 B 79 C 74 D 81 3 如图 在 ABC 中 则 AN NL LE 等于 3 1 3 1 3 1 CACFBCBEABAD A 2 1 1 B 3 2 1 C 3 3 1 D 2 3 1 4 满足方程的所有非负整数解的组数有xyyxyx 2 22 A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图 正方形 ABCD 的边长为 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 分别交152 DE DB 于 M N 则 DMN 的面积为 A 8 B 9 C 10 D 11 6 使分式的值为整数的实数 x 的值的个数是 33 42 2 2 xx xx A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 每题填空题 每题 7 分 共分 共 28 分 分 7 边长为整数 且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 8 边长为 9cm 40cm 41cm 的三角形的重心到外心的距离是 9 已知二次函数 一次函数 若它们的图像对于问题任cbxaxy 2 4 1 2 k xky 意的数 k 都只有一个公共点 则二次函数的解析式为 10 代数式的最小值是 49 8 9 22 xx 三 解答题 共三大题 解答题 共三大题 70 分 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 2 页 共 82 页 11 已知关于 x 的方程的根是整数 求满足条件024 2810 4 2 2 xkxkk 的所有实数 k 的值 20 分 12 如图 在矩形 ABCD 中 点 P 在 AB 上 且 ACP 是等腰三角形 O 是 AC 的中点 OE AB 于有 点 Q 是 OE 的中点 求证 PQ CE 25 分 13 已知二次函数图像与轴交于 x1 x2 4 3 2 mxmxy 点点 0 0 21 xBxA 与 y 轴交于点 C 若 CAB 与 CBA 是锐角 1 求 m 的值 2 是否可能出现 CAB CBA 若可能 求出 m 的值 若不可能 比较 CAB 与 CBA 的大小 3 当 CAB 与 CBA 互余时 ABC 的面积是多少 25 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 3 页 共 82 页 2011 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2011 年 3 月 20 日 9 30 11 30 满分 150 分 一 选择题一 选择题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题 后的括号里 不填 多填或错填都得 0 分 1 设 则代数式的值为 53 2 x 1 2 3 x xxx A 0 B 1 C 1 D 2 2 对于任意实数 a b c d 定义有序实数对 a b 与 c d 之间的运算 为 a b c d ac bd ad bc 如果对于任意实数 u v 都有 u v x y u v 那么 x y 为 A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 0 1 3 已知 A B 是两个锐角 且满足 则 22 5 sincos 4 ABt 222 3 cossin 4 ABt 实数 t 所有可能值的和为 A B C 1 D 8 3 5 3 11 3 4 如图 点 D E 分别在 ABC 的边 AB AC 上 BE CD 相交于点 F 设 则与的大小 1EADF SS 四边形 2BDF SS 3BCF SS 4CEF SS 13 S S 24 S S 关系 为 A B 13 S S 24 S S 13 S S 24 S S C D 不能确定 13 S S 24 S S 5 设 则 4S 的整数部分等于 3333 1111 1232011 S A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题二 填空题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 两条直角边长分别是整数 a b 其中 by z B x y z C x y z D x y z 6 将 1 2 3 4 5 6 7 8 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上 使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数 如果圆周旋转后能重合 的算作相同填法 那么不同的填法有 A 4 种 B 8 种 C 12 种 D 16 种 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 8 页 共 82 页 二 二 填空题 每小题填空题 每小题 7 7 分 共分 共 2828 分 分 1 若 k 个连续正整数之和为 2010 则 k 的最大值是 2 单位正三角形中 将其内切圆及三个角切圆 与角两边及三角形内切圆都相切的圆 的内部挖去 则三角形剩下部分的面积为 3 圆内接四边形 ABCD 的四条边长顺次为 AB 2 BC 7 CD 6 DA 9 则四边形的面积为 4 在 1 2 3 5 20 中 适当选择 号 可以得到不同代数 和的个数是 第 二二 试试 一 20 分 边长为整数的直角三角形 若其两直角边长 a b 是方程 0 的两根 求 k 的值并确定直角三角形三边之长 kxkx4 2 2 二 25 分 如图 自 ABC 内的任一点 P 作三角形三条边的垂线 PD BC PE CA PF AB 若 BD BF CD CE 证明 AE AF 三 25 分 已知 a b c 为正整数 且为有理数 证明为整 cb ba 3 3 cba cba 222 数 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 9 页 共 82 页 P D O y x C A B 第 9 题图 数学周报数学周报 杯杯 20102010 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 7 7 分 共分 共 3535 分分 1 若 则的值为 10 20 c b b a cb ba A B C D 21 11 11 21 21 110 11 210 2 若实数a b满足 则a的取值范围是 02 2 1 2 baba A a B a4 C a 或 a 4 D a 4 3 如图 在四边形ABCD中 B 135 C 120 AB BC CD 则AD边的长为 32224 24 A B 6264 C D 64 622 4 在一列数 中 已知 且当k 2 时 321 xxx1 1 x 取整符号 a 表示不超过 4 2 4 1 41 1 kk xx kk 实数的最大整数 例如 2 6 2 0 2 0 则等于 2010 x A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图 在平面直角坐标系xOy中 等腰梯形ABCD的顶点 坐标分别为A 1 1 B 2 1 C 2 1 D 1 1 y轴上一点P 0 2 绕点A旋转 180 得点P1 点P1绕点B旋转 180 得点P2 点P2绕点C旋转 180 得点P3 点P3绕点D旋转 180 得点P4 重复操作依次得到点 P1 P2 则点P2010的坐标是 A D C B 第 3 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 10 页 共 82 页 A 2010 2 B 2010 C 2012 D 0 2 二 填空题二 填空题 6 已知a 则 2a3 7a2 2a 12 的值等于 15 7 一辆客车 一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一 方向匀速行驶 在某一时刻 客车在前 小轿车在后 货车在客车与 小轿车的正中间 过了 10 分钟 小轿车追上了货车 又过了 5 分钟 小轿车追上了客车 再过t分钟 货车追上了客车 则t 8 如图 在平面直角坐标系xOy中 多边形OABCDE的顶点坐标分别是O 0 0 A 0 6 B 4 6 C 4 4 D 6 4 E 6 0 若直线l经过点M 2 3 且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分 则直线l的函数表达式是 9 如图 射线AM BN都垂直于线段AB 点E为AM上一点 过点A作BE的垂线AC 分别交BE BN于点F C 过点C作AM的垂线CD 垂足为 D 若CD CF 则 AD AE 10 对于i 2 3 k 正整数n除以i所得的余数为 i 1 若的最小值满足 则正整数的最 0 n3000200 0 n 小值为 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 每题题 每题 2020 分 共分 共 8080 分 分 11 如图 ABC为等腰三角形 AP是底边BC上的高 点D是线段PC上的一点 BE 和CF分别是 ABD和 ACD的外接圆直径 连接EF 求证 BC EF PAD tan 第 12A 题 12 如图 抛物线 a0 与双曲bxaxy 2 线相交于点A B 已知点A的坐标为 1 4 点B在第三象限内 且 AOB的面 x k y 积为 3 O为坐标原点 1 求实数a b k的值 2 过抛物线上点A作直线AC x轴 交抛物线于另 一点C 求所有满足 EOC AOB的点E的坐标 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 11 页 共 82 页 13 求满足的所有素数p和正整数m mmpp282 22 20092009 年全国初中数学江西赛区预赛试题年全国初中数学江西赛区预赛试题 2009 年 3 月 22 日上午 9 30 11 30 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 满分分 满分 35 分 分 1 已知非零实数 a b 满足 2a 4 b 2 4 2a 则 a b 等于 a 3 b2 A 1 B 0 C 1 D 2 2 如图所示 菱形 ABCD 边长为 a 点 O 在对角线 AC 上一点 且 OA a OB OC OD 1 则 a 等于 A B 1 C D 2 1 51 2 51 3 将一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方形骰子先后投掷两 次 记第一次掷出的点数为 a 第二次掷出的点数为 b 则关于 x y 的方程组 只有正数解的概率为 22 3 yx byax A B C D 1 12 2 9 5 18 13 36 4 如图 1 所示 在直角梯形 ABCD 中 AB CD B 90 动点 P 从点 B 出发 沿梯形的边由 B C D A 运动 设点 P 运动的路程为 x ABP 的面 积为 y 把 y 看作 x 的函数 函数图象如图 2 所示 则 ABC 的面积为 A 10 B 16 C 18 D 32 5 关于 x y 的方程的整数解 x y 的组数为 292 22 yxyx A 2 组 B 3 组 C 4 组 D 无穷多组 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分 分 6 一自行车轮胎 若把它安装在前轮 则自行车行驶 5000km 后报废 若把它安装在 后轮 则自行车行驶 3000km 后报废 行驶一定路程后可以交换前 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 12 页 共 82 页 后轮胎 如果交换前 后轮胎 要使一辆自行车的一对新轮胎同时 报废 那么这辆自行车将能行驶 7 已知线段 AB 的中点为 C 以点 C 为圆心 AB 长为半径作 圆 在线段 AB 的延长线上取点 D 使得 BD AC 再以点 D 为圆心 DA 的长位半径作圆 与 A 分别相交于点 F G 两点 连接 FG 交 AB 于点 H 则的值为 AH AB 8 已知满足条件的五个不同的整数 若 54321 aaaaa 9 54321 aaaaa b 是关于 x 的方程的2009 54321 axaxaxaxax 整数根 则 b 的值为 9 如图所示 在 ABC 中 CD 是高 CE 为 ACB 的平分线 若 AC 15 BC 20 CD 12 则 CE 的长等于 10 10 个人围成一个圆圈做游戏 游戏的规则是 每个人心里都 想好一个数 并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人 然后每个 人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来 若抱出来的数如图所示 则报 3 的人心 里想的数是 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 每题小题 每题 20 分 共分 共 80 分 分 11 函数的图像与 x 轴的两个交点是否都在直线 x 1 的右侧 22 12 kxkxy 若是 请说明理由 若不一定是 请求出两个交点都在直线 x 1 的右侧时 k 的取值范围 12 在平面直角坐标系 xoy 中 我们把横坐标为整数 纵坐标为完成平方数的点称为 好点 求二次函数的图像上的所有 好点 的坐标 4907 90 2 xy 13 如图 给定锐角 ABC BC CA AD BE 是它的两条高 过点 C 作 ABC 的 外接圆的切线 l 过电 D E 分别作 l 的垂线 垂足分别为 F G 试比较线段 DF 和 EG 的 大小 并证明你的结论 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 13 页 共 82 页 14 n 个正整数满足如下条件 n aaa 21 且中任意 n 1 个不同的数的算术平20091 321 n aaaa n aaa 21 均数都是正整数 求 n 的最大值 2009 年初中数学竞赛江西赛区决赛试题年初中数学竞赛江西赛区决赛试题 第一试 一 一 选择题 每小题选择题 每小题 7 分 共分 共 42 分 分 1 化简的值是 2471 23 2471 23 A B C D 2 2 3 3 6 4 7 2 a b c 是互不相同的实数 则代数式经化简后得到 222 bcac bxaxc cbab axcxb caba cxbxa A B C D 2 a 2 b 2 c 2 x 3 设实数 a b c x y x 则下列四数中 值最小的一个数是 A ax by cz B cx by az C bx ay cz D ax cy bz 4 若 ABC 的三条边长 AB 3 AC 4 BC 5 分别以 A B C 为圆心作 A B C 使得这两个圆两两相切 则 A B C 面积之比是 A 1 2 3 B 3 4 5 C 1 4 9 D 9 16 25 5 数组 a b c d a b c d 由不大于 20 的四个质数组成 且满足 a d b c 这种四元组 的个数是 A 6 B 8 C 12 D 16 6 若一元二次方程的两根为整数 且两根的平方和为 2009 则这种0 2 baxx 方程有 A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 8 个 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 7 分 共分 共 28 分 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 14 页 共 82 页 7 从前 20 个正整数 1 2 20 中选择 5 个不同的数填写在一个圆周上 使得圆 周上每相邻两数之和都是平方数 你的填法是 如果写成一行 首尾 的数看成相邻 8 若 f x 323232 11212 1 xxxxx 则 f 1 f 3 f 5 f 2009 9 若 AD BE 为 ABC 的两条角平分线 I 为内心 若 C D I E 四点共圆 且 DE 1 则 ID 10 设 k 为自然数 令 13 2 2 k k k a 921 aaaA 则 921 aaaB B A 第二试第二试 三 三 解答题 本题三大题 共解答题 本题三大题 共 70 分 分 11 20 分 若关于 x 的方程 的各根为整数 求 a06821 14216 281 16 2234 aaxaxaxx 的值 并解此方程 12 25 分 如图 ABC 中 AB AC D 是 BC 上的任意一点 E F 分别是 边 AC AB 上的点 且 DE AB DF AC 作点 D 关于 EF 的对称点 F 证明 PD 平分 BPC 且 PBC AEF 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 15 页 共 82 页 13 25 分 将前 300 个正整数 1 2 3 4 300 顺次在黑板上排成一行 然后划去两数 1 2 而将这两数的和写在最后面 成为 3 4 5 6 300 3 接着 再划去前两数 3 4 而将这两数的和写在最后面 成为 5 6 7 8 300 3 7 象这样一直进行下去 直到黑板剩下一个数为止 试求 黑板上出现过所以数之和 包括每次划去的数在内 20092009 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 4242 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 设 则 71a 32 312612aaa A 24 B 25 C D 4 710 4 712 2 2 在 ABC 中 最大角 A 是最小角 C 的两倍 且 AB 7 AC 8 则 BC A B C D 7 2101057 3 3 3 用表示不大于的最大整数 则方程的解的个数为 xx 2 2 30 xx A 1 B 2 C 3 D 4 4 4 设正方形 ABCD 的中心为点 O 在以五个点 A B C D O 为顶点所构成的所有三 角形中任意取出两个 它们的面积相等的概率为 B A B C D 3 14 3 7 1 2 4 7 5 5 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 2 以 BC 为直径在矩形 内作半圆 自点 A 作半圆的切线 AE 则CBE sin A B C D 6 3 2 3 1 3 10 10 6 6 设是大于 1909 的正整数 使得为完全平方数的的个数是 n 1909 2009 n n n D A B C E 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 16 页 共 82 页 A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 2828 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 1 已知 是实数 若是关于的一元二次方程的两个非负实根 t a bx 2 210 xxt 则的最小值是 22 1 1 ab 2 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点 作 DE BC 交 AC 于点 E 作 DF AC 交 BC 于点 F 已知 ADE DBF 的面积分别为和 则四边形 DECF 的面积为 mn 3 3 如果实数满足条件 则 a b 22 1ab 22 1 2 21ababa ab 4 4 已知是正整数 且满足是整数 则这样的有序数对共有 a b 1515 2 ab a b 对 第二试第二试 一 一 本题满分 本题满分 2020 分 分 已知二次函数的图象与轴的交点分 2 0 yxbxcc x 别为 A B 与轴的交点为 C 设 ABC 的外接圆的圆心为点 P y 1 证明 P 与轴的另一个交点为定点 y 2 如果 AB 恰好为 P 的直径且 求和的值 2 ABC S bc 二 二 本题满分 本题满分 2525 分 分 设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高 分别是 1 I 2 I ADC BDC 的内心 AC 3 BC 4 求 1 I 2 I I1 E D A I2 C F B 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 17 页 共 82 页 三 三 本题满分 本题满分 2525 分 分 已知为正数 满足如下两个条件 a b c 32abc 1 4 bcacababc bccaab 是否存在以为三边长的三角形 如果存在 求出三角形的最大内角 abc 2008 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 42 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 设 且 则代数式的值为 2 13aa 2 13bb ab 22 11 ab 5 7 9 11 A B C D 2 如图 设 为三角形的三条高 若 ADBECFABC6AB 5BC 则线段的长为 3EF BE 4 A 18 5 B C 21 5 D 24 5 3 从分别写有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中任意取出两张 把第一张卡片上的数字作为十位数字 第二张卡片上的数字作为 个位数字 组成一个两位数 则所组成的数是 3 的倍数的概率是 A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 4 在 中 和ABC12ABC 132ACB BM 分别是这两个角的外角平分线 且点分别在直线和直线上 则 CN M NACAB ABMCN BBMCN 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 18 页 共 82 页 和的大小关系不确定 CBMCN DBMCN 5 现有价格相同的 5 种不同商品 从今天开始每天分别降价 10 或 20 若干天后 这 5 种商品的价格互不相同 设最高价格和最低价格的比值为 则的最小值为 rr A 3 9 8 B 4 9 8 C 5 9 8 D 9 8 6 已知实数满足 则 x y 22 2008 2008 2008xxyy 的值为 20073323 22 yxyx 2008 1 A2008 B C1 D 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 28 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 设 则 51 2 a 5432 3 22aaaaa aa 2 如图 正方形的边长为 1 为所在直线上的两点 且 ABCD M NBD5AM 则四边形的面积为 135MAN AMCN 3 已知二次函数的图象与轴的两个交 2 yxaxb x 点的横坐标分别为 且 设满足上述要求的mn1mn b 的最大值和最小值分别为 则 pqpq 4 依次将正整数 1 2 3 的平方数排成一串 149162536496481100121144 排 在第 1 个位置的数字是 1 排在第 5 个位置的数字是 6 排在第 10 个位置的数字是 4 排 在第 2008 个位置的数字是 第二试第二试 一 一 本题满分 本题满分 20 分 分 1 已知 对于满足条件的一切实数 不 22 1ab 01x x 等式 1 恒成立 当乘积取最小值时 求的 1 1 0axxaxbx bxbx ab a b 值 二 二 本题满分 本题满分 25 分 分 如图 圆与圆相交于两点 为圆的切线 OD A BBCD 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 19 页 共 82 页 点在圆上 且 COABBC 1 证明 点在圆的圆周上 OD 2 设 的面积为 求圆的的半径的最小值 ABCSDr 三 三 本题满分 本题满分 25 分 分 1 设为质数 为正整数 且ab 求 的值 2 9 2 509 4511 abab ab 20082008 年全国初中年全国初中 数学周报数学周报 杯数学竞赛试题杯数学竞赛试题 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分 分 1 已知实数满足 则的值为 xy 42 42 42 33yy xx 4 4 4 y x A 7 B C D 5 113 2 713 2 2 把一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子先 后投掷 2 次 若两个正面朝上的编号分别为m n 则二次函数的图象与x 2 yxmxn 轴有两个不同交点的概率是 A B C D 5 12 4 9 17 36 1 2 3 有两个同心圆 大圆周上有 4 个不同的点 小圆周上 有 2 个不同的点 则这 6 个点可以确定的不同直线最少有 A 6 条 B 8 条 C 10 条 D 12 条 4 已知是半径为 1 的圆的一条弦 且 ABO1ABa 以为一边在圆内作正 点为圆上不同于点ABOABCDO A的一点 且 的延长线交圆于点 则的长为 DBABa DCOEAE 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 20 页 共 82 页 4 题 第 8 题 A B 1 C D a 5 2 a 3 2 5 将 1 2 3 4 5 这五个数字排成一排 最后一个数是 奇数 且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一 个数整除 那么满足要求的排法有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分 分 6 对于实数u v 定义一种运算 为 若关于x的方程u vuvv 有两个不同的实数根 则满足条件的实数a的取值范围是 1 4 xax 7 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一 辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交 车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车 总站每 隔固定时间发一辆车 那么发车间隔的时间是 分钟 8 如图 在 中 AB 7 AC 11 点M是BC的中点 AD是 BAC 的ABC 平分线 MF AD 则FC的长为 9 ABC中 AB 7 BC 8 CA 9 过 ABC的内切圆圆心I作DE BC 分别与AB AC相交于点D E 则DE的长为 10 关于x y的方程的所有正整数解为 22 208 xyxy 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 每题题 每题 1515 分 满分分 满分 6060 分 分 11 在直角坐标系xOy中 一次函数的图象与轴 轴的正半bkxy 0k xy 轴分别交于A B两点 且使得 OAB的面积值等于 3OAOB 1 用b表示k 2 求 OAB面积的最小值 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 21 页 共 82 页 12 是否存在质数p q 使得关于x的一元二次方程有有理数根 2 0pxqxp 13 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数 且其中一个内角等于另一个内角 2 倍 的 ABC 证明你的结论 14 从 1 2 9 中任取n个数 其中一定可以找到若干个数 至少一个 也可以 是全部 它们的和能被 10 整除 求n的最小值 20082008 年全国初中数学联赛决赛试题 江西卷 年全国初中数学联赛决赛试题 江西卷 2008 年 4 月 日 上午 00 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 4242 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 本题共有 6 小题 每题均给出了代号为的四个答案 其中有且仅有一个是DCBA 正确的 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选 出的代号字母超过一个 不论是否写在括号内 一律得 0 分 1 从分数组中删去两个分数 使剩下的数之和为 1 则删去 1 1 1 1 11 2 4 6 8 10 12 两个数是 A B C D 11 48 与 11 410 与 11 810 与 11 812 与 2 化简的结果是 3 25 15 A B C D 1 2 5 4 3 8 15 7 第 5 题图 3 的末尾三位数字是 55 5 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 22 页 共 82 页 A 125 B 375 C 625 D 875 4 若实数满足方程组 则有 x y z 1 1 2 2 2 2 3 3 2 xy xy yz yz zx zx A x 2y 3z 0 B 7x 5y 2z 0 C 9x 6y 3z 0 D 10 x 7y z 0 5 将正三角形每条边四等份 然后过这些分点作平行于其它两边的直线 则以图中线 段为边的菱形个数为 A 15 B 18 C 21 D 24 6 某人将 2008 看成了一个填数游戏式 2 8 于是他在每个框中各填写了一个两 位数 结果所得到的六位数恰是一个完全立方数 则 abcd与28abcdabcd A B C D 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 2828 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 7 设 2222 1 4 9 41xxyyxyy x 则 8 一本书共有 61 页 顺次编号为 1 2 61 某人在将这些数相加时 有两个两 位数页码都错把个位数与十位数弄反了 即 形如的两位数被当成了两位数 结果abba 得到的总和是 2008 那么 书上这两个两位数页码之和的最大值是 9 如图 在边长为 1 的正三角形ABC中 由两条含圆心角的弓 0 120 形弧 及边 BC 所围成的 火炬形 阴影部分的面积是 10 不超过的最大整数是 6 53 三 解答题 共 70 分 11 本题满分 20 分 设 a 为整数 使得关于 x 的方程 a a 5 x a 7 0 至少有一 2 x 个有理根 试求方程所有可能的有理根 12 本题满分 25 分 如图 四边形中ABCD中 E F分别是AB CD的中点 P为对 角线AC延长线上的任意一点 PF交AD于M PE交BC于N EF交MN于K 求证 K是线段MN的中点 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 23 页 共 82 页 13 本题满分 25 分 120 人参加数学竞赛 试题共有 5 道大题 已知第 1 2 3 4 5 题分别有 96 83 74 66 35 人做对 如果至少做对 3 题便可获奖 问 这次竞赛至少有几人获奖 2007 年江西省初中数学预赛试题年江西省初中数学预赛试题 2007 年年 3 月月 24 日上午日上午 9 00 11 00 第一试第一试 一 选择题 本大题共六小题 每小题一 选择题 本大题共六小题 每小题 7 分 共分 共 42 分 分 1 20072007的末位数字是 A 1 B 3 C D 32 32 2 化简的结果是 2323 223223 A B C D 3232 32 3 若为正数 已知关于的一元二次方程有两个相等的实根 a b cx 2 0axbxc 则方程的根的情况是 2 1 2 10axbxc A 没有实根 B 有两个相等的实根 C 有两个不等的实根 D 根的情况不确定 4 若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点 则这种直角三角形的个数为 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 24 页 共 82 页 A 36 B 60 C 96 D 120 5 对于给定的单位正方形 若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出 便得到 右图 则图中互为相似的三角形 对子 数有 A 44 B 552 C 946 D 1892 6 若将三条高线长度分别为 x y z 的三角形记为 x y z 则在以下四个三角形 6 8 10 8 15 17 12 15 20 20 21 29 中 直角三角形的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 28 分 分 7 满足方程的所有实数 x 的和为 3 34531xx 8 边长为整数 周长为 20 的三角形个数是 9 在边长为 1 的正方形 ABCD 中 分别为 A B C D 为 圆心 作半径为 1 的圆弧 将正方形分成图中的九个小块 则中心小块的面积是 10 用数字 1 2 3 4 排成一个四位数 使得这个数是 11 的倍数 则这样的四位数 共有 个 第二试第二试 三 解答题 本大题共 3 小题 共 70 分 第 11 小题 20 分 第 12 13 小题各 25 分 11 试求所有的正整数 使得关于的一元二次方程ax 的两根皆为整数 222 5268 49 0 xaaxaa 12 四边形 ABCD 的对角线 AC BD 交于 P 过点 P 作直线 交 AD 于 E 交 BC 于 F 若 PE PF 且 AP AE CP CF 证明 四边形 ABCD 为平行四边形 D C BA P D A C B E F 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 25 页 共 82 页 A B C DE 第 4 题图 B A C D F EO x y 第 6 题图 13 若数能表示成两个自然数 允许相同 的平方和 则称为 好数 试确定在aa 前 200 个正整数 1 2 200 中 有多少个 好数 2007 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一 选择题一 选择题 共 5 小题 每小题 6 分 满分 30 分 1 方程组的实数解的个数为 6 12 yx yx A 1 B 2 C 3 D 4 2 口袋中有 20 个球 其中白球 9 个 红球 5 个 黑球 6 个 现从 中任取 10 个球 使得白球不少于 2 个但不多于 8 个 红球不少于 2 个 黑球不多于 3 个 那么上述取法的种数是 A 14 B 16 C 18 D 20 3 已知 是三个互不相等的实数 且三个关于的一元二次abcx 方程 恰有一个公共实数0 2 cbxax0 2 acxbx0 2 baxcx 根 则的值为 ab c ca b bc a 222 A 0 B 1 C 2 D 3 4 已知 ABC 为锐角三角形 O 经过点 B C 且与边 AB AC 分 别相交于点 D E 若 O 的半径与 ADE 的外接圆的半径相等 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 26 页 共 82 页 A B C D O E P 第 7 题图 A B C D E F G Q 第 8 题图 则 O 一定经过 ABC 的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 5 方程的整数解 x y 的个数是 256 323 yyxxx A 0 B 1 C 3 D 无穷多 二 填空题二 填空题 共 5 小题 每小题 6 分 満分 30 分 6 如图 点 A C 都在函数 x 0 的图象上 点 B x y 33 D 点在 x 轴上 且使得 OAB BCD 都是等边三角形 则点 D 的坐标为 7 如图 在直角三角形 ABC 中 ACB 90 CA 4 点 P 是半圆弧 AC 的中点 连接 BP 线段 BP 把图形 APCB 指半圆和三角形 ABC 组成的图形 分成两部分 则这 两部分面积之差的绝对值是 8 如图 A B C D E F G 则 90nn 9 已知点 A B 的坐标分别为 1 0 2 0 若二次函数的图象3 3 2 xaxy 与线段 AB 恰有一个交点 则的取值范围是 a 10 已知对于任意正整数 都有 n 3 21 naaa n 则 1 1 1 1 1 1 10032 aaa 三 解答题三 解答题 共 4 题 每小题 15 分 满分 60 分 11 已知抛物线和抛物线相交于点 A B 两43 2 1 xxyC43 2 2 xxyC 点 点 P 在抛物线上 且位于点 A 和点 B 之间 点 Q 在抛物线上 也位于点 A 和 1 C 2 C 点 B 之间 1 求线段 AB 的长 2 当 PQ 轴时 求 PQ 长度的最大值 y 解 12 已知 a b 都是正整数 试问关于的方程是否有两个整x0 2 1 2 baabxx 数解 如果有 请把它们求出来 如果没有 请给出证明 解 A B P Q O x y 第 11 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 27 页 共 82 页 G F E D C B A 第 6 题 13 如图 点 E F 分别在四边形 ABCD 的边 AD BC 的延长线上 且满足 若 CD FE 的延长线相交于点 G DEG 的外接圆与 CFG 的外接圆的另一 BC AD CF DE 个交点为点 P 连接 PA PB PC PD 求证 1 2 PAB PDC PC PD BC AD 证明 14 1 是否存在正整数 使得 mn 1 2 nnmm 2 设 3 是给定的正整数 是否存在正整数 使得kkmn 1 nnkmm 解 2006 年全国初中数学竞赛初赛试题 2006 年 3 月 12 日 上午 9 00 11 00 一 选择题 共一 选择题 共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 分 1 要使方程组的解是一对异号的数 则 a 的取值范围是 232 23 yx ayx A a 3 B a C a 3 D a 或 a 3 3 4 3 4 3 4 2 一块含 30 角的直角三角板 如图 它的斜边 AB 8cm 里面空心 DEF 的各边 与 ABC 的对应边平行 且各对应边的距离都是 1 cm 那么 DEF 的周长是 A 5 cm B 6 cm C cm D cm36 33 3 将长为 15 dm 的木棒截成长度为整数的三段 使它们构成一个三角形的三边 则不 同的截法有 A 5 种 B 6 种 C 7 种 D 8 种 4 作抛物线 A 关于 x 轴对称的抛物线 B 再将抛物线 B 向左平移 A B C D E F P G 第 13 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 28 页 共 82 页 第 8 题 2 个单位 向上平移 1 个单位 得到的抛物线 C 的函数解析式是 1 1 2 2 xy 则抛物线 A 所对应的函数表达式是 A B 2 3 2 2 xy2 3 2 2 xy C D 2 1 2 2 xy2 1 2 2 xy 5 书架上有两套同样的教材 每套分上 下两册 在这四册教材中随机抽取两册 恰 好组成一套教材的概率是 A B C D 3 2 3 1 2 1 6 1 6 如图 一枚棋子放在七边形 ABCDEFG 的顶点 A 处 现顺时针方向移动这枚棋子 10 次 移动规则是 第 k 次依次移动 k 个顶点 如第一次移动 1 个顶点 棋子停在顶点 B 处 第二次移动 2 个顶点 棋子停在顶点 D 处 依这样的规则 在这 10 次移动的过程中 棋子 不可能停到的顶点是 A C E F B C E G C C E D E F 7 一元二次方程中 若 a b 都是偶数 c 是奇数 则这个方程 0 0 2 acbxax A 有整数根 B 没有整数根 C 没有有理数根 D 没有实数根 8 如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成 我们称这样的图 案为 L 形 那么在由 4 5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 形图案个数是 A 16 B 32 C 48 D 64 二 填空题 共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 9 已知直角三角形的两直角边长分别为 3 cm 和 4 cm 那么以两直角边为直径的两圆 公共弦的长为 cm 10 将一组数据按由小到大 或由大到小 的顺序排列 处于最中间位置的数 当数 据的个数是奇数时 或最中间两个数据的平均数 当数据的个数是偶数时 叫做这组数 据的中位数 现有一组数据共有 100 个数 其中有 15 个数在中位数和平均数之间 如果 这组数据的中位数和平均数都不在这 100 个数中 那么这组数据中小于平均数的数据占这 100 个数据的百分比是 11 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 已知 a b c 则 bsinB csinC 的值等于 1023 23 12 设直线和直线 k 是正整数 及 x 轴围成的三角形面1 kkxykxky 1 积为 则的值是 k S 1232006 SSSS 13 如图 正方形 ABCD 和正方形 CGEF 的边长分 别是 2 和 3 且点 B C G 在同一直线上 M 是线段 AE 的中点 连结 MF 则 MF 的长为 14 边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为 1 2 的两部分 那么所有这 A E F B C D G M 第 13 题 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 29 页 共 82 页 些等腰三角形中 面积最小的三角形的面积是 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 分值依次为题 分值依次为 1212 分 分 1212 分 分 1212 分和分和 1414 分 满分分 满分 5050 分 分 15 已知 a b c 都是整数 且 求的值 24ab 2 10abc abc 16 做服装生意的王老板经营甲 乙两个店铺 每个店铺在同一段时间内都能售出 A B 两种款式的服装合计 30 件 并且每售出一件 A 款式和 B 款式服装 甲店铺获毛利润 分别为 30 元和 40 元 乙店铺获毛利润分别为 27 元和 36 元 某日 王老板进货 A 款式服装 35 件 B 款式服装 25 件 怎样分配给每个 店铺各 30 件服装 使得在保证乙店铺获毛利润不小于 950 元的前提 下 王老板获取的总毛利润最大 最大的总毛利润是多少 17 如图所示 O 沿着凸 n 边形 A1 A2 A3 An 1An的外侧 圆和边相切 作无滑动的滚动 一周回到原来的位置 1 当 O 和凸 n 边形的周长相等时 证明 O 自身转动了两圈 2 当 O 的周长是 a 凸 n 边形的周长是 b 时 请写出此时 O 自身转动的圈数 18 已知二次函数 1 1 2 2 mxmxy 1 随着 m 的变化 该二次函数图象的顶点 P 是否都在某条抛物线上 如果是 请求出 该抛物线的函数表达式 如果不是 请说明理由 2 如果直线经过二次函数图象的顶点 P 求此时 m1 xy1 1 2 2 mxmxy 的值 2006 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2006 年 4 月 2 日上午 9 30 11 30 满分 120 分 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分 以下每道小题均给出了代号为分 以下每道小题均给出了代号为 A A B B C C D D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后 的括号里 不填 多填或错填均得的括号里 不填 多填或错填均得 0 0 分 分 1 在高速公路上 从 3 千米处开始 每隔 4 千米经过一个限速标志牌 并且从 10 千 米处开始 每隔 9 千米经过一个速度监控仪 刚好在 19 千米处第一次同时经过这两种设施 那么第二次同时经过这两种设施的千米数是 A 36 B 37 C 55 D 90 2 已知 且 8 则a的值21 m21 n 763 147 22 nnamm 等于 A 5 B 5 C 9 D 9 3 Rt ABC 的三个顶点A B C均在抛物线上 并且斜边AB平行于x轴 若 2 xy 斜边上的高为h 则 A 1 A 2 A 3 An 1 A n O 第 17 题 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 30 页 共 82 页 第 7 题图 A B C DG FE A h 1 B h 1 C 1 h2 4 一个正方形纸片 用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 拿出其中一 部分 再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 又从得到的三部分中拿出其中之一 还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分 如此下去 最后得到了 34 个六十二边 形和一些多边形纸片 则至少要剪的刀数是 A