11-12学年高等代数I期中考试答案.doc

一（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中1、2n级排列的逆序数是 ,2、4阶行列式D的第二行元素依次为2，x, 1，0。它们的余子式分别是-2，2，-2，y。第三行元素的代数余子式分别是1，1，1，1。则D = 0 。3、若一个级行列式中元素或为1或为，则的值必为（ d ）。(a)、1 (b)、 (c)、奇数 (d)、偶数4、行列式的所有元素代数余子式之和是 2 。5、 若向量组，的秩为2，则+，+，+的秩为 2 。6、已知向量可由向量组线性表示, 则向量组的秩为 2 。7、一个齐次线性方程组中共有个方程、个未知量，其系数矩阵的秩为，若它有非零解，则它的基础解系所含解向量的个数为 m-r 。8、若向量组线性相关，则 _2_。9、以下命题正确的是（2,4 ）。 ( 1)、等价向量组含相同个数的向量;(2)、若一个非齐次线性方程组有无穷多组解，则它的导出组有非零解;(3)、若矩阵的所有级的子式全为零，则的秩为;(4)、初等行变换不改变矩阵的列秩。10、设向量组线性无关，则下向量组中线性无关的是 iii,iv ,； 二. (10分) 计算阶行列式。解 把第一行元素写成两组数的和把第一列元素写成两组数的和两式相加有三、 (6分)计算阶行列式。解 四(6分)就a,b的取值，讨论下矩阵的秩： 。解 对A作初等行变换：（1）当a=-8且b=-2时，r(A)=2;（2）当a=-8且b-2时，r(A)=3;（3）当a-8且b=-2时，r(A)=3;（4）当a-8且b-2时，r(A)=4。五 （8分） 求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。解 将向量组排成列构成矩阵A，对A作初等行变换：所以是一个极大线性无关组，且六、（10分） 当为何值时，线性方程组无解，有惟一解，有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，写出它的所有解（用导出组基础解系表示）。解 将原方程组的增广矩阵化为阶梯型：当 原方程组无解；当 且原方程组有唯一解；当 原方程组有无穷多解；此时方程组等价于 它的一个特解是导出组的基础解系为一般解是 任取。七（15分）已知。（1）当a,b为何值时，不能由向量组线性表示；（2）当a,b为何值时，可由向量组线性表示，且表法唯一；（3）当a,b为何值时，可由向量组线性表示，但表法不唯一；此时，写出由向量组线性表示的一般表达式。 解 将向量组排成列构成方程组系数矩阵A，作为该方程组常数项列。对增广矩阵作初等行变换：（1）当不能由向量组线性表示；（2）当b=-1时，可由向量组线性表示，且表法唯一；（3）当a=-2,b=-1时，可由向量组线性表示，但表法不唯一；此时，由向量组线性表示的一般表达式为 其中k任取。八. 证明题（15分）：（1）（5分）已知向量可由向量组线性表示，但不能由线性表示。证明：不能由线性表示，但可由线性表示。（2）（10分） 设是非齐次线性方程组Ax=b的解，是其导出组Ax=0的基础解系。证明：（i）是Ax=b的线性无关的解；（ii）方程组Ax=b的任一个解都可表为的线性组合。证 （1）如果可由线性表示，则由可由向量组线性表示，知可由线性表示，矛盾。因此不能由线性表示。由可由向量组线性表示，可设 而不能由线性表示，知，于是从而可由线性表示。（2）（i）易知是Ax=b的解，且与向量组等价。