一类数列求和的新方法

一类数列求和的新方法一类数列求和的新方法 对于形如 其中为常数 的数列求和问题 学生一般采用错位相消 n n qbana qba 法 但是学生在应用这种方法在求和时常常容易在计算时犯错误 在这里 我们主要是探 讨这类数列求和问题的新思路 以期简化学生的计算量和提高学生的思维能力 问题 设 求的前项和 n n na2 n an n S 解 这是典型的一道错位相消的题目 我们从另外的角度来讨论怎么求和 设 令 比较系数可得方程 n n BAnb2 n n nn aBAAnbb 2 2 1 解方程可得 即 nAn 02 BA1 A2 B n n nb2 2 111231221 bbbbbbbbaaaS nnnnn 则 22 1 1 n n nS 注 1 这个方法我们定义为待定系数法 就是构造新数列使得所求的数列可以裂 n b n a 开为的两项之差即 从而得到 n b nnn abb 111 bbS nn 注 2 形如的数列求和问题用 待定系数法 时构造的数列跟 1 qqbana n n n b 的形式是一样 同理对于形如 n a 1 qqBAnb n n 的数列求和问题 我们同样构造数列 nk k k kn qanananaa 01 1 1 nk k k kn qAnAnAnAb 01 1 1 推广 设 求的前项和 1 qqbana n nn an n S 解 设 由可得 n n qBAnb 1 1 1 n n qBnAb nnn abb 1 比较等式两边系数可得 nn qbanqBBqAqAnAqn 解得 aAAq bBBqAq 1 q a A 2 1 q babq B 即 因此我们可以得到 n q babq q a n qnb 2 1 1 故 111231221 bbbbbbbbaaaS nnnnn qqnS q babq q a n q babq q a n 1 22 1 1 1 1 1 这样这一类问题我们都可以解决了 而且只是解个方程而已 避开了复杂的计算 例 1 2014 安徽高考 数列满足 n a1 1 a 1 1 1 nnanna nn Nn 1 证明 数列是等差数列 n an 2 设 求数列的前项和 n n n ab 3 n bn n S 解 1 证明 即 1 1 1 nnanna nn 1 1 1 n a n a nn 1 1 1 n a n a nn 数列是以 为首项 以 为公差的等差数列 n an 11 2 由 1 知 则 nn n an 1 1 1 2 nan n n n n nab3 3 下面我们用新方法来求这个数列的和 设 n n BAnc3 1 1 3 1 n n BnAc 令 比较系数可得方程 nnn ccb 1 n n nb3 n nn BAAncc3 232 1 解之得 故 则 03 12 BA A 4 3 2 1 B A n n n c3 4 3 2 即 而 1231221nnnn ccccccbbbS 11 ccS nn 1 4 1 2 1 3 n n n c 4 3 1 c 4 3 1 4 12 3 n n n S 例 2 2015 湖北高考 设等差数列的公差为 前项和为 等比数列的 n adn n S n b 公比为 已知 q 11 ab 2 2 bdq 100 10 S 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 当时 记 求数列的前项和 1 d n n b a n c n cn n T 解 1 由题意有 解得或 2 1004510 1 1 da da 2 1 1 d a 9 2 1 9 d a 故或 1 2 12 n n n b na 1 9 2 9 1 9 792 n n n b na 2 由 知 故 1 d12 nan 1 2 n n b nn n nnc 24 12 2 1 1 2 1 设 由可得方程组 n n BAnr 2 1 nnn crr 1 解得 故 则 2 4 2 2 BA A 4 8 B A n n nr 48 2 1 即 而 1231221nnnn rrrrrrcccS 11 rrT nn 1 2 32 1 2 1 1 128 n n n n nr6 1 r 1 2 32 6 n n n T 例题 3 已知数列 2 2 Nnna n n 1 求与的递推关系式 1 n a n a 2 求的前项和 n an n S 解 1 n n nn nn nannaa2 24 22 1 212 1 即 1 2 42 2n nn aan 2 叠加得 1 12 1 1 1 2 214 2 2 2 1 4 2 2 24 2 aa naa naa n nn n nn 11 11 2 214 2 2 1 4 2 24 nn nn nnSaa 右边的求和正好是我们熟悉的错位相消求和 这样的话用错位相消可以得到 62 32 12 n n nnS 下面我们用 待定系数法 来求 n S 令 n n CBnAnb2 2 12 1 2 1 1 n n CnBnAb 比较系数可得方程 n n nn aCBAnBAAnbb 2 2