1993年全国高考数学试题(理)

第 1 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 19931993 年普通高等数学招生全国统一考试 全国年普通高等数学招生全国统一考试 全国 理理科科 数数学学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 参考公式 如果事件 互斥 那么AB BPAPBAP 如果事件 相互独立 那么AB BPAPBAP 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么AP 次独立重复试验中恰好发生次的概率 nk 1 kkn k nn P kC PP 球是表面积公式 2 4 RS 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 3 3 4 RV 其中 R 表示球的半径 第第 卷 选择题共卷 选择题共 6868 分 分 一 选择题 本大题共 17 小题 每小题 4 分 共 68 分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 1 函数的最小正周期是 sincosf xxx A B C D 2 2 2 4 2 如果双曲线的焦距为 6 两条准线间的距离为 4 那么该双曲线的离心率为 A B C D 2 3 2 3 2 6 2 3 和直线关于轴对称的直线的方程为3450 xy x A B 3450 xy 3450 xy C D 3450 xy 3450 xy 4 极坐标方程所表示的曲线是 4 35cos A 焦点到准线距离为的椭圆 B 焦点到准线距离为的双曲线右支 4 5 4 5 C 焦点到准线距离为的椭圆 D 焦点到准线距离为的双曲线右支 4 3 4 3 5 在上是 3 5 yx 1 1 第 2 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf A 增函数且是奇函数 B 增函数且是偶函数 C 减函数且是奇函数 D 减函数且是偶函数 6 的值为 2 2 51 lim 25 n n nn A B C D 1 5 5 2 1 5 5 2 7 集合 则 24 k Mx xkZ 42 k Nx xkZ A B C D MN MN MN MN 8 的值是sin20 cos70sin10 sin50 A B C D 1 4 3 2 1 2 3 4 9 参数方程表示 cossin 22 02 1 1 sin 2 x y A 双曲线的一支 这支过点 B 抛物线的一部分 这部分过点 1 1 2 1 1 2 C 双曲线的一支 这支过点 D 抛物线的一部分 这部分过点 1 1 2 1 1 2 10 若 是任意实数 且 则abab A B C D 22 ab 1 b a lg 0ab 11 22 ab 11 一动圆与两圆和都外切 则动圆圆心轨迹为 22 1xy 22 8120 xyx A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线 12 圆柱轴截面的周长 为定值 那么圆柱体积的最大值是l A B C D 3 6 l 3 1 9 2 l 3 4 l 3 2 4 l 13 展开式中的系数为 45 1 1 xx 4 x A B 10 C 40 D 4540 14 直角梯形的一个内角为 45 下底长为上底长的 这个梯形绕下底所在的直线旋转一周 3 2 第 3 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 所成的旋转体的全面积为 则旋转体的体积为 52 A B C D 2 42 3 52 3 7 3 15 已知 为各项都大于零的等比数列 公比 则 1 a 2 a 8 a1q A B 1845 aaaa 1845 aaaa C D 与的大小关系不能确定 1845 aaaa 18 aa 45 aa 16 设有如下三个命题 甲 相交两直线 都在平面内 并且都不在平面内 乙 lm l 之中至少有一条与相交 丙 与相交 当甲成立时m A 乙是丙的充分而不必要的条件 B 乙是丙的必要而不充分的条件 C 乙是丙的充分且必要的条件 D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 17 将数字 1 2 3 4 填入 1 2 3 4 的四个方格里 每格填一个数字 则每个方格的标号 与所填的数字均不相同的填法有 A 6 种 B 9 种 C 11 种 D 23 种 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 8282 分 分 注意事项 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上 注意事项 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填在题中横线上 18 11 sin arccosarccos 23 19 若双曲线与圆没有公共点 则实数的取值范围为 22 22 1 94 xy kk 22 1xy k 20 从 1 2 10 这十个数中取出四个数 使它们的和为奇数 共有 种 取法 用数字作答 21 设 则 1 42 xx f x 1 0 f 22 建造一个容积为 深为的长方体无盖水池 如果池底和池壁的造价每平方米分别 3 8m2m 第 4 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 为 120 元和 80 元 那么水池的最低总造价为 元 23 如图 是正方形 ABCD 是的中点 如将 和EABDAE 分别沿虚线和折起 CBEDECE 使与重合 记与重合AEBEAB 后的点为 则面与面PPCD 所成的二面角为 度 ECD 三 解答题 本大题共 6 小题 共 58 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 24 本小题满分本小题满分 10 分分 已知 1 log 0 1 1 a x f xaa x 1 求的定义域 f x 2 判断的奇偶性并予以证明 f x 3 求使的取值范围 0f x x 25 本小题满分本小题满分 12 分分 已知数列 为其前 22 8 1 1 3 22 8 2 35 22 8 21 21 n nn n S 项和 计算得 n 1 8 9 S 2 24 25 S 3 48 49 S 4 80 81 S 观察上述结果 推测出计算的公式 并用数学归纳法加以证明 n S 26 本小题满分本小题满分 12 分分 已知平面平面 直线 同垂直于平面 又同平行于直 a 线 求证 b 1 a 2 b E CD P AB CD E a b 第 5 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 27 本小题满分本小题满分 12 分分 在面积为 1 的 中 建立PMN 1 tan 2 PMN tan2MNP 适当的坐标系 求以 为焦点且过点的椭圆方程 MNP 28 本小题满分本小题满分 12 分分 设复数 cossin 0 zi 并且 求 4 4 1 1 z z 3 3 arg 2 数学试题参考答案 一 选择题 本题考查基础知识 基本概念和基本运算能力 题号 23456789101112 答案 二 填空题 本题考查基础知识 基本概念和基本运算技巧 13 14 15 16 三 解答题 17 19931993 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理工农医类理工农医类 参考解答参考解答 及评分标准及评分标准 说明 说明 1 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如果考 生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题一 选择题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 4 分 满分分 满分 6868 分 分 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 B 10 D 11 C 12 A 13 D 14 D 15 A 16 C 17 B 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 4 分 满分分 满分 2424 分 分 18 19 k k 20 100 21 1 22 1760 23 30 6 322 3 1 三 解答题三 解答题 24 本小题考查函数的奇偶性 对数函数的性质 不等式的性质和解法等基本知识及运算能 MN P 第 6 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 力 满分 12 分 解 由对数函数的定义知 1 分0 1 1 x x 如果 则 1 x1 loga等价于 0 1 1 x x 1 1 1 x x 而从 知 1 x 0 故 等价于 1 x 1 x 又等价于 x 0 故对 a 1 当 x 0 1 时有 f x 0 9 分 对 0 a 1 loga等价于 00 故 等价于 1 x 0 故对 0 a0 12 分 25 本小题考查观察 分析 归纳的能力和数学归纳法 满分 10 分 解 4 分 Nn n n Sn 2 2 12 112 证明如下 当 n 1 时 等式成立 6 分 9 8 3 13 2 2 1 S 设当 n k 时等式成立 即 7 分 12 112 2 2 k k Sk 则 22 1 3212 18 kk k SS kk 222 2 3212 18 12 112 kk k k k 22 22 3212 1832 112 kk kkk 22 222 3212 18323212 kk kkkk 22 222 3212 123212 kk kkk 2 2 32 132 k k 由此可知 当 n k 1 时等式也成立 9 分 2 2 112 1 112 k k 根据 可知 等式对任何 n N 都成立 10 分 26 本小题考查直线与平面的平行 垂直和两平面垂直的基础知识 及空间想象能力和逻辑 思维能力 满分 12 分 证法一 设 AB AC 在 内任取一点 P 并于 内作直线 PM AB PN AC 1 分 PM 而 a PM a 同理 PN a 4 分 又 PM PN a 6 分 第 7 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 于 a 上任取点 Q 过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1 交 于直线 a2 7 分 b b a1 同理 b a2 8 分 a1 a2同过 Q 且平行于 b a1 a2重合 又 a1 a2 a1 a2都是 的交线 即都重合于 a 10 分 b a1 b a 而 a b 12 分 注 在第 部分未证明 b a 而直接断定 b 的 该部分不给分 证法二 在 a 上任取一点 P 过 P 作直线 a 1 分 P a 同理 a 3 分 可见 a 是 的交线 因而 a 重合于 a 5 分 又 a a 6 分 于 内任取不在 a 上的一点 过 b 和该点作平面与 交于直线 c 同法过 b 作平面与 交于直线 d 7 分 b b b c b d 8 分 又 c d 可见 c 与 d 不重合 因而 c d 于是 c 9 分 c c a c a 10 分 b c a c b 与 a 不重合 b a b a 11 分 而 a b 12 分 注 在第 部分未证明 b a 而直接断定 b 的 该部分不给分 27 本小题主要考查坐标系 椭圆的概念和性质 直线方程以及综合应用能力 满分 12 分 解法一如图 以 MN 所在直线为 x 轴 MN 的垂直平分线为 y 轴 建立直角坐标系 设以 M N 为焦点且过点 P 的椭圆方程为 焦点为 M c 0 N c 0 1 分1 2 2 2 2 b y a x 由 tgM tg tg MNP 2 得直线 PM 和直线 PN 的方 2 1 程分别为 y x c 和 y 2 x c 将此二方程联立 解得 x c y 2 1 3 5 c 即 P 点坐标为 c c 3 4 3 5 3 4 5 分 在 MNP 中 MN 2c MN 上的高为点 P 的纵坐标 故 3 4 3 4 2 2 1 2 cccS MNP 由题设条件 S MNP 1 c 即 P 点坐标为 7 分 2 3 3 32 6 35 由两点间的距离公式 3 152 3 32 2 3 6 35 22 2 2 ycxPM 第 8 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf 3 15 3 32 2 3 6 35 22 2 2 ycxPN 得 10 分 2 15 2 1 PNPMa 又 b2 a2 c2 故所求椭圆方程为 12 分3 4 3 4 15 1 315 4 22 yx 解法二同解法一得 P 点的坐标为 7 分 2 3 c 3 32 6 35 点 P 在椭圆上 且 a2 b2 c2 化简得 3b4 8b2 3 0 1 3 32 2 3 6 35 2 2 2 2 2 b b 解得 b2 3 或 b2 舍去 10 分 3 1 又 a2 b2 c2 3 故所求椭圆方程为 12 分 4 15 4 3 1 315 4 22 yx 解法三同解法一建立坐标系 1 分 P PMN 4 3 2 1 21 2 1 2 1 tgMNtg tgMNtg tgP P 为锐角 sinP cosP 5 3 5 4 而 S MNP PM PN sinP 1 PM PN 4 分 2 1 3 10 PM PN 2a MN 2c 由余弦定理 2c 2 PM 2 PN 2 2 PM PN cosP PM PN 2 2 PM PN 1 cosP 2a 2 2 2 3 10 3 10 5 4 c2 a2 3 即 b2 3 7 分 又 sinM sinN 由正弦定理 5 1 5 2 P MN M PN N PM sinsinsin P MN MN PNPM sinsinsin 即 a c 10 分 5 3 2 5 1 5 2 2ca 5 第 9 页 共 10 页 e0eab10641ffca1663748a578ddc8f11 pdf a2 b2 c2 3 a2 5 2 a 4 15 故所求椭