求数列通项公式的11种方法

精品文档 11欢迎下载 求数列通项公式的求数列通项公式的 1111 种方法方法种方法方法 总述 一 利用递推关系式求数列通项的总述 一 利用递推关系式求数列通项的 1111 种方法 种方法 累加法 累加法 累乘法 累乘法 待定系数法 待定系数法 阶差法 逐差法 阶差法 逐差法 迭代法 迭代法 对数变换法 对数变换法 倒数变换法 倒数变换法 换元法 目的是去递推关系式中出现的根号 换元法 目的是去递推关系式中出现的根号 数学归纳法 少用 数学归纳法 少用 不动点法 递推式是一个数列通项的分式表达式 不动点法 递推式是一个数列通项的分式表达式 特征根法特征根法 二 四种基本数列 等差数列 等比数列 等和数列 等积数列及其广义形式 等差数列 二 四种基本数列 等差数列 等比数列 等和数列 等积数列及其广义形式 等差数列 等比数列的求通项公式的方法是 累加和累乘 这二种方法是求数列通项公式的最基本方法 等比数列的求通项公式的方法是 累加和累乘 这二种方法是求数列通项公式的最基本方法 三三 求数列通项的方法的基本思路是 把所求数列通过变形 代换转化为等级差数列或等 求数列通项的方法的基本思路是 把所求数列通过变形 代换转化为等级差数列或等 比数列 比数列 四 求数列通项的基本方法是 累加法和累乘法 四 求数列通项的基本方法是 累加法和累乘法 五 数列的本质是一个函数 其定义域是自然数集的一个函数 五 数列的本质是一个函数 其定义域是自然数集的一个函数 一 累加法一 累加法 1 1 适用于 适用于 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 1 nn aaf n 一 2 若 1 nn aaf n 2 n 则 21 32 1 1 2 nn aaf aaf aaf n 精品文档 22欢迎下载 两边分别相加得 11 1 n n k aaf n 例例 1 1 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 211 nn aana n a 解 由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为 n a 2 n an 例例 2 2 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 313 n nn aaa n a 解法一 由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1221 1 2 31 2 31 2 31 2 31 3 2 3333 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 3313 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31 n n an 解法二 两边除以 得 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 故 1 11 21 3333 nn nnn aa 精品文档 33欢迎下载 11223211 22321 11 122 122 33333333 212121213 333333333 2 1 11111 1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 1 3 2 1 211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann 则 211 33 322 nn n an 练习练习 1 1 已知数列的首项为 1 且写出数列的通项公式 n a 1 2 nn aan nN n a 答案 1 2 nn 练习练习 2 2 已知数列满足 求此数列的通项公式 n a3 1 a 2 1 1 1 n nn aa nn 答案 裂项求和 n an 1 2 评注评注 已知 其中 f n 可以是关于 n 的一次函数 二次函数 aa 1 1 nfaa nn 指数函数 分式函数 求通项 n a 若 f n 是关于 n 的一次函数 累加后可转化为等差数列求和 若 f n 是关于 n 的二次函数 累加后可分组求和 若 f n 是关于 n 的指数函数 累加后可转化为等比数列求和 若 f n 是关于 n 的分式函数 累加后可裂项求和 例例 3 3 已知数列中 且 求数列的通项公式 n a0 n a 2 1 n nn a n aS n a 解 由已知得 2 1 n nn a n aS 2 1 1 1 nn nnn SS n SSS 化简有 由类型 1 有 nSS nn 2 1 2 nSSn 32 2 1 2 精品文档 44欢迎下载 又得 所以 又 11 aS 1 1 a 2 1 2 nn Sn0 n a 2 1 2 nn sn 则 2 1 2 1 2 nnnn an 此题也可以用数学归纳法来求解 二 累乘法二 累乘法 1 1 适用于 适用于 这是广义的等比数列 1 nn af n a 累乘法是最基本的二个方法之二 2 若 则 1 n n a f n a 312 12 1 2 n n aaa fff n aaa 两边分别相乘得 1 1 1 1 n n k a af k a 例例 4 4 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 53 n nn anaa n a 解 因为 所以 则 故 11 2 1 53 n nn anaa 0 n a 1 2 1 5n n n a n a 132 1 1221 1221 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 1 1 5 3 2 1 3 2 53 3 25 nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a 1 1 2 3 25 n n n n an 例例 5 5 设是首项为 1 的正项数列 且 1 2 n a 01 1 22 1 nnnn aanaan n 3 则它的通项公式是 n a 精品文档 55欢迎下载 解 已知等式可化为 0 1 11 nnnn naanaa n 1 即 0 n a Nn 0 1 nn naa1 1 n n a a n n 时 2 n n n a a n n 1 1 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 1 2 1 1 21 n n n n n 1 评注 评注 本题是关于和的二次齐次式 可以通过因式分解 一般情况时用求根公式 得 n a 1 n a 到与的更为明显的关系式 从而求出 n a 1 n a n a 练习 已知 求数列 an 的通项公式 1 1 11 annaa nn 答案 1 n a 1 1 1 an 评注 本题解题的关键是把原来的递推关系式评注 本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为转化为 1 1 nnaa nn 若令 则问题进一步转化为形式 进而应用累乘法 1 1 1 nn ana1 nn ab nn nbb 1 求出数列的通项公式 三 待定系数法三 待定系数法 适用于适用于 1 nn aqaf n 基本思路是转化为等差数列或等比数列 而数列的本质是一个函数 其定义域是自然数集的一 个函数 1 形如 其中 型 0 1 cdcaa nn aa 1 1 若 c 1 时 数列 为等差数列 n a 2 若 d 0 时 数列 为等比数列 n a 3 若时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造辅助数列 01 且dcn a 来求 精品文档 66欢迎下载 待定系数法 设 1 nn aca 得 与题设比较系数得 1 1 ccaa nn 1 dcaa nn 所以所以有 dc 1 0 1 c c d 1 1 1 c d ac c d a nn 因此数列构成以为首项 以 c 为公比的等比数列 1c d an 1 1 c d a 所以 即 1 1 1 1 n n c c d a c d a 1 1 1 1 c d c c d aa n n 规律 将递推关系化为 构造成公比为 c dcaa nn 1 1 1 1 c d ac c d a nn 的等比数列从而求得通项公式 1 c d an 1 1 1 1 1 c d ac c d a n n 逐项相减法 阶差法 有时我们从递推关系中把 n 换成 n 1 有 dcaa nn 1 两式相减有从而化为公比为 c 的等比数列 进 dcaa nn 1 11 nnnn aacaa 1nn aa 而求得通项公式 再利用类型 1 即可求得通项公式 我们看到此 121 aacaa n nn 方法比较复杂 例例 6 6 已知数列中 求数列的通项公式 n a 11 1 21 2 nn aaan n a 解法一 1 21 2 nn aan 1 12 1 nn aa 又是首项为 2 公比为 2 的等比数列 1 12 1 n aa 即 12n n a 21 n n a 解法二 1 21 2 nn aan 精品文档 77欢迎下载 1 21 nn aa 两式相减得 故数列是首项为 2 公比为 11 2 2 nnnn aaaan 1nn aa 2 的等比数列 再用累加法的 练习 已知数列中 求通项 n a 2 1 2 1 2 11 nn aaa n a 答案 1 2 1 1 n n a 2 形如 其中 q 是常数 且 n0 1 n nn qapa 1 若 p 1 时 即 累加即可 n nn qaa 1 若时 即 1 p n nn qapa 1 求通项方法有以下三种方向 i 两边同除以 目的是把所求数列构造成等差数列 1 n p 即 令 则 然后类型 1 累 n n n n n q p pq a p a 1 1 1 n n n p a b n nn q p p bb 1 1 加求通项 ii 两边同除以 目的是把所求数列构造成等差数列 1 n q 即 qq a q p q a n n n n 1 1 1 令 则可化为 然后转化为类型 5 来解 n n n q a b q b q p b nn 1 1 iii 待定系数法 目的是把所求数列构造成等差数列 设 通过比较系数 求出 转化为等比数列求 1 1 n n n n papqa 通项 注意 应用待定系数法时 要求 pq 否则待定系数法会失效 精品文档 88欢迎下载 例例 7 7 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 1 11 24 31 n nn aaa n a 解法一 待定系数法 设 比较系数得 1 112 3 3 nn nn aa 12 4 2 则数列是首项为 公比为 2 的等比数列 1 4 3n n a 1 1 1 4 35a 所以 即 11 4 35 2 nn n a 11 4 35 2 nn n a 解法二 两边同除以 两边同时除以得 下面解法略 1 n q 1 3n 1 12 24 33 33 nn nn aa 解法三 两边同除以 两边同时除以得 下面解法略 1 n p 1 2 n n n n n n aa 2 3 3 4 22 1 1 练习 2003 天津理 设为常数 且 证明对任意 1 0 a 23 1 1 Nnaa n n n n 0 1 2 1 2 1 3 5 1 aa nnnnn n 3 形如 其中 k b 是常数 且 bknpaa nn 10 k 方法 1 逐项相减法 阶差法 方法 2 待定系数法 通过凑配可转化为 1 1 ynxapyxna nn 解题基本步骤 1 确定 kn b f n 2 设等比数列 公比为 p yxnab nn 3 列出关系式 即 1 1 ynxapyxna nn 1 nn pbb 4 比较系数求x y 精品文档 99欢迎下载 5 解得数列的通项公式 yxnan 6 解得数列的通项公式 n a 例例 8 8 在数列中 求通项 逐项相减法 n a 23 1 11 naaa nn n a 解 23 1 naa nn 时 2 n 1 23 1 naa nn 两式相减得 令 则 2 3 11 nnnn aaaa nnn aab 1 23 1 nn bb 利用类型 5 的方法知 即 235 1 n n b135 1 1 n nn aa 再由累加法可得 亦可联立 解出 2 1 3 2 5 1 na n n 2 1 3 2 5 1 na n n 例例 9 9 在数列中 求通项 待定系数法 n a 362 2 3 11 naaa nn n a 解 原递推式可化为 ynxayxna nn 1 2 1 比较系数可得 x 6 y 9 上式即为 1 2 nn bb 所以是一个等比数列 首项 公比为 n b 2 9 96 11 nab 2 1 1 2 1 2 9 n n b 即 n n na 2 1 996 故 96 2 1 9 na n n 精品文档 1010欢迎下载 4 形如 其中 a b c 是常数 且 cnbnapaa nn 2 10 a 基本思路是转化为等比数列 而数列的本质是一个函数 其定义域是自然数集的一个函数 例例 1010 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2 11 23451 nn aanna n a 解 设 22 1 1 1 2 nn ax ny nzaxnynz 比较系数得 3 10 18xyz 所以 22 1 3 1 10 1 182 31018 nn annann 由 得 2 1 3 110 1 181 31320a 2 310180 n ann 则 故数列为以 2 1 2 3 1 10 1 18 2 31018 n n ann ann 2 31018 n ann 为首项 以 2 为公比的等比数列 因此 2 1 3 110 1 181 3132a 则 21 3101832 2n n ann 42 231018 n n ann 5 5 形如形如时将时将作为作为求解求解 21 nnn apaqa n a f n 分析 原递推式可化为的形式 比较系数可求得 数列 211 nnnn aapaa 为等比数列 1nn aa 例例 1111 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 2112 56 1 2 nnn aaa aa n a 解 设 211 5 nnnn aaaa 比较系数得或 不妨取 取 3 结果形式可能不同 但本质相同 3 2 2 则 则是首项为 4 公比为 3 的等比数列 211 23 2 nnnn aaaa 1 2 nn aa 精品文档 1111欢迎下载 所以 1 1 24 3n nn aa 11 4 35 2 nn n a 练习 数列中 若 且满足 求 n a2 8 21 aa034 12 nnn aaa n a 答案 n n a311 四 迭代法四 迭代法 其中其中 p rp r 为常数为常数 型型 r nn paa 1 例例 1212 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 3 1 2 11 5 n n nn aaa n a 解 因为 所以 3 1 2 1 n n nn aa 1212 2 1 32 2 1 3 3 2 1 11 2 3 323 1 2323 1 2 122 3 2 23 1 2 3 3 2 1 2 3 32 3 2 1 2 1 nnnnn nnn nnn nnn nnnnn nnnn nnn n nnn n nnn aaaa a a a 2 1 1 1 2 3 2 1 n n n n n a 又 所以数列的通项公式为 1 5a n a 1 1 2 3 2 5 n n n n n a 注 本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式 例例 13 13 2005 江西卷 已知数列 且满足的各项都是正数 n a Nnaaaa nnn 4 2 1 1 10 精品文档 1212欢迎下载 1 证明 2 求数列的通项公式 an 1 2 nn aanN n a 解 1 略 2 所以 4 2 2 1 4 2 1 2 1 nnnn aaaa2 1 2 2 2 nn aa nn nnnnnnn bbbbbab 22212 1 222 2 2 1 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 则令 又bn 1 所以 1212 2 1 22 2 1 nn nnn bab即 方法 2 本题用归纳 猜想 证明 也很简捷 请试一试 解法 3 设 c 则 c 转化 nn b 2 1 2 1 nn c 为上面类型 1 来解 五 对数变换法五 对数变换法 适用于适用于 其中其中 p rp r 为常数为常数 型型 p 0p 0 r nn paa 1 0 n a 例例 14 14 设正项数列满足 n 2 求数列的通项公式 n a1 1 a 2 1 2 nn aa n a 解 两边取对数得 设 则 1 22 log21log nn aa 1 log21log 1 22 nn aa 1log2 n a n b 是以 2 为公比的等比数列 1 2 nn bb n b11log1 21 b 11 221 nn n b 1 2 21log nan 12log 1 2 nan 12 1 2 n n a 练习练习 数列中 n 2 求数列的通项公式 n a1 1 a 1 2 nn aa n a 答案 n n a 2 22 2 例例 1515 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解 因为 所以 5 11 2 37 n nn aaa 1 00 nn aa 精品文档 1313欢迎下载 两边取常用对数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 同类型四 1 lg 1 5 lg nn ax nyaxny 比较系数得 lg3lg3lg2 4164 xy 由 得 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a lg3lg3lg2 lg0 4164 n an 所以数列是以为首项 以 5 为公比的等比数列 lg3lg3lg2 lg 4164 n an lg3lg3lg2 lg7 4164 则 因此 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 41644164 n n an 1 1 1 11111 1 16164444 11111 5 16164444 54151 51 164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg lg7 5 4164464 lg 7 332 5lg 332 lg 7 332 lg 332 lg 732 n n n n n n n nn n an 则则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 六 倒数变换法六 倒数变换法 适用于分式关系的递推公式 分子只有一项适用于分式关系的递推公式 分子只有一项 例例 1616 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2 1 2 n n n a aa a n a 解 求倒数得为等差数列 首项 公差为 111 11111111 22 nnnnnn aaaaaa 1 1 1 a 1 2 112 1 21 n n na an 精品文档 1414欢迎下载 七 换元法七 换元法 适用于含根式的递推关系适用于含根式的递推关系 例例 1717 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 1 14124 1 16 nnn aaaa n a 解 令 则124 nn ba 2 1 1 24 nn ab 代入得 1 1 14124 16 nnn aaa 22 1 111 1 14 1 241624 nnn bbb 即 22 1 4 3 nn bb 因为 1240 nn ba 则 即 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 可化为 1 1 3 3 2 nn bb 所以是以为首项 以为公比的等比数列 因 3 n b 11 31243124 132ba 2 1 此 则 即 得 12 11 32 22 nn n b 2 1 3 2 n n b 2 1 124 3 2 n n a 2 111 3 423 nn n a 八 数学归纳法八 数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前通过首项和递推关系式求出数列的前 n n 项 猜出数列的通项公式 再用数学归纳项 猜出数列的通项公式 再用数学归纳 法加以证明 法加以证明 例例 1818 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 22 8 1 8 21 23 9 nn n aaa nn n a 解 由及 得 1 22 8 1 21 23 nn n aa nn 1 8 9 a 精品文档 1515欢迎下载 21 22 32 22 43 22 8 1 1 88 224 2 1 1 2 1 3 99 2525 8 2 1 248 348 2 2 1 2 23 2525 4949 8 3 1 488 480 2 3 1 2 33 4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 下面用数学归纳法证明这个结论 2 2 21 1 21 n n a n 1 当时 所以等式成立 1n 2 1 2 2 1 1 18 2 1 1 9 a 2 假设当时等式成立 即 则当时 nk 2 2 21 1 21 k k a k 1nk 1 22 22 22 222 22 2 2 2 2 8 1 21 23 21 1 23 8 1 21 23 21 23 21 21 23 23 1 23 2 1 1 1 2 1 1 kk k aa kk kkk kk kkk kk k k k k 由此可知 当时等式也成立 1nk 根据 1 2 可知 等式对任何都成立 nN 九 阶差法 逐项相减法 九 阶差法 逐项相减法 1 1 递推公式中既有 递推公式中既有 又有 又有 n S n a 分析 把已知关系通过转化为数列或的递推关系 然后采用相应 1 1 1 2 n nn S n a SSn n a n S 的方法求解 例例 1919 已知数列的各项均为正数 且前 n 项和满足 且成 n a n S 1 1 2 6 nnn Saa 249 a a a 精品文档 1616欢迎下载 等比数列 求数列的通项公式 n a 解 对任意有 nN 1 1 2 6 nnn Saa 当 n 1 时 解得或 1111 1 1 2 6 Saaa 1 1a 1 2a 当 n 2 时 111 1 1 2 6 nnn Saa 整理得 11 3 0 nnnn aaaa 各项均为正数 n a 1 3 nn aa 当时 此时成立 1 1a 32 n an 2 429 aa a 当时 此时不成立 故舍去 1 2a 31 n an 2 429 aa a 1 2a 所以32 n an 练习 练习 已知数列中 且 求数列的通项公式 n a0 n a 2 1 2 1 nn aS n a 答案 nnn aSS 1 2 1 2 1 1 nn aa12 nan 2 2 对无穷递推数列 对无穷递推数列 例例 2020 已知数列满足 求的通项公 n a 11231 123 1 2 nn aaaaanan n a 式 解 因为 1231 23 1 2 nn aaaanan 所以 11231 23 1 nnn aaaanana 用 式 式得 1 nnn aana 则 故 1 1 2 nn ana n 1 1 2 n n a nn a 精品文档 1717欢迎下载 所以 13 222 122 1 4 3 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 则 又知 1231 23 1 2 nn aaaanan 212 22naaa 取得 21 aa 1 1a 则 代入 得 2 1a 1 3 4 5 2 n n an 所以 的通项公式为 n a 2 n n a 十 不动点法十 不动点法 目的是目的是将递推数列转化为等比 差 数列的方法 不动点的定义 函数不动点的定义 函数的定义域为的定义域为 若存在 若存在 使 使成立 则称成立 则称 f xD 0 f x xD 00 f xx 为为的不动点或称的不动点或称为函数为函数的不动点 的不动点 0 x f x 00 xf x f x 分析 由求出不动点 在递推公式两边同时减去 在变形求解 f xx 0 x 0 x 类型一 形如类型一 形如 1 nn aqad 例例 2121 已知数列中 求数列的通项公式 n a 11 1 21 2 nn aaan n a 解 递推关系是对应得递归函数为 由得 不动点为 1 21f xx f xx 1 12 1 nn aa 类型二 形如类型二 形如 1 n n n a ab a c ad 分析 递归函数为 a xb f x c xd 1 若有两个相异的不动点 p q 时 将递归关系式两边分别减去不动点 p q 再将两式相除得 其中 1 1 nn nn apap k aqaq apc k aqc 1 11 1 11 n n n a qpq ka ppq a ap kaq 2 若有两个相同的不动点 p 则将递归关系式两边减去不动点 p 然后用 1 除 得 其中 1 11 nn k apap 2c k ad 例例 22 22 设数列满足 求数列的通项公式 n a 72 45 2 11 n n n a a aa n a 分析 此类问题常用参数法化等比数列求解 解 对等式两端同时加参数 t 得 精品文档 1818欢迎下载 72 52 47 52 72 7 52 72 45 1 n n n n n n n a t t a t a tat t a a ta 令 解之得t 1 2 代入得 52 47 t t t 72 52 1 n n n a ta tta 72 1 31 1 n n n a a a 72 2 92 1 n n n a a a 相除得 即 是首项为 2 1 3 1 2 1 1 1 n n n n a a a a 2 1 n n a a 4 1 2 1 1 1 a a 公比为的等比数列 解得 3 1 2 1 n n a a n 1 3 4 1 134 234 1 1 n n n a 方法 2 72 1 31 1 n n n a a a 两边取倒数得 1 3 3 2 1 3 9 1 2 1 3 72 1 1 1 nn n n n n aa a a a a 令 b 则 b 转化为累加法来求 1 1 n n a nn b3 3 2 例例 2323 已知数列满足 求数列的通项公式 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a n a 解 令 得 则是函数的两个不 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx 2124 41 x f x x 动点 因为 所以数列 1 1 2124 2 24121242 41 1326213 2124 321243 41 92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 是以为首项 以为公比的等比数列 故 则 2 3 n n a a 1 1 242 2 343 a a 9 13 1 213 2 39 n n n a a 1 1 3 13 2 1 9 n n a 精品文档 1919欢迎下载 练习练习 1 1 已知满足 求的通项 n a 1 1 1 2 2 2 21 n n n a aan a n a n a 答案 3 1 3 1 nn n nn a 练习练习 2 2 已知数列满足 求数列的通项 n a 11 21 2 46 n n n a aanN a n a n a 答案 135 106 n n a n 练习练习 3 3 2009 陕西卷文 已知数列 n a满足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 证明 n b 是等比数列 求 n a 的通项公式 答案 1 n b 是以 1 为首项 1 2 为公比的等比数列 2 1 521 332 n n anN 十一 特征方程法特征方程法 形如形如是常数 的数列是常数 的数列 已知 已知 a a1 1 a a2 2 21 nnn apaqap q 形如是常数 的二阶递推数列都可用 112221 nnn am am apaqap q 特征根法求得通项 其特征方程为 n a 2 xpxq 若 有二异根 则可令是待定常数 1212 nn n accc c 若 有二重根 则可令是待定常数 1212 n n acncc c 再利用可求得 进而求得 1122 am am 12 c c n a 例例 2424 已知数列满足 求数列的 n a 1221 2 3 32 nnn aaaaa nN n a 通项 n a 精品文档 2020欢迎下载 解 解 其特征方程为 解得 令 2 32xx 12 1 2xx 12 12 nn n acc 由 得 112 212 22 43 acc acc 1 2 1 1 2 c c 1 12n n a 例例 2525 已知数列满足 求数列的通项 n a 1221 1 2 44 nnn aaaaa nN n a n a 解 解 其特征方程为 解得 令 2 441xx 12 1 2 xx 12 1 2 n n acnc 由 得 112 212 1 1 2 1 2 2 4 acc acc 1 2 4 6 c c 1 32 2 n n n a 练习练习 1 1 已知数列满足 求数列 n a 1221 1 2 441 nnn aaaaanN 的通项 n a 练习练习 2 2 已知数列满足 n a 求数列的通项 1221 1 2 444 nnn aaaaannN n a 说明说明 1 若方程有两不同的解 s t 2 xpxq 则 11 nnnn taastaa 11 nnnn saatsaa 由等比数列性质可得 1 121 n nn staataa 1 121 n nn tsaasaa 由上两式消去可得 st 1 n a nn n t tst saa s tss taa a 1212 2 若方程有两相等的解 则 2 xpxq ts 12 1 21 2 11 taastaastaastaa n nnnnnn 精品文档 2121欢迎下载 即是等差数列 2 12 1 1 s taa s a s a n n n n n n s a 由等差数列性质可知 2 121 1 s saa n s a s a n n 所以 n n sn s saa s saa s a a 2 12 2 121 例例 2626 数列满足 且求数列的通项 n a 1 5 12 a 2 1 25 4 29 2 4 n n n a a a n a 解 22 11 252925 2 444 2929 22 44 nnn nn nn aaa aa aa 令 解得 将它们代回 得 2 2925 4 12 25 1 4 2 1 1 1 29 2 4 n n n a a a 2 1 25 254 29 4 2 4 n n n a a a 得 2 1 1 2525 44 11 nn nn aa aa 则 数列成等比数列 首项为 1 公比q 2 1 1 2525 4