碎石运输方案设计

1 碎石运输方案设计碎石运输方案设计 摘要摘要 本文对运输碎石的方案设计建立数学模型 这是一个道路改造项目中安排 石料运输的规划问题 目标是在给定的条件下寻求使碎石运输总费用最少的规 划方案 问题的关键是给出两个石料供应点的运量 恰当选择铺设临时道路的 路线 确定设置码头的数量及位置 注意到通过水运运输碎石时 必须有装有 卸 所有如果需要建临时码头 码头数应不小于 2 由于 S2 处离河道处太远 又由于桥的造价很高 所以 S2 处运的碎石全部通过陆地运输 为了使总费用在 17 亿元左右 我们在 S1 附近建设一个装碎石码头 M0 可 能建设装碎石码头 M1 M2 M3 从码头 M1修建的临时道路与 AB 路的交点为 L1 从码头 M3修建的临时道路与 AB 路的交点为 L2 从 S2 处铺设临时道路到临 界点 Q1 可能在点 C 处铺设临时道路到临界点 Q2 路线图为 1 铺设道路的总费用 12wwww 1 1w 碎石 碎石 费 关键词 最优解关键词 最优解 lingolingo 软件软件 S1 20 120 S2 180 157 M0 20 2 115 M2 A BQ1 L1 M1 M3 L2 Q2 C 2 一 问题重述一 问题重述 在一平原地区要进行一项道路改造项目 在 A B 之间建一条长 200km 宽 15m 平均铺设厚度为 0 5m 的直线形公路 为了铺设这条道路 需要从 S1 S2 两个采石点运碎石 1 立方米碎石的成本都为 60 元 S1 S2 运出的碎石已满 足工程需要 不必再进一步进行粉碎 S1 S2 与公路之间原来没有道路可以 利用 需铺设临时道路 临时道路宽为 4m 平均铺设厚度为 0 1m 而在 A B 之间有原来的道路可以利用 假设运输 1 立方米碎石 1km 运费为 20 元 此地区 有一条河 故也可以利用水路运输 顺流时 平均运输 1 立方米碎石 1km 运费 为 6 元 逆流时 平均运输 1 立方米碎石 1km 运费为 10 元 如果要利用水路 还需要在装卸处建临时码头 建一个临时码头需要用 10 万元 建立一直角坐标 系 以确定各地点之间的相对位置 A 0 100 B 200 100 s1 20 120 s2 180 157 河与 AB 的交点为 m4 50 100 m4 处原来有桥可以利用 河流 的流向为 m1 m7 m4 的上游近似为一抛物线 其上另外几点为 m1 0 120 m2 18 116 m3 42 108 m4 的下游也近似为一抛物线 其上另外几点为 m5 74 80 m6 104 70 m7 200 50 桥的造价很高 故不宜为运输石料而造 临时桥 此地区没有其它可以借用的道路 为了使总费用最少 如何铺设临时 道路 要具体路线图 是否需要建临时码头 都在何处建 从 s1 s2 所取的 碎石量各是多少 指出你的方案的总费用 二 符号说明二 符号说明 修路的总花费 w 卸碎石码头的坐标 000 Mxy 0 M 第 个装碎石码头的坐标 iii M x yi i M1 2 ik 从码头修建的临时道路与 AB 路的交点的坐标 100 ii L l i M i L1 2 ik AB 上的一点 我们称它为临界点 修建它左边的道路需要的碎石 100 Q q 3 取自 S1 修建它右边的道路需要的碎石取自 S2 从修建的临时道路与 AB 路的交点的坐标 100 ii Q q2S i Q1 2 it 临时道路的横截面面积 等于 1 s 62 0 4 10 km 正式铺设的 AB 道路的横截面面积 等于 2 s 62 7 5 10 km AB 直线形公路的总长度 L 从采石点 S1 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数 1 b 从采石点 S2 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数 2 b 三 问题假设三 问题假设 1 河有足够的跨度 可以满足在两岸都修建码头 2 假设每个码头通向 AB 的临时道路只有一条 3 除水路外 假设所有的运输道路均为直线型 4 把河流的上游和下游分别看作两条抛物线的一部分 5 不考虑题目所涉及范围以外的其他不确定因素产生的费用 四 模型准备四 模型准备 考虑到在运输方案设计的数学模型中涉及大量的计算公式 为了方便 我 们首先用一个示意图表示运输线路 并且逐步依次对各种量的表达式进行讨论 1 铺设道路的总费用 12wwww 1 1w 碎石 碎石 费 2w 运输费 3w 修建码头的费用 总费用 码头建设费 铺设道路的碎石成本费 碎石运输费 w 0 w 1 w 2 w 1 1 码头建设费 码头建设费 w w0 0 S1 S2 M0 L1 L2 Q Q1Qt M1 M2 Mk A 4 修建一个码头的费用为105元 修建 K 个码头的费用为w0 k105 2 2 碎石成本费 碎石成本费 铺设铺设 ABAB 的碎石成本费的碎石成本费 铺设临时道路的碎石成铺设临时道路的碎石成 1 w 10 w 本费本费 11 w 铺设铺设 ABAB 的碎石成本费 的碎石成本费 元 10 w 9 2 20060 10s 铺设临时道路的碎石成本费 铺设临时道路的碎石成本费 11 w 9 01122121 1 222 60 10 kkt s MM LM LM Ls Qs Qs Qs 其中 62 1 0 4 10 kms 22 000 1 20 120 s Mxy 22 11111 100 M Llxy 22 100 kkkkk M Llxy 22 11 2 180 157 100 s Qq 22 2 180 157 100 tt s Qq 而 2 000 1 251200 8 xyy 2 111 1 251200 8 xyy 22 222 33 12650 12650 5050 kkk xyyxyy 3 3 碎石运输费 碎石运输费 铺设临时道路的碎石运输费铺设临时道路的碎石运输费 铺设铺设 ABAB 的碎石运的碎石运 2 w 21 w 输费输费 20 w 首先计算铺设临时道路的碎石运输费首先计算铺设临时道路的碎石运输费 20011kt wfffrr 下面依次计算各段道路的运输费 从 S1 出发的临时路段的碎石运费计算 为计算修建段道路的运输费 第一步 计算把碎石从 s1 运到 M0的运 0 1s M 费 如果把碎石分成无数小份 则每一份的运费与其将来被铺设的位置与采石 点之间的距离成正比 所以这段路的运费可以用一个积分式求出来 0 1 929 0101 0 201010110 s M fx sdxs Ms 修建段道路需要的碎石要经过 M0 运到 M1的河流 由于 11 M L 2 22 11 1 ln1 22 a b a b y y ydyyy 利用第一型曲线积分可以计算这段河的长度为 0 0 1 1 222 1 1111001 25 1 100 25 12ln 25 1 48444 y y y y y cydyyyy 其他河段的长度可以类似计算 i c 0 100 22 100 13 25 1 12 1 425 i y i y cydyydy 5 这里 我们假定了 M2在下游抛物线上 所以 修建段道路需要的碎石运费为 11 M L 929 101111111 2016 101010 fs McM L sM Ls 同样得到修建段道路需要的碎石运费为 22 M L 929 202221221 2016 101010 fs McM LsM Ls 929 011 2016 101010 kkkkkk fs McM LsM Ls 从 S2 出发的临时路段的碎石运费计算 29 111 10210 rs Qs 2929 2211 10210 10210 tt rs Qsrs Qs 其次计算铺设其次计算铺设 ABAB 的碎石运输费的碎石运输费 即 即 2121222221kt wfffrr 等于铺设点左右两边各段道路需要的碎石运输费之和 21 w 1211 ktt L LL Q QQ 则 2 929 2121 2101111212 201620 101010 22 llll fs McM Llsls 22 99 32322121 22022222 201620 101010 2222 llllllll fs McM Lss 22 99 11 2022 201620 101010 2222 kkkkkk kkkk llqlllql fs McM Lss 22 99 11 222 202 101010 2222 tktttktt tt qlqqqlqq rs Qss 22 99 23231212 22222 202 101010 2222 qqqqqqqq rs Qss 2 2 99 12112 211212 200 202 101020010 222 qqqqq rs Qsqs 点中的为 100 Q qq 22 tkkt k qllq ql 是从采石点 S1 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数 1 b 12 bsq 6 是从采石点 S2 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数 2 b 22 200 bsq 五 模型的建立与求解五 模型的建立与求解 由上可以知道 为了完成 AB 道路的修建工程 在假定修建个码头 1k 条临时道路的情况下 总修建费用为 1kt w 0 w 1 w 2 w 其中 W0 K 1 105 1 w 9 2 20060 10s 9 01111 1 22 60 10 kkt s MM LM Ls Qs Qs 而 2 w 21 w 20 w 20011kt wfffrr 2121222221kt wfffrr 具体的计算表达式如上节 其他的约束条件为 0 1 23 1 050 050 50 200 kkk k x x xx xxl l 1 23 1 12 21 050 50 200 kkt ttt l ll llq qqq qq 7 至此 我们已经成功建立了一个关于碎石运输的优化规划数学模型 要求的就 是 在上述约束条件下的最小值 用 Lingo 求解得 w 采石方法 k 从河流出发 到 AB 的临 时道路条数 码头数 k 1 t 从 S2 出发的 临时道路条数 最小费用 亿元 23024 5 34021 1只从 S1 取石 45028 7 118 6 218 13 317 82 12 417 01 118 64 216 8023 316 98 118 13 218 0634 318 9 118 15 218 4 同时从 S1 S2 取石 45 319 2 具体程序参见附录 结论 3 码头 2 道路最优方案总费用为 16 8 亿元 各有关数据为 001122 12 3 1 3 2 20 2 115 50 73 3 19 6 178 5 147 6 132 3 930480 569520 xyxlxy qq q bm bm 六 模型的评价与模型的改进六 模型的评价与模型的改进 模型主要优点 8 1 考虑问题比较全面 我们建立的模型可以对不确定因素的各种情况都进行讨 论 2 问题描述逐层深入 每个独立部分的模型建立与求解比较简洁 3 得到较好的结果 误差主要依赖于 Lingo 程序及计算机计算的精确度 模型缺点 没有建立一个全局动态的模型 不能直接求解出全局的最优结果 比如可 以考虑从某条临时道路的中间位置建设另外一条临时道路 建立更科学的网络 优化模型 1 铺设道路的总费用 12wwww 1 1w 碎石 碎石 费 2w 运输费 七 参考文献七 参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 北京 高等教育出版社 2003 8 2 姜启源 薛毅 优化建模与 LINDO LINGO 软件 北京 清华大学出版社 2005 7 3 刘光灿 刘简达 道路改造项目中碎石运输的数学模型 长沙大学学报 2007 年 9 月 第 21 卷第 5 期 1 4 附录一 附录一 MODEL Title road data sets LL l0 sqrt 20 x0 2 120 y0 2 l1 sqrt L 1 x1 2 100 y1 2 lk sqrt L k xk 2 100 yk 2 S1 S2 M0 L1 L2Lk Q Q1Qt M1 M2 Mk A 9 endsets sets QQ q1 sqrt 180 Q1 2 157 100 2 qt sqrt 180 Qt 2 157 100 2 endsets sets X x1 1 8 y1 2 25 y1 1200 x2 3 20 y2 2 12 y2 650 xk 3 20 yk 2 12 yk 650 endsets w11 sum L i l i sum Q i q i s1 60 10 9 s1 0 4 10 6 f0 10 l0 2 s1 10 9 sets C c1 1 8 100 y0 sqrt 1 4 y0 25 2 1 2 log 100 y0 4 sqrt 1 4 y0 25 2 1 1 8 100 y1 sqrt 1 4 y1 25 2 1 2 log 100 y1 4 sqrt 1 4 y1 25 2 1 c2 1 8 100 y0 sqrt 1 4 y0 25 2 1 2 log 100 y0 4 sqrt 1 4 y0 25 2 1 2 log sqrt 1 4 100 25 2 1 endsets sets F f1 20 l0 6 c1 l1 s1 10 9 10 l1 2 s1 10 9 f2 20 l0 6 c2 l1 s2 10 9 10 l2 2 s1 10 9 f3 20 l0 6 c3 l1 s3 10 9 10 l3 2 s1 10 9 f4 20 l0 6 c4 l1 s4 10 9 10 l4 2 s1 10 9 fk 20 l0 6 ck l1 sk 10 9 10 lk 2 s1 10 9 endsets sets F2 f21 20 l0 6 c1 20 l1 L 1 L 2 L 1 2 s2 10 9 10 L1 2 sqr L 2 L 1 2 s2 10 9 f22 20 l0 6 c2 20 l2 L 2 L 1 2 L 3 L 2 2 s2 10 9 10 sqr L 2 L 1 2 sqr L 3 L 2 2 s2 10 9 f23 20 l0 6 c3 20 l3 L 3 L 2 2 L 4 L 3 2 s2 10 9 10 sqr L 3 L 2 2 sqr L 4 L 3 2 s2 10 9 f2k 20 l0 6 ck 20 lk L k L k 1 2 q 10 L k 2 s2 10 9 10 sqr L k L k 1 2 sqr q L k 2 s2 10 9 endsets sets R r1 10 q1 2 s1 10 9 r2 10 q2 2 s1 10 9 r3 10 q3 2 s1 10 9 r4 10 q